文章目錄

• 一、小 O 記號 ( 嚴格漸進上界 )
• 二、分析算法的時間復雜度

一、小 O 記號 ( 嚴格漸進上界 )

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如果 $\mathrm{g}(\mathrm{n})$ 是 $\mathrm{f}(\mathrm{n})$ 漸進上界 , 符號化表示為 $\mathrm{f}(\mathrm{n})=\mathrm{O}(\mathrm{g}(\mathrm{n}))$ ,

如果 $\mathrm{f}(\mathrm{n})$ 除以 $\mathrm{g}(\mathrm{n})$ , 求 $n\to \infty$ 極限為 $0$ 時 , 符號化表示為 $\mathrm{l}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_{\mathrm{n}\to \infty }\frac{\mathrm{f}(\mathrm{n})}{\mathrm{g}(\mathrm{n})}=0$ ,

那么稱 $\mathrm{g}(\mathrm{n})$ 是 $\mathrm{f}(\mathrm{n})$ 的 嚴格漸進上界 ;

嚴格漸進上界使用 小 $\mathrm{o}$ 記號 表示 :

① $\sqrt{\mathrm{n}}=\mathrm{o}(\mathrm{n})$

② $\mathrm{n}=\mathrm{o}(\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{n})$

③ $\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{n}=\mathrm{o}(\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{n})$

④ $\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{n}=\mathrm{o}({\mathrm{n}}^2)$

⑤ ${\mathrm{n}}^2=\mathrm{o}({\mathrm{n}}^3)$

二、分析算法的時間復雜度

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構造圖靈機認識如下語言 : $\mathrm{A}=\{0^{\mathrm{k}}{1}^{\mathrm{k}}:\mathrm{k}\ge 0\}$

${\mathrm{M}}_1=$ "在長度為 $\mathrm{n}$ 的字符串 $\mathrm{w}$ 上進行如下計算 :

① 掃描整個帶子上的字符串 , 查看 $0$ 和 $1$ 的順序 , 所有的 $0$ 必須在所有的 $1$ 前面 ; 如果順序錯誤 , 進入拒絕狀態 ;

② 掃描整個帶子 , 遇到一個 $0$ , 就劃掉一個 $1$ ; 如果帶子上存在 $0$ 和 $1$ , 該操作重復進行 ;

③ 如果最后只剩下 $0$ 或只剩下 $1$ , 說明 兩個數字的個數不等 , 進入拒絕狀態 ; 如果最后帶子上只剩下空白字符 , 說明兩個數字個數相等 , 進入接受狀態 ; "

分析上述算法的時間復雜度 :

字符串 $\mathrm{w}="0000?1111?"$ , 整個 字符串長度為 $\mathrm{n}$ ;

① 首先從左向右掃描一遍字符串 , 如果 $0$ 出現在 $1$ 右邊 , 說明字符串不符合條件 , 檢查的字符個數最壞的情況就是遍歷 $\mathrm{n}$ 次 , 使用 大 $\mathrm{O}$ 標記 為 : $\mathrm{O}(\mathrm{n})$ ;

② 掃描帶子 , 讀取到一個 $0$ , 劃掉一個 $1$ , 然后在掉過頭來 , 讀取到一個 $0$ , 劃掉一個 $1$ ;

這是一個循環 , 計算循環復雜度 , 只需要考慮 每次循環花費的時間 , 和 循環次數 ;

循環的次數最壞情況是 $\frac{\mathrm{n}}{2}$ , 還是 $\mathrm{n}$ 的數量級 , 標記為 $\mathrm{O}(\mathrm{n})$ ;

每次循環的花費時間步數 : 向右走 $\frac{\mathrm{n}}{2}$ 步 , 找到 $1$ 字符 , 刪除 $1$ 字符后 , 然后再向左 $\frac{\mathrm{n}}{2}$ 步 回到第 $0$ 個 , 大約是 $\frac{\mathrm{n}}{2}$ 步 , 數量級還是 $n$ , 使用 大 $\mathrm{O}$ 標記 為 : $\mathrm{O}(\mathrm{n})$ ;

將上述 循環次數 和 每次循環步數 大 $\mathrm{O}$ 標記 相乘 , 就是該階段的 大 $\mathrm{O}$ 標記 為 : $\mathrm{O}(\mathrm{n})\times \mathrm{O}(\mathrm{n})=\mathrm{O}({\mathrm{n}}^2)$ ;

上述 ① 和 ② 總的 大 $\mathrm{O}$ 標記 為 : $\mathrm{O}(\mathrm{n})+\mathrm{O}({\mathrm{n}}^2)=\mathrm{O}({\mathrm{n}}^2)$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【计算理论】计算复杂性 ( 小 O 记号 | 严格渐进上界 | 分析算法的时间复杂度 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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