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• 一、有限信號的自相關函數

一、有限信號的自相關函數

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對于 " 有限信號 " $x(n)$ , $n$ 的取值范圍是 $[0,N?1]$ 閉區間 ;

則 有限信號 $x(n)$ 的 自相關函數 是 :

$$r_x(m)=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N?1?m}{x}^{?}(n)x(n+m)$$

${\sum }_{n=0}^{N?1?m}{x}^{?}(n)x(n+m)$ 除以 $N$ 相當于在 $m$ 為 $0$ 時 , 該自相關函數的值就是 信號功率 ;

$$r_x(0)=信號功率$$

求 均值 或 方差 , 都需要與 $N$ 相除 , $N$ 是時間 , 也就是有限信號的個數 , 這里就是 對 時間 求平均 ;

有限信號 是 能量信號 , " 自相關函數 " 的 " 傅里葉變換 " 是 " 功率譜密度函數 " ,

有限信號 的 時間 $n$ 的取值范圍 是 $[0,N?1]$ 閉區間 , 但是公式中的 加和式 是

$$\sum _{n=0}^{N?1?m}$$

不是

$$\sum _{n=0}^{N?1}$$

是因為求的是 $x(n)$ 與 $x(n+m)$ 的相關函數 ;

如果 信號的 移位 $m$ , 超出了 $n$ 的取值范圍 $[0,N?1]$ 閉區間 , 該信號就不是原來的信號 , 自相關函數就沒有任何意義了 ;

因此這里的 $n$ 取值 , 必須是 $[0,N?1?m]$ 閉區間 ;

總結

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