參考博客：http://www.cnblogs.com/destinydesigner/archive/2009/09/28/1575674.html

1 定義

歐拉通路 (Euler tour)——通過圖中每條邊一次且僅一次，并且過每一頂點的通路。
歐拉回路 (Euler circuit)——通過圖中每條邊一次且僅一次，并且過每一頂點的回路。
歐拉圖——存在歐拉回路的圖。

2 無向圖是否具有歐拉通路或回路的判定

G有歐拉通路的充分必要條件為：G 連通，G中只有兩個奇度頂點(它們分別是歐拉通路的兩個端點)。
G有歐拉回路(G為歐拉圖)：G連通，G中均為偶度頂點。

3 有向圖是否具有歐拉通路或回路的判定

D有歐拉通路：D連通，除兩個頂點外，其余頂點的入度均等于出度，這兩個特殊的頂點中，一個頂點的入度比出度大1，另一個頂點的入度比出度小1。
D有歐拉回路(D為歐拉圖)：D連通，D中所有頂點的入度等于出度。

4 混合圖。混合圖也就是無向圖與有向圖的混合，即圖中的邊既有有向邊也有無向邊。

5 混合圖歐拉回路

混合圖歐拉回路用的是網絡流。
把該圖的無向邊隨便定向，計算每個點的入度和出度。如果有某個點出入度之差為奇數，那么肯定不存在歐拉回路。因為歐拉回路要求每點入度 = 出度，也就是總度數為偶數，存在奇數度點必不能有歐拉回路。
現在每個點入度和出度之差均為偶數。將這個偶數除以2，得x。即是說，對于每一個點，只要將x條邊反向（入>出就是變入，出>入就是變出），就能保證出 = 入。如果每個點都是出 = 入，那么很明顯，該圖就存在歐拉回路。
現在的問題就變成了：該改變哪些邊，可以讓每個點出 = 入？構造網絡流模型。有向邊不能改變方向，直接刪掉。開始已定向的無向邊，定的是什么向，就把網絡構建成什么樣，邊長容量上限1。另新建s和t。對于入 > 出的點u，連接邊(u, t)、容量為x，對于出 > 入的點v，連接邊(s, v)，容量為x（注意對不同的點x不同。當初由于不小心，在這里錯了好幾次）。之后，察看是否有滿流的分配。有就是能有歐拉回路，沒有就是沒有。查看流值分配，將所有流量非 0（上限是1，流值不是0就是1）的邊反向，就能得到每點入度 = 出度的歐拉圖。
由于是滿流，所以每個入 > 出的點，都有x條邊進來，將這些進來的邊反向，OK，入 = 出了。對于出 > 入的點亦然。那么，沒和s、t連接的點怎么辦？和s連接的條件是出 > 入，和t連接的條件是入 > 出，那么這個既沒和s也沒和t連接的點，自然早在開始就已經滿足入 = 出了。那么在網絡流過程中，這些點屬于“中間點”。我們知道中間點流量不允許有累積的，這樣，進去多少就出來多少，反向之后，自然仍保持平衡。
所以，就這樣，混合圖歐拉回路問題，解了。

View Code 1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 #include<cmath> 6 #include<queue> 7 using namespace std; 8 #define N 202 9 #define M 5005 10 #define inf 0x3f3f3f3f 11 queue<int> q; 12 struct edge{ 13 int to,next,c,f; 14 }e[M]; 15 int pre[N],level[N],in[N]; 16 int T,S,cnt; 17 void addedge(int u,int v,int c){ 18 e[cnt].f=0,e[cnt].to=v,e[cnt].c=c,e[cnt].next=pre[u],pre[u]=cnt++; 19 e[cnt].f=0,e[cnt].to=u,e[cnt].c=0,e[cnt].next=pre[v],pre[v]=cnt++; 20 } 21 bool dinic_bfs(){ 22 memset(level,0,sizeof(level)); 23 q.push(S); 24 level[S]=1; 25 while(!q.empty()){ 26 int u=q.front();q.pop(); 27 for(int edg=pre[u];edg!=0;edg=e[edg].next){ 28 int v=e[edg].to; 29 if(!level[v]&&e[edg].c>e[edg].f){ 30 level[v]=level[u]+1; 31 q.push(v); 32 } 33 } 34 } 35 return level[T]!=0; 36 } 37 int dinic_dfs(int u,int cp){ 38 int tmp=cp; 39 if(T==u)return cp; 40 for(int edg=pre[u];edg!=0&&tmp;edg=e[edg].next){ 41 int v=e[edg].to; 42 if(level[v]==level[u]+1&&e[edg].c>e[edg].f){ 43 int t=dinic_dfs(v,min(tmp,e[edg].c-e[edg].f)); 44 e[edg].f+=t; 45 e[edg^1].f-=t; 46 tmp-=t; 47 } 48 } 49 return cp-tmp; 50 } 51 bool dinic(int s){ 52 int tf=0,f=0; 53 while(dinic_bfs()){ 54 while(f=dinic_dfs(S,inf)){ 55 tf+=f; 56 } 57 } 58 59 return tf==s; 60 } 61 int main(){ 62 int ca; 63 scanf("%d",&ca); 64 while(ca--){ 65 int m,s,flag=1; 66 memset(pre,0,sizeof(pre)); 67 memset(in,0,sizeof(in)); 68 scanf("%d%d",&m,&s);S=0; 69 T=m+1;cnt=2; 70 while(s--){ 71 int u,v,c; 72 scanf("%d%d%d",&u,&v,&c); 73 in[u]--;in[v]++; 74 if(!c)addedge(u,v,1); 75 } 76 for(int i=1;i<=m;i++) 77 { 78 if(in[i]&1)flag=0; 79 } 80 int sum=0; 81 if(flag){ 82 for(int i=1;i<=m;i++){ 83 if(in[i]>0){addedge(i,T,in[i]>>1);sum+=in[i]>>1;} 84 if(in[i]<0)addedge(S,i,(-in[i])>>1); 85 } 86 } 87 if(!dinic(sum))flag=0; 88 if(!flag)printf("impossible\n"); 89 else printf("possible\n"); 90 } 91 return 0; 92 }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的poj 1637(混合图求欧拉回路)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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