文章目錄

• 一、序列對(duì)稱分解定理示例
• • 1、序列對(duì)稱分解定理
  • 2、因果序列
  • 3、求解過(guò)程
  • • n < 0 情況
    • n = 0 情況
    • n > 0 情況
    • 實(shí)因果序列的對(duì)稱序列與原序列關(guān)系

一、序列對(duì)稱分解定理示例

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實(shí)因果序列 $h(n)$ ,

其 共軛對(duì)稱序列 $h_e(n)$ ,

其 共軛反對(duì)稱序列 $h_o(n)$ ,

找出 $h(n)$ 與 $h_e(n)$ 序列的關(guān)系 , $h(n)$ 與 $h_o(n)$ 序列的關(guān)系 ;

1、序列對(duì)稱分解定理

任意一個(gè) 序列 $x(n)$ , 都可以使用其 共軛對(duì)稱序列 $x_e(n)$ 與 共軛反對(duì)稱序列 $x_o(n)$ 之和來(lái)表示 ;

$$x(n)=x_e(n)+x_o(n)$$

共軛對(duì)稱序列 $x_e(n)$ 與 原序列 $x(n)$ 之間的關(guān)系如下 :

$$x_e(n)=0.5[x(n)+x^{?}(?n)]$$

共軛反對(duì)稱序列 $x_o(n)$ 與 原序列 $x(n)$ 之間的關(guān)系如下 :

$$x_o(n)=0.5[x(n)?x^{?}(?n)]$$

2、因果序列

① 離散時(shí)間系統(tǒng)因果性 :

" 離散時(shí)間系統(tǒng) " $n$ 時(shí)刻 的 " 輸出 " ,

只取決于 $n$ 時(shí)刻 及 $n$ 時(shí)刻 之前 的 " 輸入序列 " ,

與 $n$ 時(shí)刻之后 的 " 輸入序列 " 無(wú)關(guān) ;

離散時(shí)間系統(tǒng) 的 " 輸出結(jié)果 " 與 " 未來(lái)輸入 " 無(wú)關(guān) ;

" ② 離散時(shí)間系統(tǒng)因果性 " 的 充分必要條件是 :

$$h(n)=0n<0$$

模擬系統(tǒng)的 " 單位沖激響應(yīng) " , 必須 從 $0$ 時(shí)刻開始才有值 , 是 " 單邊序列 " 類型中的 " 右邊序列 " , $0$ 時(shí)刻的值 也就是 起點(diǎn)不能為 $0$ ;

3、求解過(guò)程

$h(n)$ 實(shí)序列的奇偶對(duì)稱 :

• 偶對(duì)稱 ( 共軛對(duì)稱 ) : $h_e(n)=h_e(?n)$
• 奇對(duì)稱 ( 共軛反對(duì)稱 ) : $h_o(n)=?h_o(?n)$

n < 0 情況

$h(n)$ 是因果序列 , 對(duì)于 $n<0$ 時(shí) , $h(n)=0$ ,

根據(jù) 序列對(duì)稱分解定理 , 共軛對(duì)稱序列 $x_e(n)$ 與 原序列 $x(n)$ 之間的關(guān)系 , 可以得到

$$h_e(n)=0.5\times [h(n)+h(?n)]$$

其中 , 將 $h(n)=0$ 代入上式 , 可得到

$$h_e(n)=0.5\times [h(n)+h(?n)]=0.5\times [0+h(?n)]=0.5\times h(?n)$$

根據(jù) 序列對(duì)稱分解定理 , 共軛對(duì)稱序列 $x_e(n)$ 與 原序列 $x(n)$ 之間的關(guān)系 , 可以得到

$$h_o(n)=0.5\times [h(n)?h(?n)]$$

其中 , 將 $h(n)=0$ 代入上式 , 可得到

$$h_o(n)=0.5\times [h(n)?h(?n)]=0.5\times [0?h(?n)]=?0.5\times h(?n)$$

n = 0 情況

由于 $h_e(n)$ 是偶對(duì)稱的 , $h_o(n)$ 是奇對(duì)稱的 , 因此有

$$h_e(0)=h(0)$$

$$h_o(0)=0$$

n > 0 情況

$h(n)$ 是因果序列 , 對(duì)于 $n>0$ 時(shí) , $h(?n)=0$ ,

根據(jù) 序列對(duì)稱分解定理 , 共軛對(duì)稱序列 $x_e(n)$ 與 原序列 $x(n)$ 之間的關(guān)系 , 可以得到

$$h_e(n)=0.5\times [h(n)+h(?n)]$$

其中 , 將 $h(?n)=0$ 代入上式 , 可得到

$$h_e(n)=0.5\times [h(n)+h(?n)]=0.5\times [h(n)+0]=0.5\times h(n)$$

根據(jù) 序列對(duì)稱分解定理 , 共軛對(duì)稱序列 $x_e(n)$ 與 原序列 $x(n)$ 之間的關(guān)系 , 可以得到

$$h_o(n)=0.5\times [h(n)?h(?n)]$$

其中 , 將 $h(?n)=0$ 代入上式 , 可得到

$$h_o(n)=0.5\times [h(n)?h(?n)]=0.5\times [h(n)?0]=?0.5\times h(n)$$

實(shí)因果序列的對(duì)稱序列與原序列關(guān)系

$h_e(n)$ 與 $h(n)$ 關(guān)系 :

$$h_e(n)=?\begin{array}{ll}h(0)& n=0\\ & \\ \frac{h(n)}{2}& n>0\\ & \\ \frac{h(?n)}{2}& n<0\end{array}$$

根據(jù)上式 , 可以反推 $h(n)$ 與 $h_e(n)$ 關(guān)系 :

$$h(n)=?\begin{array}{ll}{h}_e(0)& n=0\\ & \\ 2h_e(n)& n>0\\ & \\ 0& n<0\end{array}$$

$h_o(n)$ 與 $h(n)$ 關(guān)系 :

$$h_o(n)=?\begin{array}{ll}0& n=0\\ & \\ \frac{h(n)}{2}& n>0\\ & \\ \frac{?h(?n)}{2}& n<0\end{array}$$

根據(jù)上式 , 可以反推 $h(n)$ 與 $h_0(n)$ 關(guān)系 :

$$h(n)=?\begin{array}{ll}h(0)& n=0\\ & \\ 2h_o(n)& n>0\\ & \\ 0& n<0\end{array}$$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 序列对称分解定理示例 | 共轭对称序列与原序列之间的关系 | 共轭反对称序列与原序列之间的关系 )的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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