文章目錄

• 一、非確定性圖靈機
• 二、非確定性圖靈機 指令
• 三、非確定性圖靈機 計算示例 初始狀態
• 四、計算步驟 1
• 五、計算步驟 2
• 六、計算步驟 3 ( 出現非確定性分支 )
• 七、計算步驟 3-1 ( 分支 1 )
• 八、計算步驟 3-2 ( 分支 2 )
• 九、計算步驟 3-1-1 ( 第 3 步分支 1 后面 1 步 )
• 十、計算步驟 3-2-1 ( 第 3 步分支 2 后面 1 步 )
• 十一、計算樹

一、非確定性圖靈機

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向非確定性圖靈機中輸入字符串 , 每次的后續操作 , 不是唯一的 , 有很多可能性 ;

二、非確定性圖靈機 指令

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非確定性圖靈機計算 :

下圖中的指令 “$0\to 1,\mathrm{R}$” 含義 :

讀寫頭操作 : 如果當前 處于 ${\mathrm{q}}_0$ 狀態 , 讀寫頭指向 $0$ 字符 , 將 $0$ 字符擦除 修改為 $1$ 字符 ;

狀態改變 : 當前狀態修改為 ${\mathrm{q}}_0$ 狀態 ;

讀寫頭移動方向 : $\mathrm{R}$ , Right , 讀寫頭向右移動 ;

下圖中的指令 “$1\to 0,\mathrm{R}$” 含義 :

讀寫頭操作 : 如果當前 處于 ${\mathrm{q}}_0$ 狀態 , 讀寫頭指向 $1$ 字符 , 將 $1$ 字符擦除 修改為 $0$ 字符 ;

狀態改變 : 當前狀態修改為 ${\mathrm{q}}_1$ 狀態 ;

讀寫頭移動方向 : $\mathrm{R}$ , Right , 讀寫頭向右移動 ;

三、非確定性圖靈機 計算示例 初始狀態

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假設向該圖靈機中輸入 $\mathrm{w}=0101$ 字符串 , 下面是詳細的計算過程 :

最初狀態如下 : 默認狀態 ${\mathrm{q}}_0$ , 讀寫頭指向第 $1$ 個字符 $0$ 字符 ; 后面的 $\mathrm{B}$ 指的是空白字符 ;

格局 : ${\mathrm{q}}_{0}0101$

( 格局 即 當前快照 , 狀態寫在當前 讀寫頭 指向的字符 的 左邊 )

四、計算步驟 1

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當前是 ${\mathrm{q}}_0$ 狀態 , 讀到 $0$ 字符 ;

符合條件的指令 : ${\mathrm{q}}_0$ 狀態 下執行 “$0\to 1,\mathrm{R}$” 指令 狀態轉為 ${\mathrm{q}}_0$ 狀態 ,

讀寫頭將 $0$ 字符改為 $1$ 字符 , 向右移動一格字符 ;

自動機變為如下狀態 , 格局是 $1{\mathrm{q}}_{0}101$ ; ( 格局中 , 狀態寫在讀寫頭指向的字符前面 )

格局進度 :

五、計算步驟 2

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當前是 ${\mathrm{q}}_0$ 狀態 , 讀到 $1$ 字符 ;

符合條件的指令 : ${\mathrm{q}}_0$ 狀態 下執行 “$1\to 0,\mathrm{R}$” 指令 狀態轉為 ${\mathrm{q}}_1$ 狀態 ,

讀寫頭將 $1$ 字符改為 $0$ 字符 , 向右移動一格字符 ;

自動機變為如下狀態 , 格局是 $10{\mathrm{q}}_{1}01$ ; ( 格局中 , 狀態寫在讀寫頭指向的字符前面 )

格局進度 :

六、計算步驟 3 ( 出現非確定性分支 )

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當前是 ${\mathrm{q}}_1$ 狀態 , 讀到 $0$ 字符 ;

符合條件的指令有兩條 :

① 指令 $1$ : ${\mathrm{q}}_1$ 狀態 下執行 “$0\to 0,\mathrm{R}$” 指令 狀態轉為 ${\mathrm{q}}_1$ 狀態 ;

② 指令 $2$ : ${\mathrm{q}}_1$ 狀態 下執行 “$0\to 0,\mathrm{L}$” 指令 狀態轉為 ${\mathrm{q}}_0$ 狀態 ;

上述兩個指令 分別是 向左移動 , 向右移動 ;

七、計算步驟 3-1 ( 分支 1 )

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執行指令 $1$ , 讀寫頭將 $0$ 字符改為 $0$ 字符 , 向右移動一格字符 ;

自動機變為如下狀態 , 格局是 $100{\mathrm{q}}_{1}1$ ; ( 格局中 , 狀態寫在讀寫頭指向的字符前面 )

格局進度 :

八、計算步驟 3-2 ( 分支 2 )

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執行指令 $2$ , 讀寫頭將 $0$ 字符改為 $0$ 字符 , 向左移動一格字符 ;

自動機變為如下狀態 , 格局是 $1{\mathrm{q}}_{1}001$ ; ( 格局中 , 狀態寫在讀寫頭指向的字符前面 )

格局進度 :

九、計算步驟 3-1-1 ( 第 3 步分支 1 后面 1 步 )

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在 計算步驟 3-1 計算完成的基礎上 , 繼續后續計算 :

在 ${\mathrm{q}}_1$ 狀態下 , 讀取 $1$ 字符 ;

符合條件的指令 : ${\mathrm{q}}_1$ 狀態下執行 “$1\to 1,\mathrm{R}$” 指令 狀態轉為 ${\mathrm{q}}_1$ 狀態 ,

自動機變為如下狀態 , 格局是 $1001{\mathrm{q}}_1$ ; ( 格局中 , 狀態寫在讀寫頭指向的字符前面 )

格局進度 :

十、計算步驟 3-2-1 ( 第 3 步分支 2 后面 1 步 )

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在 計算步驟 3-2 計算完成的基礎上 , 繼續后續計算 :

當前是 ${\mathrm{q}}_1$ 狀態 , 讀到 $0$ 字符 ;

符合條件的指令有兩條 :

① 指令 $1$ : ${\mathrm{q}}_1$ 狀態下執行 “$0\to 0,\mathrm{R}$” 指令 狀態轉為 ${\mathrm{q}}_1$ 狀態 ;

② 指令 $2$ : ${\mathrm{q}}_1$ 狀態下執行 “$0\to 0,\mathrm{L}$” 指令 狀態轉為 ${\mathrm{q}}_0$ 狀態 ;

上述兩個指令 分別是 向左移動 , 向右移動 ;

此處又要開始分支 , 就不再詳細分析了 ; 格局會如下繼續分叉 ;

十一、計算樹

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非確定性圖靈機 讀取特定字符串 $w$ , 可以生成一個 樹形的 格局的 數據結構 ; 該數據結構稱為 計算樹 ;

計算樹樣式如下 :

計算樹中 , 每個箭頭都代表一個圖靈機的計算指令步驟 ;

分析計算模型的計算復雜度時 , 需要將圖靈機的計算過程 , 轉為上圖計算樹樣式的數據結構 , 在該數據結構上可以更容易理解計算復雜度 ;

計算樹有可能出現一個分支 , 有無限長的箭頭成的計算 , 也就是說圖靈機在計算該計算樹分支的時候 , 永不停機 , 這種情況是允許出現的 ;

計算樹中還有可能出現一個分支 , 在很早的時候 , 就達到了接受狀態 , 圖靈機自動停機 ;

總結

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