HDU2866 Special Prime

Description

給定L,求有多少個小于L的素數p，滿足方程\(n^3+p*n^2=m^3\) \(n\in Z^+,m\in Z^+\)

Input Format

輸入有多組數據，每組數據一行，每行一個正整數L。

Output Format

對于每組數據輸出一行一個正整數，表示滿足條件的素數個數，若沒有滿足條件的素數輸出“No Special Prime!”

Sample Input

7
777

Sample Output

1
10

Solution

引理一：\(k \in Z^+\),\((k^2+k^3)\)不是完全立方數。
證明：

假設\(k^2+k^3=a^3\)，顯然\(a>k\)

則\(k^2=a^3-k^3\)

? \(=(a-k)(a^2+a*k+k^2)\)
?
? \(\geq a^2+a*k+k^2\)

? \(>k^2\)

? 存在矛盾，故假設不成立，所以\(\forall k \in Z^+ ,(k^2+k^3)\)不是完全立方數

引理二：\(n \in Z^+ ，若n^2為完全平方數，則n也為完全平方數\)

? 證明：

? \(n^2=x^3\)

? \(n=\prod_{i=1}^k {p_i^{a_i}} ,\forall a_i \in Z^+\)

\(\because \sqrt [3] {n^2}=\prod_{i=1}^k {p_i^{\frac {2*a_i} 3}} \in Z^+\)

? \(\therefore \sqrt [3] n= \prod_{i=1}^k {p_i^{\frac {a_i} 3}\in Z^+}\)

? \(\therefore n為完全立方數\)

假設n,p不互質，則

? \(n=p*k\)

? \(k^3*p^3+k^2+p^3=m^3\)

? \((k^2+k^3)*p^3=m^3\)

由引理一可得m不是整數，與條件矛盾，所以n與p互質

gcd(n+p,p)=gcd(n,p)=1，所以n與n+p互質

所以\(n^2與n+p互質\)

又因為\(n^2(n+p)=m^3\)

所以\(n^2,n+p\)為完全立方數

由引理二得\(n\)也為完全立方數

設\(n=a^3,n+p=b^3\)

得\(p=b^3 -a^3\)

? \(=(b-a)(b^2 +ab+a^2)\)

因為\(p\)為素數，所以\(b-a=1\)(因為 \(b-a\) 與 \(b^2+ab+a^2\)皆為正整數，所以兩者之中必定是一個為\(1\)一個為\(p\))

代入得\(p=3a^2+3a+1\)

所以\(Ans=\sum _{i=1}^{3i^2+3i+1 \leq L}[3i^2+3i+1為素數]\)

轉載于:https://www.cnblogs.com/hyheng/p/7755827.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的HDU2866 Special Prime的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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