文章目錄

• 一、最優解判別
• 二、初始基可行解
• 三、運費修改可行性方案
• 四、閉回路法

一、最優解判別

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在上兩篇博客 【運籌學】表上作業法 ( 求初始基可行解 | 最小元素法 ) , 【運籌學】表上作業法 ( 最小元素法分析 | Vogel 方法 ) 中 , 分別給出了表上作業法如何找初始基可行解 , 兩種方法 " 最小元素法 " 和 " Vogel 方法 ( 差額法 ) " , 其中 Vogel 方法 得到的初始基可行解更靠近最優解 ;

下面開始判斷該 初始基可行解 是否是 最優解 ;

最優解判別 : 得到一組 基可行解 之后 , 使用 檢驗數 判定該解是否是最優解 ;

檢驗數符號 : 變量 ${\mathrm{x}}_{\mathrm{i}\mathrm{j}}$ 的檢驗數記作 ${\lambda }_{\mathrm{i}\mathrm{j}}$ ;

檢驗數判定原則 : 運輸規劃的 目標函數求最小值 時 , 所有的 非基變量檢驗數 ${\lambda }_{\mathrm{i}\mathrm{j}}$ 都非負 , 該基可行解就是最優解 , 該運輸方案是最優方案 ;

求檢驗數的方法 : ① 閉回路法 , ② 位勢法 ;

二、初始基可行解

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使用最小元素法求得的初始基可行解 :

${\mathrm{B}}_1$${\mathrm{B}}_2$${\mathrm{B}}_3$${\mathrm{B}}_4$產量

${\mathrm{A}}_1$	$3$	$11$	$3$ , $4$	$10$ , $3$	$7$
${\mathrm{A}}_2$	$1$ , $3$	$9$	$2$ , $1$	$8$	$4$
${\mathrm{A}}_3$	$7$	$4$ , $6$	$10$	$5$ , $3$	$9$
銷量	$3$	$6$	$5$	$6$

使用 最小元素法, 得到初始基可行解 : $?\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_{13}=4\\ \\ {\mathrm{x}}_{14}=3\\ \\ {\mathrm{x}}_{21}=3\\ \\ {\mathrm{x}}_{23}=1\\ \\ {\mathrm{x}}_{32}=6\\ \\ {\mathrm{x}}_{34}=3\end{array}$

使用 Vogel 方法求得初始基可行解 :

${\mathrm{B}}_1$${\mathrm{B}}_2$${\mathrm{B}}_3$${\mathrm{B}}_4$產量行差額

${\mathrm{A}}_1$	$3$ , $2$	$11$	$3$ , $5$	$10$	$7$	$0$
${\mathrm{A}}_2$	$1$ , $1$	$9$	$2$	$8$ , $3$	$4$	$1$
${\mathrm{A}}_3$	$7$	$4$ , $6$	$10$	$5$ , $3$	$9$	$2$
銷量	$3$	$6$	$5$	$6$
列差額	$2$	$5$	$1$	$2$

使用 Vogel 方法, 得到初始基可行解 : $?\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_{11}=2\\ \\ {\mathrm{x}}_{13}=5\\ \\ {\mathrm{x}}_{21}=1\\ \\ {\mathrm{x}}_{24}=3\\ \\ {\mathrm{x}}_{32}=6\\ \\ {\mathrm{x}}_{34}=3\end{array}$

推薦使用 Vogel 方法計算初始基可行解 ;

三、運費修改可行性方案

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以最小元素法獲得的初始基可行解為例 :

${\mathrm{B}}_1$${\mathrm{B}}_2$${\mathrm{B}}_3$${\mathrm{B}}_4$產量

${\mathrm{A}}_1$	$3$	$11$	$3$ , $4$	$10$ , $3$	$7$
${\mathrm{A}}_2$	$1$ , $3$	$9$	$2$ , $1$	$8$	$4$
${\mathrm{A}}_3$	$7$	$4$ , $6$	$10$	$5$ , $3$	$9$
銷量	$3$	$6$	$5$	$6$

當前的初始基可行解的總運費計算如下 :

$(3\times 4)+(10\times 3)+(1\times 3)+(2\times 1)+(4\times 6)+(3\times 5)=86$

提出問題 :

在上述運輸規劃表格中 , ${\mathrm{A}}_2$ 沒有向 ${\mathrm{B}}_4$ 運輸產品 , 如果想要增加該項的運輸 ;

${\mathrm{A}}_2$ 的產量是固定的 , 不能憑空多出來 , 如果想要多給 ${\mathrm{B}}_4$ 運輸一部分 , 一定要減少其它銷地的運輸 ;

這里 ${\mathrm{A}}_2$ 可以減少向 ${\mathrm{B}}_1$ 或 ${\mathrm{B}}_3$ 銷地運輸產品的個數 ;

假如想要減少 ${\mathrm{A}}_2$ 產地運往 ${\mathrm{B}}_1$ 銷地的產品數量 , 但對于 ${\mathrm{B}}_1$ 銷地來說 , 從 ${\mathrm{A}}_2$ 產地獲取的產品少了 , 需要從其它產地獲取更多產品 , 而此時其它的產地的產品運輸都是飽和的 , 多不出來 ;

