Description

一個有N個元素的集合有2^N 個不同子集（包含空集），現在要在這2^N個集合中取出若干集合（至少一個），使得

它們的交集的元素個數為K，求取法的方案數，答案模1000000007。（是質數喔~）

Input

一行兩個整數N,K

Output

一行為答案。

Sample Input

3 2

Sample Output

6

HINT

【樣例說明】

假設原集合為{A,B,C}

則滿足條件的方案為：{AB,ABC},{AC,ABC},{BC,ABC},{AB},{AC},{BC}

【數據說明】

? 對于100%的數據，1≤N≤1000000；0≤K≤N；

題解

bzoj題目鏈接（權限題）

前置知識：廣義容斥原理

考慮對于每個方案作為一個元素，每一位相同作為一個性質。

考慮在\(n\)個里選\(x\)個，要滿足這\(x\)個性質，即集合中有\(x\)個相同，剩下\(n-x\)個集合里的元素可選可不選，但是不能都不選，要減去空集的一個，注意這里的集合指的是題目中的集合，

所以可得：
\[ \alpha (x) = \binom{n}{x} (2^{2^{n-x}}-1) \]
然后設\(\beta (x)\)為恰好有x個性質的元素個數，可得：
\[ \beta(x) = \sum _{i=x} ^{n} (-1)^{i-x}\binom{i}{x} \alpha(i) \]
答案為\(\beta (k)\)。

#include<bits/stdc++.h> using namespace std;#define int long longvoid read(int &x) {x=0;int f=1;char ch=getchar();for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f; }void print(int x) {if(x<0) x=-x,putchar('-');if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+'0'); } void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}#define maxn 1000050 #define mod 1000000007int n,fac[maxn],ifac[maxn],f[maxn],k;int qpow(int a,int x) {int res=1;for(;x;x>>=1,a=a*a%mod) if(x&1) res=res*a%mod;return res; }signed main() {read(n),read(k);f[0]=2,fac[0]=ifac[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=f[i-1]*f[i-1]%mod,fac[i]=fac[i-1]*i%mod;ifac[n]=qpow(fac[n],mod-2);for(int i=n-1;i>=0;i--) ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mod;int ans=0;for(int op=-1,i=k;i<=n;i++) {op=-op;ans=(ans+op*fac[n]*ifac[i]%mod*ifac[n-i]%mod*(f[n-i]-1)%mod*fac[i]%mod*ifac[k]%mod*ifac[i-k]%mod)%mod;}write((ans%mod+mod)%mod);return 0; }

轉載于:https://www.cnblogs.com/hbyer/p/10028522.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[bzoj2893] 集合计数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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