簡(jiǎn)介

編輯 Box-Cox變換的一般形式為： 式中 ? 為經(jīng)Box-Cox變換后得到的新變量， ? 為原始連續(xù)因變量， ? 為變換參數(shù)。以上變換要求原始變量 ? 取值為正，若取值為負(fù)時(shí)，可先對(duì)所有原始數(shù)據(jù)同加一個(gè)常數(shù) ? 使其 ? 為正值，然后再進(jìn)行以上的變換。對(duì)不同的 ? 所作的變換不同。在 ? 時(shí)該變換為對(duì)數(shù)變換， ? 時(shí)為倒數(shù)變換，而在 ? 時(shí)為平方根變換。Box-Cox變換中參數(shù) ? 的估計(jì)有兩種方法：(1)最大似然估計(jì)；(2)Bayes方法。通過(guò)求解 ? 值，就可以確定具體采用哪種變換形式。

變換過(guò)程

編輯 Box-Cox變換是對(duì)回歸因變量Y的如下變換： 在這里 ? 是一個(gè)待定變換參數(shù)。對(duì)于不同的 ? ，所作的變換也不相同，所以Box-Cox變換是一族變換，它包括了平方根變換( ? )，對(duì)數(shù)變換( ? )和倒數(shù)變換( ? )等常用變換，對(duì)因變量的n個(gè)觀測(cè)值 ? ，應(yīng)用上述變換，可得變換后的向量 我們要確定變換參數(shù) ? ，使得 ? 滿(mǎn)足 即要求通過(guò)因變量的變換，使得變換過(guò)的向量 ? 與回歸自變量具有線性相依關(guān)系，誤差也服從正態(tài)分布．誤差各分量是等方差且相互獨(dú)立，故Box-Cox變換是通過(guò)參數(shù) ? 的適當(dāng)選擇。達(dá)到對(duì)原來(lái)數(shù)據(jù)的“綜合治理”，使其滿(mǎn)足一個(gè)正態(tài)線性回歸模型的所有假設(shè)條件。 用極大似然方法來(lái)確定 ? ，由于 ? ，故對(duì)固定的 ? ， ? 和 ? 的似然函數(shù)為 其中， ? 為變換的Jacobi行列式 當(dāng) ? 固定時(shí)， ? 是不依賴(lài)于參數(shù) ? 和 ? 的常數(shù)因子， ? 的其余部分關(guān)于 ? 和 ? 求導(dǎo)數(shù)，令其等于零，可求得 ? 和 ? 的極大似然估計(jì) 殘差平方和為 對(duì)應(yīng)的似然最大值為 該式為 ? 的一元函數(shù)，通過(guò)求它的最大值來(lái)確定 ? ，因?yàn)?? 是x的單調(diào)函數(shù)，問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求 ? 的最大值，對(duì)式(3)求對(duì)數(shù)，略去與 ? 無(wú)關(guān)的常數(shù)項(xiàng)，得 其中， 式(4)對(duì)Box-Cox變換在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)帶來(lái)很大的方便，因?yàn)槲覀冎灰蟪鰵埐钇椒胶?? 的最小值，就可以求出 ? 的最大值，雖然很難找出使 ? 達(dá)到最小值的 ? 的解析表達(dá)式，但是對(duì)一系列的 ? 給定值，通過(guò)最普通的求最小二乘估計(jì)的回歸程序，很容易計(jì)算出對(duì)應(yīng)的 ? ，畫(huà)出 ? 關(guān)于 ? 的曲線，可在圖上近似地找出 ? 達(dá)到最小值的 ? 。 Box-Cox變換變換的具體步驟如下： (1)對(duì)給定的 ? 值，計(jì)算 ? ，如果 ? ，用式(6)計(jì)算，否則用式(7)； (2)利用式(5)計(jì)算殘差平方和 ? ； (3)對(duì)一系列的 ? 值，重復(fù)上述步驟，得到相應(yīng)的殘差平方和 ? 的一串值，以 ? 為橫軸，作出相應(yīng)的曲線，用直觀的方法，找出使 ? 達(dá)到最小值的點(diǎn) ? 。 (4)利用式(2)，求出 ? 。

意義

編輯 Box-Cox變換的一個(gè)顯著優(yōu)點(diǎn)是通過(guò)求變換參數(shù) ? 來(lái)確定變換形式，而這個(gè)過(guò)程完全基于數(shù)據(jù)本身而無(wú)須任何先驗(yàn)信息，這無(wú)疑比憑經(jīng)驗(yàn)或通過(guò)嘗試而選用對(duì)數(shù)、平方根等變換方式要客觀和精確。 Box-Cox變換的目的是為了讓數(shù)據(jù)滿(mǎn)足線性模型的基本假定，即線性、正態(tài)性及方差齊性，然而經(jīng)Box-Cox變換后數(shù)據(jù)是否同時(shí)滿(mǎn)足了以上假定，仍需要考察驗(yàn)證?[2]??。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Box-Cox变换的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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