文章目錄

• 一、共軛對稱、共軛反對稱 與 偶對稱、奇對稱關聯
• 二、序列對稱分解定理
• • 證明過程
• 總結

一、共軛對稱、共軛反對稱 與 偶對稱、奇對稱關聯

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實序列 :

• 偶對稱 : $x(n)=x(?n)$
• 奇對稱 : $x(n)=?x(?n)$

復序列 :

• 共軛對稱 : $x(n)=x^{?}(?n)$
• 共軛反對稱 : $x(n)=?x^{?}(?n)$

對于 實序列 來說 , 共軛對稱 就是 偶對稱 ;

對于 實序列 來說 , 共軛反對稱 就是 奇對稱 ;

二、序列對稱分解定理

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任意一個 序列 $x(n)$ , 都可以使用其 共軛對稱序列 $x_e(n)$ 與 共軛反對稱序列 $x_o(n)$ 之和來表示 ;

$$x(n)=x_e(n)+x_o(n)$$

共軛對稱序列 $x_e(n)$ 與 原序列 $x(n)$ 之間的關系如下 :

$$x_e(n)=0.5[x(n)+x^{?}(?n)]$$

共軛反對稱序列 $x_o(n)$ 與 原序列 $x(n)$ 之間的關系如下 :

$$x_o(n)=0.5[x(n)?x^{?}(?n)]$$

證明過程

已知 : 任意序列可以由其 共軛對稱序列 與 共軛反對稱序列 之和表示 ,

$$x(n)=x_e(n)+x_o(n)①$$

$x(n)$ 的 共軛對稱序列是 $x^{?}(?n)$ , 記做 $x_e(n)$ ;

$x(n)$ 的 共軛反對稱序列是 $?x^{?}(?n)$ , 記做 $x_o(n)$ ;

將 ① 公式的 兩邊取 共軛 , 使用 $?n$ 代替 $n$ , 得到 :

$$x^{?}(n)=x_e^{?}(?n)+x_o^{?}(?n)②$$

根據共軛對稱性質 $x(n)=x^{?}(?n)$ , 可知 $x_e^{?}(?n)=x_e(n)③$ ;

根據共軛反對稱性質 $x(n)=?x^{?}(?n)$ , 可得到 $?x_o^{?}(?n)=x_o(n)$ , 將負號移到等式右邊 可得 $x_o^{?}(?n)=?x_o(n)④$ ;

將 ③ 和 ④ 帶入到 ② 中 , 得到 :

$$x^{?}(n)=x_e(n)?x_o(n)⑤$$

① 和 ⑤ 公式相加 , $x_o(n)$ 項抵消了 , 可得到

$$x_e(n)=0.5[x(n)+x^{?}(?n)]$$

① 和 ⑤ 公式相減 , $x_e(n)$ 項抵消了 , 可得到

$$x_o(n)=0.5[x(n)?x^{?}(?n)]$$

總結

任意一個序列 , 都存在 共軛對稱序列 與 共軛反對稱序列 ,

共軛對稱序列 與 原序列 的關系 :

$$x_e(n)=0.5[x(n)+x^{?}(?n)]$$

共軛反對稱序列 與 原序列 的關系 :

$$x_o(n)=0.5[x(n)?x^{?}(?n)]$$

總結

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