文章目錄

• 一、前置概念
• • 1、序列對稱分解定理
  • 2、傅里葉變換
  • 3、傅里葉變換的共軛對稱分解
• 二、序列傅里葉變換共軛對稱性質
• • 0、序列傅里葉變換共軛對稱性質
  • • x(n) 分解為實部序列與虛部序列
    • x(n) 分解為共軛對稱序列與共軛反對稱序列 ( 序列對稱分解 )
    • X(e^{jω}) 分解為實部序列與虛部序列
    • X(e^{jω}) 分解為共軛對稱與反對稱序列的傅里葉變換 ( 頻域共軛對稱分解 )
  • 1、序列實部傅里葉變換
  • 2、序列虛部傅里葉變換
  • 3、共軛對稱序列傅里葉變換
  • 4、共軛反對稱序列傅里葉變換

一、前置概念

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1、序列對稱分解定理

序列對稱分解定理 : 任意一個 序列 $x(n)$ , 都可以使用其 共軛對稱序列 $x_e(n)$ 與 共軛反對稱序列 $x_o(n)$ 之和來表示 ;

$$x(n)=x_e(n)+x_o(n)$$

共軛對稱序列 $x_e(n)$ 與 原序列 $x(n)$ 之間的關系如下 :

$$x_e(n)=0.5[x(n)+x^{?}(?n)]$$

共軛反對稱序列 $x_o(n)$ 與 原序列 $x(n)$ 之間的關系如下 :

$$x_o(n)=0.5[x(n)?x^{?}(?n)]$$

2、傅里葉變換

$x(n)$ 的 傅里葉變換 是 $X(e^{j\omega })$ ,

$x(n)$ 存在 共軛對稱 $x_e(n)$ 與 共軛反對稱 $x_o(n)$ ,

$X(e^{j\omega })$ 也存在著 共軛對稱 $X_e(e^{j\omega })$ 和 共軛反對稱 $X_o(e^{j\omega })$ ;

3、傅里葉變換的共軛對稱分解

傅里葉變換的共軛對稱分解 :

$$X(e^{j\omega })=X_e(e^{j\omega })+X_o(e^{j\omega })$$

其中 $X(e^{j\omega })$ 是 $x(n)$ 的傅里葉變換 , $X_e(e^{j\omega })$ 是傅里葉變換的 共軛對稱分量 , $X_o(e^{j\omega })$ 是傅里葉變換的 共軛反對稱分量 ,

二、序列傅里葉變換共軛對稱性質

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0、序列傅里葉變換共軛對稱性質

x(n) 分解為實部序列與虛部序列

$x(n)$ 可以分解為 實部序列 $x_R(n)$ 和 虛部序列 $j{x}_I(n)$ :

$$x(n)=x_R(n)+j{x}_I(n)$$

x(n) 分解為共軛對稱序列與共軛反對稱序列 ( 序列對稱分解 )

根據序列對稱分解定理 , $x(n)$ 還可以由序列的 共軛對稱序列 $x_e(n)$ 和 共軛反對稱序列 $x_o(n)$ 之和表示 ;

$$x(n)=x_e(n)+x_o(n)$$

X(e^{jω}) 分解為實部序列與虛部序列

$x(n)$ 的傅里葉變換 $X(e^{j\omega })$ 也可以分解為 實部序列 $X_R(e^{j\omega })$ 和 虛部序列 $j{X}_I(e^{j\omega })$ :

$$X(e^{j\omega })=X_R(e^{j\omega })+j{X}_I(e^{j\omega })$$

X(e^{jω}) 分解為共軛對稱與反對稱序列的傅里葉變換 ( 頻域共軛對稱分解 )

根據 傅里葉變換的共軛對稱分解 , $x(n)$ 的傅里葉變換 , 可以由 $x(n)$ 的 共軛對稱序列 的傅里葉變換 $X_e(e^{j\omega })$ 與 $x(n)$ 的 共軛反對稱序列 的傅里葉變換 $X_o(e^{j\omega })$ 之和表示 ;

$$X(e^{j\omega })=X_e(e^{j\omega })+X_o(e^{j\omega })$$

1、序列實部傅里葉變換

$x(n)$ 序列的 實部 $x_R(n)$ 的 傅里葉變換 , 就是 $x(n)$ 的 傅里葉變換 $X(e^{j\omega })$ 的 共軛對稱序列 $X_e(e^{j\omega })$;

$x_R(n)$ 的 傅里葉變換 $X_e(e^{j\omega })$ 具備 共軛對稱性 ;

$$x_R(n)\stackrel{SFT}{?}{X}_e(e^{j\omega })$$

2、序列虛部傅里葉變換

$x(n)$ 序列的 虛部 $x_I(n)$ 的 傅里葉變換 , 就是 $x(n)$ 的 傅里葉變換 $X(e^{j\omega })$ 的 共軛反對稱序列 $X_o(e^{j\omega })$;

$j{x}_I(n)$ 的 傅里葉變換 $X_o(e^{j\omega })$ 具備 共軛反對稱性 :

$$j{x}_I(n)\stackrel{SFT}{?}{X}_o(e^{j\omega })$$

3、共軛對稱序列傅里葉變換

$x(n)$ 的 共軛對稱序列 $x_e(n)$ 的 傅里葉變換 , 一定是一個 實序列 $X_R(e^{j\omega })$

$$x_e(n)\stackrel{SFT}{?}{X}_R(e^{j\omega })$$

4、共軛反對稱序列傅里葉變換

$x(n)$ 的 共軛反對稱序列 $x_o(n)$ 的 傅里葉變換 , 一定是一個 純虛序列 $X_R(e^{j\omega })$

$$x_o(n)\stackrel{SFT}{?}j{X}_I(e^{j\omega })$$

總結

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