文章目錄

• 一、TDOA 時差估計
• • 1、信號相關函數
  • 2、時間差與距離差
  • 3、方向定位與精準定位
  • 4、2 個信號的函數描述
  • 5、通過相關函數求時間差

一、TDOA 時差估計

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假設有一個 " 信號源 " ,

在不同的位置設置兩個接收機 , 分別是 " 接收機1 " 和 " 接收機2 " ,

" 信號源 " 近場位置是一個球面 ,

一旦到達遠場 , 10 $\lambda$ 以上距離 , 就可以看做一個平面 ,

1、信號相關函數

信號傳播 , 先達到 " 接收機2 " , 再到達 " 接收機1 " ,

求 上述兩個路徑的信號 的 " 相關函數 " ;

互相關函數 定義 :

$x(n)$ 與 $y(n)$ 的 " 互相關函數 " 如下 ,

$$r_{xy}(m)=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }{x}^{?}(n)y(n+m)$$

自相關函數 定義 :

$x(n)$ 的 " 自相關函數 " 如下 ,

$$r_x(m)=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }{x}^{?}(n)x(n+m)$$

2、時間差與距離差

信號源 到 接收機1 的信號 , 稱為 信號1 ;

信號源 到 接收機2 的信號 , 稱為 信號2 ;

信號1 和 信號2 事先有一定的差別 , 這兩個信號 相關性最大 時的 $m$ 值 , 可以求出時間差 $\Delta \tau$ ;

時間差 $\Delta \tau$ , 與 距離差 $\Delta d$ 之間的關系是 :

$$\Delta \tau =\frac{\Delta d}{c}$$

其中 $c$ 是光速 ;

3、方向定位與精準定位

$2$ 個接收機 靠 時差 , 是無法進行精確定位的 , 只能定位信號源的方向 ,

如果要進行精確定位 , 至少要 $3$ 個接收機 進行精確定位 ;

4、2 個信號的函數描述

" 信號源 " 到 " 接收機1 " 的 " 信號1 " , 可以使用如下公式描述 :

$$x_1(t)=s(t)+N_1(t)$$

$s(t)$ 是發出的信號 , $N_1(t)$ 是 " 信號1 " 中摻雜的噪聲 ;

" 信號源 " 到 " 接收機2 " 的 " 信號2 " , 可以使用如下公式描述 :

$$x_2(t)=s(t?D)+N_2(t)$$

$s(t?D)$ 是發出的信號 , 時間少了 $D$ , $N_2(t)$ 是 " 信號2 " 中摻雜的噪聲 ;

兩個信號中的噪聲 是 互相獨立的 , 沒有關聯 ;

理想情況下 , 噪聲為 $0$ ;

5、通過相關函數求時間差

信號2 的公式如下 :

$$x_2(t)=s(t?D)+N_2(t)$$

其中 $D$ 時間差 , 通過求兩個信號的相關性得出 ,

信號1 和 信號2 相關性最大時 , 此時的 $\tau$ 就是時間差 ;

互相關函數公式如下 :

$$r_{xy}(m)=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }{x}^{?}(n)y(n+m)$$

信號1 和 信號2 的互相關函數如下 :

$$r_{x_1{x}_2}(\tau )=\sum _{t=?t_0}^{t_0}{x}_1(t+\tau )x_2(t)$$

上述式子中的 $\tau$ 相當于 $m$ ,

加和式中范圍沒必要是 $?\infty$ ~ $+\infty$ , 取 $?t_0$ ~ $t_0$ 即可 ,

將 $x_1(t)$ 和 $x_2(t)$ 代入到式子中 ,

當 $N_1(t)$ 和 $N_2(t)$ 兩個噪聲是相互獨立的 ,

信號 $s(t)$ 與 噪聲 $N(t)$ 相乘 , 是不相關的 ,

$s(t)$ 是相互統計獨立的 ,

最終 , 計算結果是 :

$$r_{x_1{x}_2}(\tau )=\sum _{t=?t_0}^{t_0}s(t+\tau )s(t)$$

求出上述相關函數最大值時 , $\tau$ 的值就是時間差 $D$ ;

$$D={\arg }_{\tau }\max |r_{x_1{x}_2}(\tau )|$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数字信号处理】相关函数应用 ( TDOA 时差估计 | 时间差与距离差 | 方向定位与精准定位 | 信号描述 | 通过相关函数求时间差 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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