文章目錄

• 一、最優(yōu)解判別
• 二、初始基可行解
• 三、運(yùn)費(fèi)修改可行性方案
• 四、閉回路法

一、最優(yōu)解判別

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在上兩篇博客 【運(yùn)籌學(xué)】表上作業(yè)法 ( 求初始基可行解 | 最小元素法 ) , 【運(yùn)籌學(xué)】表上作業(yè)法 ( 最小元素法分析 | Vogel 方法 ) 中 , 分別給出了表上作業(yè)法如何找初始基可行解 , 兩種方法 " 最小元素法 " 和 " Vogel 方法 ( 差額法 ) " , 其中 Vogel 方法 得到的初始基可行解更靠近最優(yōu)解 ;

下面開(kāi)始判斷該 初始基可行解 是否是 最優(yōu)解 ;

最優(yōu)解判別 : 得到一組 基可行解 之后 , 使用 檢驗(yàn)數(shù) 判定該解是否是最優(yōu)解 ;

檢驗(yàn)數(shù)符號(hào) : 變量 ${\mathrm{x}}_{\mathrm{i}\mathrm{j}}$ 的檢驗(yàn)數(shù)記作 ${\lambda }_{\mathrm{i}\mathrm{j}}$ ;

檢驗(yàn)數(shù)判定原則 : 運(yùn)輸規(guī)劃的 目標(biāo)函數(shù)求最小值 時(shí) , 所有的 非基變量檢驗(yàn)數(shù) ${\lambda }_{\mathrm{i}\mathrm{j}}$ 都非負(fù) , 該基可行解就是最優(yōu)解 , 該運(yùn)輸方案是最優(yōu)方案 ;

求檢驗(yàn)數(shù)的方法 : ① 閉回路法 , ② 位勢(shì)法 ;

二、初始基可行解

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使用最小元素法求得的初始基可行解 :

${\mathrm{B}}_1$${\mathrm{B}}_2$${\mathrm{B}}_3$${\mathrm{B}}_4$產(chǎn)量

${\mathrm{A}}_1$	$3$	$11$	$3$ , $4$	$10$ , $3$	$7$
${\mathrm{A}}_2$	$1$ , $3$	$9$	$2$ , $1$	$8$	$4$
${\mathrm{A}}_3$	$7$	$4$ , $6$	$10$	$5$ , $3$	$9$
銷量	$3$	$6$	$5$	$6$

使用 最小元素法, 得到初始基可行解 : $?\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_{13}=4\\ \\ {\mathrm{x}}_{14}=3\\ \\ {\mathrm{x}}_{21}=3\\ \\ {\mathrm{x}}_{23}=1\\ \\ {\mathrm{x}}_{32}=6\\ \\ {\mathrm{x}}_{34}=3\end{array}$

使用 Vogel 方法求得初始基可行解 :

${\mathrm{B}}_1$${\mathrm{B}}_2$${\mathrm{B}}_3$${\mathrm{B}}_4$產(chǎn)量行差額

${\mathrm{A}}_1$	$3$ , $2$	$11$	$3$ , $5$	$10$	$7$	$0$
${\mathrm{A}}_2$	$1$ , $1$	$9$	$2$	$8$ , $3$	$4$	$1$
${\mathrm{A}}_3$	$7$	$4$ , $6$	$10$	$5$ , $3$	$9$	$2$
銷量	$3$	$6$	$5$	$6$
列差額	$2$	$5$	$1$	$2$

使用 Vogel 方法, 得到初始基可行解 : $?\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_{11}=2\\ \\ {\mathrm{x}}_{13}=5\\ \\ {\mathrm{x}}_{21}=1\\ \\ {\mathrm{x}}_{24}=3\\ \\ {\mathrm{x}}_{32}=6\\ \\ {\mathrm{x}}_{34}=3\end{array}$

推薦使用 Vogel 方法計(jì)算初始基可行解 ;

三、運(yùn)費(fèi)修改可行性方案

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以最小元素法獲得的初始基可行解為例 :

