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【组合数学】生成函数 ( 换元性质 | 求导性质 | 积分性质 )

發布時間：2025/6/17 编程问答 22 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了【组合数学】生成函数 ( 换元性质 | 求导性质 | 积分性质 ) 小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

文章目錄

一、生成函數換元性質
二、生成函數求導性質
三、生成函數積分性質

參考博客 :

【組合數學】生成函數簡要介紹 ( 生成函數定義 | 牛頓二項式系數 | 常用的生成函數 | 與常數相關 | 與二項式系數相關 | 與多項式系數相關 )
【組合數學】生成函數 ( 線性性質 | 乘積性質 )
【組合數學】生成函數 ( 移位性質 )
【組合數學】生成函數 ( 求和性質 )

一、生成函數換元性質

生成函數求和性質 1 :

$bn=αnanb_n = \alpha^n a_n$ , 則 $\alpha x)$

數列 $a_n$ 的生成函數是 $A (x)$ , 數列 $b_n$ 的生成函數是 $B (x)$ ,

數列 $an={a0,a1,a2,?}a_n = \{ a_0 , a_1, a_2 , \cdots \}$ , 數列 $bn={α0a0,α1a1,α2a2,?}b_n = \{ \alpha^0a_0 , \alpha^1a_1, \alpha^2a_2 , \cdots \}$ ;

數列 $a_n$ 的生成函數 $a_0x^0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots$

數列 $b_n$ 的生成函數 $\alpha^0a_0x^0 + \alpha^1a_1x^1 + \alpha^2a_2x^2 + \cdots$

證明方法 :

在 $b_n$ 的生成函數 $B (x)$ 中 , 將 $α0x0\alpha^0x^0$ 看作一項 , 將 $α1x1\alpha^1x^1$ 看作一項 , 將 $α2x2\alpha^2x^2$ 看作一項 ,

觀察上述項可以看出 , $α\alpha$ 與 $x$ 的冪值是相同的 ,

因此可以將 $αx\alpha x$ 看作一個變量 ,

這樣通過換元可以得到 $\alpha x)$ 公式 ;

二、生成函數求導性質

生成函數求導性質 :

$b_n = n a_n$ , 則 $B (x) = x A^{'} (x)$

數列 $a_n$ 的生成函數是 $A (x)$ , 數列 $b_n$ 的生成函數是 $B (x)$ ,

數列 $an={a0,a1,a2,?,an,?}a_n = \{ a_0 , a_1, a_2 , \cdots , a_n , \cdots \}$ , 數列 $bn={0a0,a1,2a2,?,nan,?}b_n = \{ 0a_0 , a_1, 2a_2 , \cdots, na_n ,\cdots \}$ ;

數列 $a_n$ 的生成函數 $a_0x^0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n + \cdots$

數列 $b_n$ 的生成函數 $0a_0x^0 + 1a_1x^1 + 2a_2x^2 + \cdots + na_nx^n + \cdots$

證明上述性質 :

將數列 $a_n$ 的生成函數 $A (x)$ 求導 , 再乘以 $x$ , 即可得到 $B (x)$ ;

$a_0x^0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n + \cdots$

使用導數公式 : $x^n)' = nx^{n-1}$

參考 : 求導-百度百科

$a_1 + 2a_2x + \cdots + na_nx^{n-1} + \cdots$

$a_1x + 2a_2x^2 + \cdots + na_nx^{n} + \cdots = B(x)$

三、生成函數積分性質

$bn=ann+1b_n = \cfrac{a_n}{n+1}$ , 則 $=\cfrac{1}{x} \int^{x}_{0} A( x)dx$

上述性質很難記憶 , 由已知生成函數 , 可以推導出未知的生成函數 , 使用時推導即可 ;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】生成函数 ( 换元性质 | 求导性质 | 积分性质 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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