簡介

編輯 Box-Cox變換的一般形式為： 式中 ? 為經Box-Cox變換后得到的新變量， ? 為原始連續因變量， ? 為變換參數。以上變換要求原始變量 ? 取值為正，若取值為負時，可先對所有原始數據同加一個常數 ? 使其 ? 為正值，然后再進行以上的變換。對不同的 ? 所作的變換不同。在 ? 時該變換為對數變換， ? 時為倒數變換，而在 ? 時為平方根變換。Box-Cox變換中參數 ? 的估計有兩種方法：(1)最大似然估計；(2)Bayes方法。通過求解 ? 值，就可以確定具體采用哪種變換形式。

變換過程

編輯 Box-Cox變換是對回歸因變量Y的如下變換： 在這里 ? 是一個待定變換參數。對于不同的 ? ，所作的變換也不相同，所以Box-Cox變換是一族變換，它包括了平方根變換( ? )，對數變換( ? )和倒數變換( ? )等常用變換，對因變量的n個觀測值 ? ，應用上述變換，可得變換后的向量 我們要確定變換參數 ? ，使得 ? 滿足 即要求通過因變量的變換，使得變換過的向量 ? 與回歸自變量具有線性相依關系，誤差也服從正態分布．誤差各分量是等方差且相互獨立，故Box-Cox變換是通過參數 ? 的適當選擇。達到對原來數據的“綜合治理”，使其滿足一個正態線性回歸模型的所有假設條件。 用極大似然方法來確定 ? ，由于 ? ，故對固定的 ? ， ? 和 ? 的似然函數為 其中， ? 為變換的Jacobi行列式 當 ? 固定時， ? 是不依賴于參數 ? 和 ? 的常數因子， ? 的其余部分關于 ? 和 ? 求導數，令其等于零，可求得 ? 和 ? 的極大似然估計 殘差平方和為 對應的似然最大值為 該式為 ? 的一元函數，通過求它的最大值來確定 ? ，因為 ? 是x的單調函數，問題可轉化為求 ? 的最大值，對式(3)求對數，略去與 ? 無關的常數項，得 其中， 式(4)對Box-Cox變換在計算機上實現帶來很大的方便，因為我們只要求出殘差平方和 ? 的最小值，就可以求出 ? 的最大值，雖然很難找出使 ? 達到最小值的 ? 的解析表達式，但是對一系列的 ? 給定值，通過最普通的求最小二乘估計的回歸程序，很容易計算出對應的 ? ，畫出 ? 關于 ? 的曲線，可在圖上近似地找出 ? 達到最小值的 ? 。 Box-Cox變換變換的具體步驟如下： (1)對給定的 ? 值，計算 ? ，如果 ? ，用式(6)計算，否則用式(7)； (2)利用式(5)計算殘差平方和 ? ； (3)對一系列的 ? 值，重復上述步驟，得到相應的殘差平方和 ? 的一串值，以 ? 為橫軸，作出相應的曲線，用直觀的方法，找出使 ? 達到最小值的點 ? 。 (4)利用式(2)，求出 ? 。

意義

編輯 Box-Cox變換的一個顯著優點是通過求變換參數 ? 來確定變換形式，而這個過程完全基于數據本身而無須任何先驗信息，這無疑比憑經驗或通過嘗試而選用對數、平方根等變換方式要客觀和精確。 Box-Cox變換的目的是為了讓數據滿足線性模型的基本假定，即線性、正態性及方差齊性，然而經Box-Cox變換后數據是否同時滿足了以上假定，仍需要考察驗證?[2]??。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的Box-Cox变换的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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