${\mathrm{B}}_1$${\mathrm{B}}_2$${\mathrm{B}}_3$${\mathrm{B}}_4$產(chǎn)量

${\mathrm{A}}_1$	$3$	$11$	$3$ , $4$	$10$ , $3$	$7$
${\mathrm{A}}_2$	$1$ , $3$	$9$	$2$ , $1$	$8$	$4$
${\mathrm{A}}_3$	$7$	$4$ , $6$	$10$	$5$ , $3$	$9$
銷量	$3$	$6$	$5$	$6$

當(dāng)前的初始基可行解的總運(yùn)費(fèi)計(jì)算如下 :

$(3\times 4)+(10\times 3)+(1\times 3)+(2\times 1)+(4\times 6)+(3\times 5)=86$

提出問(wèn)題 :

在上述運(yùn)輸規(guī)劃表格中 , ${\mathrm{A}}_2$ 沒(méi)有向 ${\mathrm{B}}_4$ 運(yùn)輸產(chǎn)品 , 如果想要增加該項(xiàng)的運(yùn)輸 ;

${\mathrm{A}}_2$ 的產(chǎn)量是固定的 , 不能憑空多出來(lái) , 如果想要多給 ${\mathrm{B}}_4$ 運(yùn)輸一部分 , 一定要減少其它銷地的運(yùn)輸 ;

這里 ${\mathrm{A}}_2$ 可以減少向 ${\mathrm{B}}_1$ 或 ${\mathrm{B}}_3$ 銷地運(yùn)輸產(chǎn)品的個(gè)數(shù) ;

假如想要減少 ${\mathrm{A}}_2$ 產(chǎn)地運(yùn)往 ${\mathrm{B}}_1$ 銷地的產(chǎn)品數(shù)量 , 但對(duì)于 ${\mathrm{B}}_1$ 銷地來(lái)說(shuō) , 從 ${\mathrm{A}}_2$ 產(chǎn)地獲取的產(chǎn)品少了 , 需要從其它產(chǎn)地獲取更多產(chǎn)品 , 而此時(shí)其它的產(chǎn)地的產(chǎn)品運(yùn)輸都是飽和的 , 多不出來(lái) ;

運(yùn)量變化規(guī)則 :

單純形法中每次迭代中 , 要選出一個(gè) 出基變量 , 和一個(gè) 入基變量 , 這兩個(gè)成對(duì)出現(xiàn) ;

同理在運(yùn)輸規(guī)劃中 , 也有類似的概念 ; 增加某個(gè)方向的運(yùn)量 , 需要立刻體現(xiàn)出 減少了某個(gè)方向的運(yùn)量 , 增加一個(gè) , 減少一個(gè) ; 增加和減少交替出現(xiàn) ;

不可行的修改方案 :

如果想要增加一個(gè)銷地的運(yùn)量 , 就需要減少另外一個(gè)銷地的運(yùn)量 , 但是注意 , 減少另外銷地的運(yùn)量不能影響其它的運(yùn)輸問(wèn)題 , 上述情況下 增加 ${\mathrm{A}}_2$ 向 ${\mathrm{B}}_4$ 的運(yùn)量 , 此時(shí)如果要 減少 ${\mathrm{A}}_2$ 對(duì) ${\mathrm{B}}_1$ 的運(yùn)量 , 會(huì)引起 ${\mathrm{B}}_1$ 銷地供貨不足 , 導(dǎo)致另外的連鎖反應(yīng) , 需要增加另外產(chǎn)地的向 ${\mathrm{B}}_1$ 供貨 , 但是 ${\mathrm{A}}_1,{\mathrm{A}}_3$ 都沒(méi)有可以增加供貨的空間 ;

這樣無(wú)法形成一個(gè)閉合回路 ;

可行的修改方案 :

增加 ${\mathrm{A}}_2$ 向 ${\mathrm{B}}_4$ 的運(yùn)量 , 如果 減小 ${\mathrm{A}}_2$ 向 ${\mathrm{B}}_3$ 運(yùn)輸?shù)漠a(chǎn)品數(shù) , ${\mathrm{B}}_3$ 得到的物資從 ${\mathrm{A}}_2$ 減少 , 那么相應(yīng) ${\mathrm{A}}_1$ 向 ${\mathrm{B}}_3$ 供貨需要增加 , ${\mathrm{A}}_2$ 向 ${\mathrm{B}}_3$ 的運(yùn)輸量最多減少 $1$ 個(gè) , 對(duì)于 ${\mathrm{A}}_1$ 來(lái)說(shuō) , 向 ${\mathrm{A}}_3$ 運(yùn)輸增加了 , 一定需要減少運(yùn)往某個(gè)銷地的運(yùn)量 , 只能 減少 ${\mathrm{A}}_1$ 到 ${\mathrm{B}}_4$ 的運(yùn)量 , 此時(shí)發(fā)現(xiàn)產(chǎn)銷又平衡了 ;

