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我開始以為矩陣是為了把線性方程組的系數抽取出來，方便方程組化簡和求解，后來發現矩陣的用處不止如此，不然就不會寫一本書了。

矩陣可以方便的用來表示線性空間，一個簡單的二維數陣，就可以表示成n維線性空間。

一個毫無意義的有序數陣，我們賦予它意義，他就可以表示成一個空間。那為什么要這么做呢？這是因為矩陣的運算可以表示線性空間的變換。以向量舉例，我們求兩個向量相加，可以讓(x1，y1)和(x2，y2)相加，而不必真的在圖上畫出來這個相加后的向量。到三維空間我們就畫不出來了，因為二維空間中的向量不能表示三維空間中的向量。同樣，n大于3以上維度的空間中的向量我們不但不方便表示，甚至根本實現不了，但是矩陣可以幫助我們表示出來。一個3x3的矩陣，我們把他分成三列，就得到三個三維的列向量，同樣4階方陣中包含了4個4維向量。

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為了直觀理解，下面全部用二維向量舉例。

平面內引入直角坐標系之后，二維空間內所有的向量都可以用兩個基向量i=(1,0)和j=(0,1)的線性組合來表示，例如a=(4,6)，可以表示為a=4i+6j。

但是也可以由i=(2,0)和j=(0,2)兩個向量來表示，例如a=2i+3j。

還可以由i=(1,1)和j=(1,-1)來表示，例如a=5i-1j。

或者由i=(1,0)和j=(1,-1)表示，例如a=10i-6j。

在1的基礎上，我們還可以將a表示為i=(1,0),j=(0,1),k=(1,1)三個向量的線性組合，也就是a=4i+6j+0k或者a=0i+2j+4k或者a=2i+4j+2k等等等等我舉不完了。這其中k=i+j。

通過上面的舉例我們可以總結出幾條。

由5點到4點，將多余的基向量k去掉，得到最大線性無關向量組。

由4點到3點，將兩個基向量的夾角變成直角，實現正交化。

由3點到2點，將構成正交的兩個基向量旋轉，使其與坐標軸重合，實現對角化。

由2點到1點，通過伸縮將兩個基向量的長度變成單位長度，實現規范化。

通過上面的幾個步驟，我們可以看出，任何一組向量構成的坐標系，都可以通過化簡，正交，對角，規范的過程，將任何亂七八糟莫名其妙的坐標系變換成笛卡爾坐標系。那這么做有什么用呢？到這里我開了一下腦洞：
假如說，平面內有兩個橢圓，將直角坐標系的原點放在一個橢圓的長軸和短軸交點處，這樣就可以得到這個橢圓的標準方程，就是高中課本上那個。由于這兩個橢圓的位置相對，這樣一來另一個橢圓的位置也就定下來了，可惜很難看，長得很歪，很難用方程表示。這時就可以以這個橢圓為原點再建立一個坐標系，并且在這個坐標系下用標準方程表示出來，這樣兩個橢圓都有了方程來表示，問題就化簡為了兩個坐標系之間的關系，這時再用矩陣來運算就好了。可惜這里不能畫矩陣，關于矩陣的好多問題都不能解釋。

BTW，上面列舉的例子都是同維度內的問題，關于升維和降維的問題其實關系到求矩陣的秩，以及線性方程組有解無解多解的問題。
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轉載于:https://www.cnblogs.com/hadoop2015/p/7927961.html

總結

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