文章目錄

• 一、根據 " 線性常系數差分方程 " 與 " 邊界條件 " 確定系統是否是 " 線性時不變系統 " 案例
• • 1、根據 " 線性時不變系統 " 定義證明
  • • 假設一
    • 假設二
    • 假設三

參考 【數字信號處理】線性常系數差分方程 ( “ 線性常系數差分方程 “ 與 “ 線性時不變系統 “ 關聯 | 根據 “ 線性常系數差分方程 “ 與 “ 邊界條件 “ 確定系統是否是 線性時不變系統方法 ) 中提出的方法 , 根據

• " 線性常系數差分方程 "
• " 邊界條件 "

判斷系統是否是 " 線性時不變系統 " ;

一、根據 " 線性常系數差分方程 " 與 " 邊界條件 " 確定系統是否是 " 線性時不變系統 " 案例

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線性常系數差分方程 :

$$y(n)?ay(n?1)=x(n)$$

邊界條件 ( 初始條件 ) :

$$y(0)=1$$

分析該 " 線性常系數差分方程 " 與 " 邊界條件 " 確定的系統 是否是 " 線性時不變系統 " ;

1、根據 " 線性時不變系統 " 定義證明

證明一個系統是 " 線性時不變系統 " ( LTI 系統 ) , 需要證明 系統 滿足 " 疊加性 " 和 " 不隨著時間的變化而變化特性 " 特點 ;

假設一

假設一個 " 輸入序列 $x_1(n)$ " :

$$x_1(n)=\delta (n)$$

初始條件是 :

$$y_1(0)=1$$

通過 " 遞推解法 " 可以得到 :
$$y_1(n)=a^{n}u(n)$$

推導過程參考 【數字信號處理】線性常系數差分方程 ( 使用遞推解法求解 “ 線性常系數差分方程 “ | “ 線性常系數差分方程 “ 初始條件的重要性 ) 博客 ;

假設二

證明 " 線性時不變 " , 這里將 " 輸入序列 " 移位 , 然后再查看 " 輸出序列 " , 驗證 " 時不變特性 " ;

假設一個 " 輸入序列 $x_2(n)$ " :

$$x_2(n)=\delta (n?1)$$

初始條件是 :

$$y_2(0)=1$$

通過 " 遞推解法 " 可以得到 :
$$y_2(n)=a^{n}u(n)+a^{n?1}u(n?1)$$

輸入序列 $x_2(n)$ 比 $x_1(n)$ 延遲了 , 但是輸出序列 $y_1(n)$ 和 $y_2(n)$ 是不同的 ;

比較 $y_1(n)$ 和 $y_2(n)$ 可知 , 時間改變了 , 發生了位移 , 對應的 " 輸出序列 " 也改變了 , " 時不變 " 不成立 , 這是一個時變特性 ;

假設三

證明 " 線性時不變 " , 這里將之前假設的 $2$ 個 " 輸入序列 " 相加 , 然后再查看 " 輸出序列 " , 驗證 " 線性 " ;

假設一個 " 輸入序列 $x_3(n)$ " :

$$x_3(n)=x_1(n)+x_2(n)=\delta (n)+\delta (n?1)$$

初始條件是 :

$$y_3(0)=1$$

通過 " 遞推解法 " 可以得到 :
$$y_3(n)=a^{n}u(n)+a^{n?1}u(n?1)$$

比較 $y_1(n)+y_2(n)$ 與 $y_3(n)$ , 二者不同 , " 線性 " 不成立 ;

該系統 , 既不是線性系統 , 又不是 時不變系統 ;

該系統是 非線性時變 系統 ;

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( 根据 “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 边界条件 “ 确定系统是否是 “ 线性时不变系统 “ 案例 | 根据 “ 线性时不变系统 “ 定义证明 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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