運量變化規則 :

單純形法中每次迭代中 , 要選出一個 出基變量 , 和一個 入基變量 , 這兩個成對出現 ;

同理在運輸規劃中 , 也有類似的概念 ; 增加某個方向的運量 , 需要立刻體現出 減少了某個方向的運量 , 增加一個 , 減少一個 ; 增加和減少交替出現 ;

不可行的修改方案 :

如果想要增加一個銷地的運量 , 就需要減少另外一個銷地的運量 , 但是注意 , 減少另外銷地的運量不能影響其它的運輸問題 , 上述情況下 增加 ${\mathrm{A}}_2$ 向 ${\mathrm{B}}_4$ 的運量 , 此時如果要 減少 ${\mathrm{A}}_2$ 對 ${\mathrm{B}}_1$ 的運量 , 會引起 ${\mathrm{B}}_1$ 銷地供貨不足 , 導致另外的連鎖反應 , 需要增加另外產地的向 ${\mathrm{B}}_1$ 供貨 , 但是 ${\mathrm{A}}_1,{\mathrm{A}}_3$ 都沒有可以增加供貨的空間 ;

這樣無法形成一個閉合回路 ;

可行的修改方案 :

增加 ${\mathrm{A}}_2$ 向 ${\mathrm{B}}_4$ 的運量 , 如果 減小 ${\mathrm{A}}_2$ 向 ${\mathrm{B}}_3$ 運輸的產品數 , ${\mathrm{B}}_3$ 得到的物資從 ${\mathrm{A}}_2$ 減少 , 那么相應 ${\mathrm{A}}_1$ 向 ${\mathrm{B}}_3$ 供貨需要增加 , ${\mathrm{A}}_2$ 向 ${\mathrm{B}}_3$ 的運輸量最多減少 $1$ 個 , 對于 ${\mathrm{A}}_1$ 來說 , 向 ${\mathrm{A}}_3$ 運輸增加了 , 一定需要減少運往某個銷地的運量 , 只能 減少 ${\mathrm{A}}_1$ 到 ${\mathrm{B}}_4$ 的運量 , 此時發現產銷又平衡了 ;

${\mathrm{A}}_2$ 到 ${\mathrm{B}}_4$ 最多能增加 $1$ 個單位 , 此時 ${\mathrm{A}}_2$ 到 ${\mathrm{B}}_3$ 減少 $1$ 個單位 , ${\mathrm{A}}_1$ 到 ${\mathrm{B}}_3$ 增加 $1$ 個單位 , ${\mathrm{A}}_1$ 到 ${\mathrm{B}}_4$ 減少 $1$ 個單位 ;

是否采取上述可行的修改方案 , 要看修改后的總運費是否小于修改前的總運費 , 如果修改后總費用減小 , 則進行修改 , 反之則不修改 ;

經過上述計算后的運費表格如下 :

${\mathrm{B}}_1$${\mathrm{B}}_2$${\mathrm{B}}_3$${\mathrm{B}}_4$產量

${\mathrm{A}}_1$	$3$	$11$	$3$ , $5$	$10$ , $2$	$7$
${\mathrm{A}}_2$	$1$ , $3$	$9$	$2$	$8$ , $1$	$4$
${\mathrm{A}}_3$	$7$	$4$ , $6$	$10$	$5$ , $3$	$9$
銷量	$3$	$6$	$5$	$6$

計算當前的總運費 :

$(3\times 5)+(10\times 2)+(1\times 3)+(8\times 1)+(4\times 6)+(3\times 5)=85$

總費用確實減少了 , 比之前的減少了 $1$ 的總費用 , 需要采取修改后的方案 ;

與之前的總運費表格對比 :

此時 ${\mathrm{x}}_{24}$ 是新增加的基變量 , 這是 入基變量 , 由非基變量變為基變量 ;

原來的基變量 ${\mathrm{x}}_{23}$ 變成了非基變量 , 這是 出基變量 ;

四、閉回路法

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閉回路法 :

上述示例中找了一個 ${\mathrm{A}}_2$ 到 ${\mathrm{B}}_4$ 的格子對應的非基變量 ${\mathrm{x}}_{24}$ 找閉回路 , 實際上任意一個非基變量都存在一個閉回路 ;

此時找到了針對最優解的判定方案 , 是針對 非基變量 進行判斷 , 對于 任意一個非基變量 , 都可以找到這樣的閉回路 ,

出發的格子中 增加運輸量 , 然后某個格子需要 減少運輸量 , 增加 與 減少 依次交替 , 最終能回到初始的格子, 達到產銷平衡 ;

出發的格子使用加號 $+$ , 第二個格子使用減號 $?$ , 之后的歌詞依次使用 加號減號交替 $+?$ 符號 ;

讓其運費做一個 " $+?+??$ " 運算 , 最終看代數和 ;

如果代數和 大于等于 $0$ , 說明當前的非基變量格子取 $0$ 就是 最優選擇 ;

如果代數和 小于 $0$ , 說明當前的非基變量格子取 $0$ 不是最優選擇 ;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【运筹学】表上作业法 ( 最优解判别 | 初始基可行解 | 运费修改可行性方案 | 闭回路法 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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