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• 一、指數(shù)生成函數(shù)求解多重集排列示例 2

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一、指數(shù)生成函數(shù)求解多重集排列示例 2

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使用 白色 紅色 藍(lán)色 涂色 $n$ 個(gè)格子 , 白色的涂色個(gè)數(shù)是偶數(shù) , 求涂色方案?jìng)€(gè)數(shù)

這是一個(gè) 排列問(wèn)題 , 當(dāng)不同的方格涂色交換之后 , 就變成了不同的方案 ,

紅色 , 藍(lán)色 涂色 , 沒(méi)有限制 , 涂色個(gè)數(shù)可以是 $0,1,2,3,4,?$

白色 涂色 , 涂色個(gè)數(shù)是偶數(shù)個(gè) , 涂色個(gè)數(shù)是 $0,2,4,6,8,?$

紅色 , 藍(lán)色 涂色個(gè)數(shù) $0,1,2,3,4,?$ 序列 , 對(duì)應(yīng)的生成函數(shù)項(xiàng)為 :

$\frac{x^0}{0!}+\frac{x^1}{1!}+\frac{x^2}{2!}?=1+x+\frac{x^2}{2!}+?$

白色 涂色個(gè)數(shù) $0,2,4,6,8,?$ 序列 , 對(duì)應(yīng)的生成函數(shù)項(xiàng)為 :

$\frac{x^0}{0!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}?=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+?$

上述涂色方案?jìng)€(gè)數(shù)的指數(shù)生成函數(shù)是 :

$G_e(x)=(1+x+\frac{x^2}{2!}+?)(1+x+\frac{x^2}{2!}+?)(1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+?)$

其中 $1+x+\frac{x^2}{2!}+?$ 可以 寫(xiě)成 $e^x$ 形式 ;

其中 $1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+?$ 可以寫(xiě)成如下形式 :

$1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+?=\frac{1}{2}(e^x+e^{?x})$

$e^x+e^{?x}$ 相加 , 奇次冪符號(hào)相反 , 直接約掉 , 偶數(shù)次冪 變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍, 因此在外面乘以 $\frac{1}{2}$ ;

將上述 $e^x$ 和 $\frac{1}{2}(e^x+e^{?x})$ 替換到 指數(shù)生成函數(shù)中 ;

$G_e(x)=(1+x+\frac{x^2}{2!}+?)(1+x+\frac{x^2}{2!}+?)(1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+?)$

$=\frac{1}{2}(e^x+e^{?x})(e^x)(e^x)$

$=\frac{1}{2}{e}^{3x}+\frac{1}{2}{e}^x$

將 $\frac{1}{2}{e}^x$ 展開(kāi)后為 $\frac{1}{2}(1+x+\frac{x^2}{2!}+?)=\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$

將 $\frac{1}{2}{e}^{3x}$ 展開(kāi)后為 $\frac{1}{2}(1+3x+\frac{(3x{)}^2}{2!}+?)=\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{3^n{x}^n}{n!}$

$=\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{3^n{x}^n}{n!}+\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$

$=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{3^n+1}{2}?\frac{x^n}{n!}$

$\frac{x^n}{n!}$ 前的系數(shù)是 $\frac{3^n+1}{2}$

因此 白色 紅色 藍(lán)色 涂色 $n$ 個(gè)格子 , 白色是偶數(shù)的情況下 , 涂色方案有 $\frac{3^n+1}{2}$ 種 ;

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】指数生成函数 ( 指数生成函数求解多重集排列示例 2 )的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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