題目來源：洛谷

題目背景

在艾澤拉斯大陸上有一位名叫歪嘴哦的神奇術士，他是部落的中堅力量

有一天他醒來后發現自己居然到了聯盟的主城暴風城

在被眾多聯盟的士兵攻擊后，他決定逃回自己的家鄉奧格瑞瑪

題目描述

在艾澤拉斯，有n個城市。編號為1,2,3,...,n。

城市之間有m條雙向的公路，連接著兩個城市，從某個城市到另一個城市，會遭到聯盟的攻擊，進而損失一定的血量。

每次經過一個城市，都會被收取一定的過路費（包括起點和終點）。路上并沒有收費站。

假設1為暴風城，n為奧格瑞瑪，而他的血量最多為b，出發時他的血量是滿的。

歪嘴哦不希望花很多錢，他想知道，在可以到達奧格瑞瑪的情況下，他所經過的所有城市中最多的一次收取的費用的最小值是多少。

輸入輸出格式

輸入格式：

?

第一行3個正整數，n，m，b。分別表示有n個城市，m條公路，歪嘴哦的血量為b。

接下來有n行，每行1個正整數，fi。表示經過城市i，需要交費fi元。

再接下來有m行，每行3個正整數，ai，bi，ci(1<=ai，bi<=n)。表示城市ai和城市bi之間有一條公路，如果從城市ai到城市bi，或者從城市bi到城市ai，會損失ci的血量。

?

輸出格式：

?

僅一個整數，表示歪嘴哦交費最多的一次的最小值。

如果他無法到達奧格瑞瑪，輸出AFK。

?

輸入輸出樣例

輸入樣例#1：?
4 4 8 8 5 6 10 2 1 2 2 4 1 1 3 4 3 4 3 輸出樣例#1：?
10

說明

對于60%的數據，滿足n≤200，m≤10000，b≤200

對于100%的數據，滿足n≤10000，m≤50000，b≤1000000000

對于100%的數據，滿足ci≤1000000000，fi≤1000000000，可能有兩條邊連接著相同的城市。（注意細節）

?

這道題值得一寫啊。。。我卡了差不多十次。每次都是一點點瑕疵。

?

一開始想著dfs暴力搞定，如你所料，TLE了。。。于是轉向求助于dijkstra，看了看書發現最短路可以做這道題，結果是最后騙AFK騙到45分。。。

無奈求助于題解，遂用二分解之。

?

我解釋的挺不清楚的，因為我自己也沒有理解透徹，這道題比較繞，容易把最大跟最小還有限制條件一下子搞混了，就全亂了。

---

?

解析：

?

題目有點難理解，先解釋一下題目：

對于一個有向圖G，有兩種信息：一個是每條邊的權，一個是每個點的費用。

對于這個給定的有向圖G，從1到n的通路是一定的。

限制條件：給定一個值，使得某條1到n的通路的邊權之和不大于這個值。

我們假設滿足以上限制的這些1到n的通路的集合為S(n)。

對于這個集合S中的每個元素（即每條通路），我們記該路徑上點的費用的最大值為另一個集合max(n)。

?

嘿，有了上面這些數學語言的描述作基礎，我們可以很簡單的理解題意。

我們就是要求出max集合中的最小值。

?

思路大概是這樣：

我們首先要得到合法的可達的通路，使得歪嘴哦不死，然后就是對這條通路做限制，使得這條通路對應的max盡可能小。

我們知道，可選的點是一定的，所以本題的答案一定在所有點的集合中，為了得到更小的讓歪嘴哦不死的一個max，我們有一個解法。

假設所有可選的點是a1,a2,...an,我們就把它們排個序，從大到小來找一個既使得歪嘴哦不死，又使得max盡量小的點費用。

因為要讓他盡可能不死，所以我們用最短路算法來盡量讓他活下來。

?

哎，發現了沒有，“從大到小來找一個既使得歪嘴哦不死，又使得max盡量小的點費用。”這樣一個設定，使得我們可以用二分去解它！

二分的前提是，歪嘴哦不死！

?

我用了一個dij來判斷歪嘴哦在當前點費用限制下會不會死：

1 bool dijkstra(int limit) 2 { 3 memset(v,0,sizeof(v)); 4 memset(d,0x3f,sizeof(d)); 5 d[1]=0; 6 q.push(make_pair(0,1)); 7 while(q.size()){ 8 int index=q.top().second;q.pop(); 9 if(v[index]) continue; 10 v[index]=1; 11 for(int i=head[index];i;i=g[i].next){ 12 int y=g[i].ver,z=g[i].edge; 13 if(d[y]>d[index]+z&&c[y]<=limit){ 14 d[y]=d[index]+z; 15 q.push(make_pair(d[y],y)); 16 } 17 } 18 } 19 if(d[n]<=hp) return 1; 20 else return 0; 21 }

這個limit就是我們對這條最短路能走過的點費用最大值的限制。

?

然后是這個二分：

1 sort(u+1,u+n+1); 2 int l=1,r=n,ans=c[n]; 3 while(l<=r){ 4 int mid=(l+r)>>1; 5 if(dijkstra(u[mid])) 6 { 7 r=mid-1;ans=u[mid]; 8 } 9 else l=mid+1; 10 } 11 printf("%d\n",ans);

不做任何關于點費用的限制歪嘴哦都會死的話，那就只能AFK了（他真慘）：

1 　　if(!dijkstra(INF)){ 2 printf("AFK\n");return 0; 3 }

?

參考代碼：

具體的我就不寫注釋了，上面已經寫的很清楚了。

#include<cstdio> #include<iostream> #include<algorithm> #include<queue> #include<vector> #include<cstring> #define N 10010 #define INF 0x3fffffff using namespace std; int head[N],d[N*100],tot,n,m,hp; int u[N*100],c[N*100]; bool v[N*100]; priority_queue<pair<int,int>,vector<pair<int,int> >,greater<pair<int,int> > > q; struct node{int ver,next,edge; }g[N*100]; void add(int x,int y,int val) {g[++tot].ver=y,g[tot].edge=val;g[tot].next=head[x],head[x]=tot; }bool dijkstra(int limit) {memset(v,0,sizeof(v));memset(d,0x3f,sizeof(d));d[1]=0;q.push(make_pair(0,1));while(q.size()){int index=q.top().second;q.pop();if(v[index]) continue;v[index]=1;for(int i=head[index];i;i=g[i].next){int y=g[i].ver,z=g[i].edge;if(d[y]>d[index]+z&&c[y]<=limit){d[y]=d[index]+z;q.push(make_pair(d[y],y));}}}if(d[n]<=hp) return 1;else return 0; } int main() {scanf("%d%d%d",&n,&m,&hp);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&c[i]);//到達每個點的費用 u[i]=c[i];//我們額外搞一個數組來二分 }for(int i=1;i<=m;i++){int x,y,val;scanf("%d%d%d",&x,&y,&val);//過邊損失血量 if(x==y) continue;add(x,y,val);add(y,x,val);}if(!dijkstra(INF)){printf("AFK\n");return 0;}sort(u+1,u+n+1);int l=1,r=n,ans=c[n];while(l<=r){int mid=(l+r)>>1;if(dijkstra(u[mid])){r=mid-1;ans=u[mid];}else l=mid+1;}printf("%d\n",ans);return 0; }

2019-05-31?19:07:02

轉載于:https://www.cnblogs.com/DarkValkyrie/p/10951142.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P1462 通往奥格瑞玛的道路[最短路+二分+堆优化]的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。