Raney引理：

設整數序列A?=?{Ai,?i=1,?2,?…,?N}，且部分和Sk=A1+…+Ak，序列中所有的數字的和SN=1，在A的N個循環表示中，有且僅有一個序列B，滿足B的任意部分和Si均大于零。

Raney引理有一個很簡單的數形結合的證明見《淺談數形結合思想在信息學競賽中的應用》。

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關于Catalan數wiki和百科上寫的很詳細，其中有一問題一個棧(無窮大)的進棧序列為1，2，3，…，n，有多少個不同的出棧序列?該問題的解為h(n)。

用1表示一個數字進棧，-1表示一個數字出棧，不難看出該問題的解等價于一個含n個1和n個-1的序列,并且滿足其任意前綴和大于等于0的排列數。但是這個序列與我們Raney引理要求序列不太相同，所以我們給這個序列多加一個1，即(n+1)個1和n個-1的序列A{2n+1}，現在我們可以應用Raney引理了，A{2n+1}所有可能的排列總數為C(2n+1,n),而循環不同構的串是組合數的一個劃分，再根據Raney引理可知在一個循環同構的等價類中，只有一個串滿足任意前綴和大于零，所以滿足條件的排列數為C(2n+1, n)/(2n+1)，而由于任意前綴和大于0，所以第一位只能是1而不是-1，所以又可以得出除去第一位后，滿足任意前綴和大于>=0的A{2n}序列總數也為C(2n+1, n)/(2n+1) =?C(2n, n)/(n+1)，這個便是Catalan的通項公式。

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總結

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