二叉查找樹（Binary Search Tree），也稱二叉排序樹（binary sorted tree），是指一棵空樹或者具有下列性質的二叉樹：

• 若任意節點的左子樹不空，則左子樹上所有結點的值均小于它的根結點的值

• 任意節點的右子樹不空，則右子樹上所有結點的值均大于它的根結點的值

• 任意節點的左、右子樹也分別為二叉查找樹

• 沒有鍵值相等的節點（no duplicate nodes）

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二叉查找樹相比于其他數據結構的優勢在于查找、插入的時間復雜度較低。為O(log n)。

二叉查找樹是基礎性數據結構，用于構建更為抽象的數據結構，如集合、multiset、關聯數組等。

二叉查找樹的查找過程和次優二叉樹類似，通常采取二叉鏈表作為二叉查找樹的存儲結構。中序遍歷二叉查找樹可得到一個關鍵字的有序序列，一個無序序列可以通過構造一棵二叉

查找樹變成一個有序序列，構造樹的過程即為對無序序列進行查找的過程。每次插入的新的結點都是二叉查找樹上新的葉子結點，在進行插入操作時，不必移動其它結點，只需改動

某個結點的指針，由空變為非空即可。搜索,插入,刪除的復雜度等于樹高，期望O(log n),最壞O(n)(數列有序,樹退化成線性表).

雖然二叉查找樹的最壞效率是O(n),但它支持動態查詢,且有很多改進版的二叉查找樹可以使樹高為O(logn),如:SBT,AVL,紅黑樹等.故不失為一種好的動態查找方法.

基本操作實現：

1、二叉查找樹聲明

/*********二叉查找樹聲明 ********/ typedef struct tree_node *tree_prt; struct tree_node {element_type element;tree_ptr left;tree_prt right; }; typedef tree_ptr SEARCH_TREE;

2、查找操作

思路：若根結點的關鍵字等于查找的關鍵字，查找成功；否則，若小于根結點的關鍵字的值，遞歸查找左子樹，否則若大于根結點的關鍵字的值，遞歸查找右子樹，若子樹為空，則查找不成功

/*********查找算法 ********/ tree_ptr find(element_type x, SEARCH_TREE T) {if(T ==NULL)return NULL;if(x < T->element)return (find(x, T->left));else if(x > T->element)return (find(x, T->right));elsereturn T; }

3、查找最大最小結點

/*********查找最大最小結點 ********/ tree_ptr find_min(SEARCH_TREE T) //遞歸 {if(T == NULL)return NULL;else if(T->left == NULL)return T;else return find_min(T->left); } tree_ptr find_max(SEARCH_TREE T) //非遞歸 {if(T != NULL) {while(T->right != NULL) {T = T->right;}}return T; }

4、插入操作

思路：首先執行查找算法，找出被插入結點的父結點，判斷被查結點是父結點的左孩子還是右孩子，將被插結點作為葉子結點插入，若二叉樹為空，則首先單獨生成根結點

/*********插入結點1 ********/ void insert(element_type x, SEARCH_TREE *T) {if(*T == NULL) { /* 空樹 */*T = (SEARCH_TREE)malloc(sizeof(struct tree_node));if(*T == NULL) {printf("Out of space!!!");return;} else {(*T)->element = x;(*T)->left = (*T)->right = NULL;}} else if(x < (*T)->element) {insert(x, &((*T)->left));} else {insert(x, &((*T)->right));} }

當然也可以使用返回插入結點的方式：

/*********插入結點2 ********/ tree_ptr insert(element_type x, SEARCH_TREE T) {if(T == NULL) { /* 空樹 */T = (SEARCH_TREE)malloc(sizeof(struct tree_node));if(T == NULL) {printf("Out of space!!!");return;} else {T->element = x;T->left = T->right = NULL;}} else if(x < T->element) {T->left = insert(x, T->left));} else {T->right = insert(x, T->right));}return T; }

5、刪除操作

在二叉查找樹刪去一個結點，分三種情況討論：

①? 若p是葉子結點： 直接刪除p，如圖(b)所示。

②? 若p只有一棵子樹(左子樹或右子樹)：直接用p的左子樹(或右子樹)取代p的位置而成為f的一棵子樹。即原來p是f的左子樹，則p的子樹成為f的左子樹；原來p是f的右子樹，則p的子樹成為f的右子樹，如圖(c)、 (d)所示。? ?

③ 若p既有左子樹又有右子樹 ：處理方法有以下兩種，可以任選其中一種。

◆? 用p的直接前驅結點代替p。即從p的左子樹中選擇值最大的結點s放在p的位置(用結點s的內容替換結點p內容)，然后刪除結點s。s是p的左子樹中的最右邊的結點且沒有右子樹，對s的刪除同②，如圖(e)所示。

◆ 用p的直接后繼結點代替p。即從p的右子樹中選擇值最小的結點s放在p的位置(用結點s的內容替換結點p內容)，然后刪除結點s。s是p的右子樹中的最左邊的結點且沒有左子樹，對s的刪除同②。

void delete(SEARCH_TREE *p) {SEARCH_TREE q, s;if((*p)->right == NULL) {q = *p;*p = (*p)->left;free(q);} else if((*p)->left == NULL) {q = *p;*p = (*p)->right;free(q);} else {q = *p;s = (*p)->left;while(s->right != NULL) {q = s;s = s->right;}(*p)->element = s->element;if(q != p) {q->right = s->left;} else {q ->left = s->left;}}free(s); } void deleteBST(SEARCH_TREE *T, element_type key) {if(!(*T)) {return;} else if ((*T)->element == key) {free(*T);} else if((*T)->element > key) {deleteBST((*)T->left, key);} else {deleteBST((*)T->right, key);} }

編程實踐

poj2418?Hardwood Species

#include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<string.h>struct node {char name[31];struct node *lchild, *rchild;int count; }tree; struct node *root; int n = 0; void mid_cal(struct node *root) {if(root != NULL) {mid_cal(root->lchild);printf("%s %.4lf\n", root->name, ((double)(root->count) / (double)n) * 100.0);mid_cal(root->rchild);} }void insertBST(struct node** root, char *s) {if(*root == NULL) {struct node *p = (struct node*)malloc(sizeof(tree));strcpy(p->name, s);p->lchild = p->rchild = NULL;p->count = 1;*root = p;} else {if(strcmp(s, (*root)->name) == 0) {((*root)->count)++;return;} else if(strcmp(s, (*root)->name) < 0) {insertBST(&((*root)->lchild), s);} else {insertBST(&((*root)->rchild), s);}} }int main() {char s[31];while(gets(s)) {insertBST(&root, s);n++;}mid_cal(root);return 0; }

參考資料

1、Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein（潘金貴等譯）《算法導論》. 機械工業出版社.

2、ACM/ICPC 算法訓練教程

3、《數據結構》嚴蔚敏、吳偉民

4、維基百科

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的二叉查找树(binary search tree)详解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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