文章目錄

• 一、生成函數線性性質
• 二、生成函數線性性質2
• 三、生成函數乘積性質

參考博客 :

• 【組合數學】生成函數 簡要介紹 ( 生成函數定義 | 牛頓二項式系數 | 常用的生成函數 | 與常數相關 | 與二項式系數相關 | 與多項式系數相關 )

一、生成函數線性性質

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生成函數 線性性質 1 :

$b_n=\alpha a_n$ , 則 $B(x)=\alpha A(x)$

數列 $a_n$ 的生成函數是 $A(x)$ , 數列 $b_n$ 的生成函數是 $B(x)$ ,

如果 $b_n$ 數列 是 $a_n$ 數列 的 $\alpha$ 倍 , 那么對應的 生成函數也存在對應的關系 ;

證明方法 : 將兩邊展開 , 根據定義代入即可 ;

二、生成函數線性性質2

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生成函數 線性性質 2 :

$c_n=a_n+b_n$ , 則 $C(x)=A(x)+B(x)$

數列 $a_n$ 的生成函數是 $A(x)$ , 數列 $b_n$ 的生成函數是 $B(x)$ , 數列 $c_n$ 的生成含稅是 $C(x)$ ,

數列和 的 生成函數 , 等于 生成函數的和 ;

一個數列是 其它數列的線性組合 , 那么將其 生成函數進行相應的組合 , 也能求出 大的數列的生成函數 ;

證明方法 : 將兩邊展開 , 根據定義代入即可 ;

三、生成函數乘積性質

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生成函數 乘積性質 :

$c_n=\sum _{i=0}^n{a}_i{b}_{n?i}$ , 則有 $C(x)=A(x)?B(x)$

數列 $a_n$ 的生成函數是 $A(x)$ , 數列 $b_n$ 的生成函數是 $B(x)$ , 數列 $c_n$ 的生成含稅是 $C(x)$ ,

數列 $a_n$ 的生成函數 : $A(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+?$

數列 $b_n$ 的生成函數 : $B(x)=b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+?$

數列 $c_n$ 的生成函數 : $C(x)=c_0+c_{1}x+c_2{x}^2+?$

右邊的 兩個生成函數 $A(x)$ 和 $B(x)$ 相乘 :

$(a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+?)\times (b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+?)$

按照多項式乘法 ,

$x^0$ , $0$次方項 , 即常數項, 構成方法有 $1$ 種 , 兩個生成函數中的常數項 , 相乘之后是 $a_0{b}_0$ ,

$x^1$ , $1$次方項 , 構成方法有 $2$ 種 ,

• $A(x)$ 中的 $a_{1}x$ 與 $B(x)$ 中的 $b_0$ , 構成 $x^1$ 一次方項 $a_1{b}_{0}x$ ;
• $A(x)$ 中的 $a_0$ 與 $B(x)$ 中的 $b_{1}x$ , 構成 $x^1$ 一次方項 $a_0{b}_{1}x$ ;

$x^1$ , $1$次方項的系數是 $a_1{b}_0+a_0{b}_1$ , 完整的 $1$次方項是 $(a_1{b}_0+a_0{b}_1)x$

$x^2$ , $2$ 次方項 , 構成方法有 $3$ 種 ,

• $A(x)$ 中的 $a_0$ 與 $B(x)$ 中的 $b_2{x}^2$ , 構成 $x^2$ , $2$次方項 $a_0{b}_2{x}^2$ ;
• $A(x)$ 中的 $a_2{x}^2$ 與 $B(x)$ 中的 $b_0$ , 構成 $x^2$ , $2$次方項 $a_2{b}_0{x}^2$ ;
• $A(x)$ 中的 $a_{1}x$ 與 $B(x)$ 中的 $b_{1}x$ , 構成 $x^2$ , $2$次方項 $a_1{b}_1{x}^2$ ;

$x^2$ , $2$次方項的系數是 $a_0{b}_2+a_2{b}_0+a_1{b}_1$ , 完整的 $2$次方項是 $(a_0{b}_2+a_2{b}_0+a_1{b}_1)x^2$

規律 : $x$ 的 $n$ 次方項 , 其系數是 $\sum _{i=0}^n{a}_i{b}_{n?i}$ , 由 $n+1$ 項組成 , 每一項的 $a_i,b_{n?i}$ 下標之和是 $n$ ;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】生成函数 ( 线性性质 | 乘积性质 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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