${\mathrm{A}}_2$ 到 ${\mathrm{B}}_4$ 最多能增加 $1$ 個(gè)單位 , 此時(shí) ${\mathrm{A}}_2$ 到 ${\mathrm{B}}_3$ 減少 $1$ 個(gè)單位 , ${\mathrm{A}}_1$ 到 ${\mathrm{B}}_3$ 增加 $1$ 個(gè)單位 , ${\mathrm{A}}_1$ 到 ${\mathrm{B}}_4$ 減少 $1$ 個(gè)單位 ;

是否采取上述可行的修改方案 , 要看修改后的總運(yùn)費(fèi)是否小于修改前的總運(yùn)費(fèi) , 如果修改后總費(fèi)用減小 , 則進(jìn)行修改 , 反之則不修改 ;

經(jīng)過(guò)上述計(jì)算后的運(yùn)費(fèi)表格如下 :

${\mathrm{B}}_1$${\mathrm{B}}_2$${\mathrm{B}}_3$${\mathrm{B}}_4$產(chǎn)量

${\mathrm{A}}_1$	$3$	$11$	$3$ , $5$	$10$ , $2$	$7$
${\mathrm{A}}_2$	$1$ , $3$	$9$	$2$	$8$ , $1$	$4$
${\mathrm{A}}_3$	$7$	$4$ , $6$	$10$	$5$ , $3$	$9$
銷量	$3$	$6$	$5$	$6$

計(jì)算當(dāng)前的總運(yùn)費(fèi) :

$(3\times 5)+(10\times 2)+(1\times 3)+(8\times 1)+(4\times 6)+(3\times 5)=85$

總費(fèi)用確實(shí)減少了 , 比之前的減少了 $1$ 的總費(fèi)用 , 需要采取修改后的方案 ;

與之前的總運(yùn)費(fèi)表格對(duì)比 :

此時(shí) ${\mathrm{x}}_{24}$ 是新增加的基變量 , 這是 入基變量 , 由非基變量變?yōu)榛兞?;

原來(lái)的基變量 ${\mathrm{x}}_{23}$ 變成了非基變量 , 這是 出基變量 ;

四、閉回路法

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閉回路法 :

上述示例中找了一個(gè) ${\mathrm{A}}_2$ 到 ${\mathrm{B}}_4$ 的格子對(duì)應(yīng)的非基變量 ${\mathrm{x}}_{24}$ 找閉回路 , 實(shí)際上任意一個(gè)非基變量都存在一個(gè)閉回路 ;

此時(shí)找到了針對(duì)最優(yōu)解的判定方案 , 是針對(duì) 非基變量 進(jìn)行判斷 , 對(duì)于 任意一個(gè)非基變量 , 都可以找到這樣的閉回路 ,

出發(fā)的格子中 增加運(yùn)輸量 , 然后某個(gè)格子需要 減少運(yùn)輸量 , 增加 與 減少 依次交替 , 最終能回到初始的格子, 達(dá)到產(chǎn)銷平衡 ;

出發(fā)的格子使用加號(hào) $+$ , 第二個(gè)格子使用減號(hào) $?$ , 之后的歌詞依次使用 加號(hào)減號(hào)交替 $+?$ 符號(hào) ;

讓其運(yùn)費(fèi)做一個(gè) " $+?+??$ " 運(yùn)算 , 最終看代數(shù)和 ;

如果代數(shù)和 大于等于 $0$ , 說(shuō)明當(dāng)前的非基變量格子取 $0$ 就是 最優(yōu)選擇 ;

如果代數(shù)和 小于 $0$ , 說(shuō)明當(dāng)前的非基變量格子取 $0$ 不是最優(yōu)選擇 ;

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【运筹学】表上作业法 ( 最优解判别 | 初始基可行解 | 运费修改可行性方案 | 闭回路法 )的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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