文章目錄

• 一、序列對稱分解定理示例
• • 1、序列對稱分解定理
  • 2、因果序列
  • 3、求解過程
  • • n < 0 情況
    • n = 0 情況
    • n > 0 情況
    • 實因果序列的對稱序列與原序列關系

一、序列對稱分解定理示例

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實因果序列 $h(n)$ ,

其 共軛對稱序列 $h_e(n)$ ,

其 共軛反對稱序列 $h_o(n)$ ,

找出 $h(n)$ 與 $h_e(n)$ 序列的關系 , $h(n)$ 與 $h_o(n)$ 序列的關系 ;

1、序列對稱分解定理

任意一個 序列 $x(n)$ , 都可以使用其 共軛對稱序列 $x_e(n)$ 與 共軛反對稱序列 $x_o(n)$ 之和來表示 ;

$$x(n)=x_e(n)+x_o(n)$$

共軛對稱序列 $x_e(n)$ 與 原序列 $x(n)$ 之間的關系如下 :

$$x_e(n)=0.5[x(n)+x^{?}(?n)]$$

共軛反對稱序列 $x_o(n)$ 與 原序列 $x(n)$ 之間的關系如下 :

$$x_o(n)=0.5[x(n)?x^{?}(?n)]$$

2、因果序列

① 離散時間系統因果性 :

" 離散時間系統 " $n$ 時刻 的 " 輸出 " ,

只取決于 $n$ 時刻 及 $n$ 時刻 之前 的 " 輸入序列 " ,

與 $n$ 時刻之后 的 " 輸入序列 " 無關 ;

離散時間系統 的 " 輸出結果 " 與 " 未來輸入 " 無關 ;

" ② 離散時間系統因果性 " 的 充分必要條件是 :

$$h(n)=0n<0$$

模擬系統的 " 單位沖激響應 " , 必須 從 $0$ 時刻開始才有值 , 是 " 單邊序列 " 類型中的 " 右邊序列 " , $0$ 時刻的值 也就是 起點不能為 $0$ ;

3、求解過程

$h(n)$ 實序列的奇偶對稱 :

• 偶對稱 ( 共軛對稱 ) : $h_e(n)=h_e(?n)$
• 奇對稱 ( 共軛反對稱 ) : $h_o(n)=?h_o(?n)$

n < 0 情況

$h(n)$ 是因果序列 , 對于 $n<0$ 時 , $h(n)=0$ ,

根據 序列對稱分解定理 , 共軛對稱序列 $x_e(n)$ 與 原序列 $x(n)$ 之間的關系 , 可以得到

$$h_e(n)=0.5\times [h(n)+h(?n)]$$

其中 , 將 $h(n)=0$ 代入上式 , 可得到

$$h_e(n)=0.5\times [h(n)+h(?n)]=0.5\times [0+h(?n)]=0.5\times h(?n)$$

根據 序列對稱分解定理 , 共軛對稱序列 $x_e(n)$ 與 原序列 $x(n)$ 之間的關系 , 可以得到

$$h_o(n)=0.5\times [h(n)?h(?n)]$$

其中 , 將 $h(n)=0$ 代入上式 , 可得到

$$h_o(n)=0.5\times [h(n)?h(?n)]=0.5\times [0?h(?n)]=?0.5\times h(?n)$$

n = 0 情況

由于 $h_e(n)$ 是偶對稱的 , $h_o(n)$ 是奇對稱的 , 因此有

$$h_e(0)=h(0)$$

$$h_o(0)=0$$

n > 0 情況

$h(n)$ 是因果序列 , 對于 $n>0$ 時 , $h(?n)=0$ ,

根據 序列對稱分解定理 , 共軛對稱序列 $x_e(n)$ 與 原序列 $x(n)$ 之間的關系 , 可以得到

$$h_e(n)=0.5\times [h(n)+h(?n)]$$

其中 , 將 $h(?n)=0$ 代入上式 , 可得到

$$h_e(n)=0.5\times [h(n)+h(?n)]=0.5\times [h(n)+0]=0.5\times h(n)$$

根據 序列對稱分解定理 , 共軛對稱序列 $x_e(n)$ 與 原序列 $x(n)$ 之間的關系 , 可以得到

$$h_o(n)=0.5\times [h(n)?h(?n)]$$

其中 , 將 $h(?n)=0$ 代入上式 , 可得到

$$h_o(n)=0.5\times [h(n)?h(?n)]=0.5\times [h(n)?0]=?0.5\times h(n)$$

實因果序列的對稱序列與原序列關系

$h_e(n)$ 與 $h(n)$ 關系 :

$$h_e(n)=?\begin{array}{ll}h(0)& n=0\\ & \\ \frac{h(n)}{2}& n>0\\ & \\ \frac{h(?n)}{2}& n<0\end{array}$$

根據上式 , 可以反推 $h(n)$ 與 $h_e(n)$ 關系 :

$$h(n)=?\begin{array}{ll}{h}_e(0)& n=0\\ & \\ 2h_e(n)& n>0\\ & \\ 0& n<0\end{array}$$

$h_o(n)$ 與 $h(n)$ 關系 :

$$h_o(n)=?\begin{array}{ll}0& n=0\\ & \\ \frac{h(n)}{2}& n>0\\ & \\ \frac{?h(?n)}{2}& n<0\end{array}$$

根據上式 , 可以反推 $h(n)$ 與 $h_0(n)$ 關系 :

$$h(n)=?\begin{array}{ll}h(0)& n=0\\ & \\ 2h_o(n)& n>0\\ & \\ 0& n<0\end{array}$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 序列对称分解定理示例 | 共轭对称序列与原序列之间的关系 | 共轭反对称序列与原序列之间的关系 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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