文章目錄

• 一、生成函數(shù)換元性質(zhì)
• 二、生成函數(shù)求導(dǎo)性質(zhì)
• 三、生成函數(shù)積分性質(zhì)

參考博客 :

• 【組合數(shù)學(xué)】生成函數(shù) 簡(jiǎn)要介紹 ( 生成函數(shù)定義 | 牛頓二項(xiàng)式系數(shù) | 常用的生成函數(shù) | 與常數(shù)相關(guān) | 與二項(xiàng)式系數(shù)相關(guān) | 與多項(xiàng)式系數(shù)相關(guān) )
• 【組合數(shù)學(xué)】生成函數(shù) ( 線性性質(zhì) | 乘積性質(zhì) )
• 【組合數(shù)學(xué)】生成函數(shù) ( 移位性質(zhì) )
• 【組合數(shù)學(xué)】生成函數(shù) ( 求和性質(zhì) )

一、生成函數(shù)換元性質(zhì)

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生成函數(shù)求和性質(zhì) 1 :

$b_n={\alpha }^n{a}_n$ , 則 $B(x)=A(\alpha x)$

數(shù)列 $a_n$ 的生成函數(shù)是 $A(x)$ , 數(shù)列 $b_n$ 的生成函數(shù)是 $B(x)$ ,

數(shù)列 $a_n=\{a_0,a_1,a_2,?\}$ , 數(shù)列 $b_n=\{{\alpha }^0{a}_0,{\alpha }^1{a}_1,{\alpha }^2{a}_2,?\}$ ;

數(shù)列 $a_n$ 的生成函數(shù) $A(x)=a_0{x}^0+a_{1}x+a_2{x}^2+?$

數(shù)列 $b_n$ 的生成函數(shù) $B(x)={\alpha }^0{a}_0{x}^0+{\alpha }^1{a}_1{x}^1+{\alpha }^2{a}_2{x}^2+?$

證明方法 :

在 $b_n$ 的生成函數(shù) $B(x)$ 中 , 將 ${\alpha }^0{x}^0$ 看作一項(xiàng) , 將 ${\alpha }^1{x}^1$ 看作一項(xiàng) , 將 ${\alpha }^2{x}^2$ 看作一項(xiàng) ,

觀察上述項(xiàng)可以看出 , $\alpha$ 與 $x$ 的冪值是相同的 ,

因此可以 將 $\alpha x$ 看作一個(gè)變量 ,

這樣通過換元可以得到 $B(x)=A(\alpha x)$ 公式 ;

二、生成函數(shù)求導(dǎo)性質(zhì)

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生成函數(shù)求導(dǎo)性質(zhì) :

$b_n=n{a}_n$ , 則 $B(x)=x{A}^{\prime }(x)$

數(shù)列 $a_n$ 的生成函數(shù)是 $A(x)$ , 數(shù)列 $b_n$ 的生成函數(shù)是 $B(x)$ ,

數(shù)列 $a_n=\{a_0,a_1,a_2,?,a_n,?\}$ , 數(shù)列 $b_n=\{0a_0,a_1,2a_2,?,n{a}_n,?\}$ ;

數(shù)列 $a_n$ 的生成函數(shù) $A(x)=a_0{x}^0+a_{1}x+a_2{x}^2+?+a_n{x}^n+?$

數(shù)列 $b_n$ 的生成函數(shù) $B(x)=0a_0{x}^0+1a_1{x}^1+2a_2{x}^2+?+n{a}_n{x}^n+?$

證明上述性質(zhì) :

將 數(shù)列 $a_n$ 的生成函數(shù) $A(x)$ 求導(dǎo) , 再 乘以 $x$ , 即可得到 $B(x)$ ;

$A(x)=a_0{x}^0+a_{1}x+a_2{x}^2+?+a_n{x}^n+?$

使用導(dǎo)數(shù)公式 : $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n?1}$

參考 : 求導(dǎo)-百度百科

$A^{\prime }(x)=0+a_1+2a_{2}x+?+n{a}_n{x}^{n?1}+?$

$x{A}^{\prime }(x)=0+a_{1}x+2a_2{x}^2+?+n{a}_n{x}^n+?=B(x)$

三、生成函數(shù)積分性質(zhì)

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$b_n=\frac{a_n}{n+1}$ , 則 $B(x)=\frac{1}{x}{\int }_0^{x}A(x)dx$

上述性質(zhì)很難記憶 , 由已知生成函數(shù) , 可以推導(dǎo)出未知的生成函數(shù) , 使用時(shí)推導(dǎo)即可 ;

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】生成函数 ( 换元性质 | 求导性质 | 积分性质 )的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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