《編程之美》讀書筆記08：2.9 Fibonacci序列

計算Fibonacci序列最直接的方法就是利用遞推公式 F(n+2)=F(n+1)+F(n)。而用通項公式來求解是錯誤的，用浮點數表示無理數本來就有誤差，經過n次方后，當n相當大時，誤差能足夠大到影響浮點數轉為整數時的精度，得到的結果根本不準。

用矩陣來計算，雖然時間復雜度降到O(log n)，但要用到矩陣類，相當麻煩。觀察：

F(n+2)=F(n)+F(n-1)＝2*F(n-1)+F(n-2)=3*F(n-2)+2*F(n-4)

用歸納法很容易證明 F(n) = F(k)*F(n+1-k) + F(k-1)*F(n-k)，利用該遞推公式和原遞推公式，要計算F(n)，只要計算F([n/2])和F([n/2]+1)，時間復雜度為 O(lg n)。如：要計算F(58)，由 58 -> 29,30 -> 14,15 -> 7,8 -> 3,4 -> 1,2 可知只要算5次。可以用一個棧保存要計算的數，實際上，將n的最高位1（假設在第k位）左邊的0去除掉后，第m次要計算的數是第k位到第k-m+1位這m個位組成的值t(m)，則第m-1次要計算的數為t(m-1)，且

t(m)=2*t(m-1)+(第k-m+1位是否為1)。

若第m-1次計算得到了f(k)和f(k+1)，則第m次計算：

?

第k-m+1位	已計算	待計算
1	f(k) f(k+1)	f(2*k+1),f(2*k+2)
0		f(2*k),f(2*k+1)

?

具體公式見下面代碼。

下面是計算F(n)最后四位數（某道ACM題）的代碼。

?

/*???Fibonacci數列第N個數的最后4位數
????注意，當?N>93?時?第N個數的值超過64位無符號整數可表示的范圍。
F(n+2)=F(n)+F(n-1)?F(0)=0?F(1)=1??F(2)=1????????==>
F(n)=F(k)*F(n+1-k)?+?F(k-1)*F(n-k)??????????????==>
F(2*n)=F(n+1)*F(n)+F(n)*F(n-1)=(F(n+1)+F(n-1))*F(n)=(F(n+1)*2-F(n))*F(n)
F(2*n+1)=F(n+1)*F(n+1)+F(n)*F(n)
F(2*n+2)=F(n+2)*F(n+1)+F(n+1)*F(n)=(F(n+2)+F(n))*F(n+1)=(F(n+1)+F(n)*2)*F(n+1)
?*/

unsigned?fib_last4(?unsigned?num)
{
??if?(?num?==?0?)?return?0;
??const?unsigned?M=10000;
??unsigned?ret=1,next=1,ret_=ret;
??unsigned?flag=1,?tt=num;
??while?(?tt?>>=?1)?flag?<<=?1;
??while?(?flag?>>=?1?){
????if?(?num?&?flag?){
??????ret_?=?ret?*?ret?+?next?*?next;
??????next?=?(ret?+?ret?+?next)?*?next;
????}?else?{
??????//多加一個M，避免?2*next-ret是負數，造成結果不對
??????ret_?=?(next?+?next?+?M?-?ret)?*?ret;
??????next?=?ret?*?ret?+?next?*?next;
????}
????ret?=?ret_?%?M;
????next?=?next?%?M;
??}
??return?ret;
}

轉載于:https://www.cnblogs.com/flyinghearts/archive/2011/03/22/1991983.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的《编程之美》读书笔记08：2.9 Fibonacci序列的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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