參考鏈接：https://www.cnblogs.com/AndyJee/p/4465696.html

一、題目：最長(zhǎng)回文子序列長(zhǎng)度

給定字符串，求它的最長(zhǎng)回文子序列長(zhǎng)度。回文子序列反轉(zhuǎn)字符順序后仍然與原序列相同。例如字符串a(chǎn)bcdfcba中，最長(zhǎng)回文子序列長(zhǎng)度為7，abcdcba或abcfcba。

思路：動(dòng)態(tài)規(guī)劃：時(shí)間O（N^2），空間O（N^2）

對(duì)于任意字符串，如果頭尾字符相同，那么字符串的最長(zhǎng)子序列等于去掉首尾的字符串的最長(zhǎng)子序列加上首尾；如果首尾字符不同，則最長(zhǎng)子序列等于去掉頭的字符串的最長(zhǎng)子序列和去掉尾的字符串的最長(zhǎng)子序列的較大者。

例子：abba最長(zhǎng)回文子序列個(gè)數(shù)為4，先判斷首尾的'a'和‘a(chǎn)'是否相等，如果相等則’bb'最長(zhǎng)個(gè)數(shù)+2=4，如果不等，則看'abb'和‘bba'誰的最長(zhǎng)個(gè)數(shù)最大，值為哪個(gè)。

因此動(dòng)態(tài)規(guī)劃的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：

設(shè)字符串為str，長(zhǎng)度為n，dp[i][j]表示第i到第j個(gè)字符間的子序列的個(gè)數(shù)（i<=j），則：

狀態(tài)初始條件：dp[i][i]=1 （i=0：n-1）

狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：dp[i][j]=dp[i+1][j-1] + 2? if（str[i]==str[j]）

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j-1])? if （str[i]!=str[j]）

個(gè)數(shù)代碼：如果只計(jì)算上三角的值，循環(huán)從右下方開始

def longestPal(string):if not string :return 0dp = [[0] * len(string) for i in range(len(string))]
　　for i in range(len(s)):
　　　　dp[i][i] = 1
for i in range(len(string)-2,-1,-1):for j in range(i+1,len(string)):if string[i] == string[j]:dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2else:dp[i][j] = max(dp[i+1][j],dp[i][j-1])return dp[0][-1] string= 'abcdfcba' longestPal(string)

二、題目：回文子序列個(gè)數(shù)

給定字符串，求它的回文子序列個(gè)數(shù)。回文子序列反轉(zhuǎn)字符順序后仍然與原序列相同。例如字符串a(chǎn)ba中，回文子序列為"a", "a", "aa", "b", "aba"，共5個(gè)。內(nèi)容相同位置不同的子序列算不同的子序列。

思路：動(dòng)態(tài)規(guī)劃：時(shí)間O（N*N），空間O（N*N）

對(duì)于任意字符串，如果頭尾字符不相等，則字符串的回文子序列個(gè)數(shù)就等于去掉頭的字符串的回文子序列個(gè)數(shù)+去掉尾的字符串的回文子序列個(gè)數(shù)-去掉頭尾的字符串的回文子序列個(gè)數(shù)；如果頭尾字符相等，那么除了上述的子序列個(gè)數(shù)之外，還要加上首尾相等時(shí)新增的子序列個(gè)數(shù)，1+去掉頭尾的字符串的回文子序列個(gè)數(shù)，1指的是加上頭尾組成的回文子序列，如aa，bb等。

因此動(dòng)態(tài)規(guī)劃的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：

設(shè)字符串為str，長(zhǎng)度為n，p[i][j]表示第i到第j個(gè)字符間的最長(zhǎng)子序列的長(zhǎng)度（i<=j），則：

狀態(tài)初始條件：dp[i][i]=1 （i=0：n-1）

狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：dp[i][j]=dp[i+1][j] + dp[i][j-1] - dp[i+1][j-1]? if（str[i]！=str[j]）

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?dp[i][j]=dp[i+1][j] + dp[i][j-1] - dp[i+1][j-1]+dp[i+1][j-1]+1=dp[i+1][j] + dp[i][j-1]+1? if （str[i]==str[j]）

代碼：

def palNum(string):if not string :return 0dp = [[0] * len(string) for i in range(len(string))]for i in range(len(string)):dp[i][i] = 1for i in range(len(string)-2,-1,-1):for j in range(i+1,len(string)):if string[i] != string[j]:dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i+1][j] - dp[i+1][j-1]else:dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i+1][j] + 1return dp[0][-1] string= 'abba' palNum(string)

?

三、題目：最長(zhǎng)回文子串

思路1：借助最長(zhǎng)公共子串問題，將原來的string翻轉(zhuǎn)，求兩個(gè)字符串的最長(zhǎng)公共子串。

思路2：動(dòng)態(tài)規(guī)劃：dp[i,j]=1表示str[i...j]是回文子串，必定存在dp[i+1,j-1]=1?！?

狀態(tài)方程：

初始狀態(tài)：dp = [[1] * len(n) for i in range(n)]

dp[i][i]=1

思路2代碼：

def longestpalSub(string):if not string :return 0maxres,temp = 0,0dp = [[1] * len(string) for i in range(len(string))]for i in range(len(string)):dp[i][i] = 1for i in range(len(string)-2,-1,-1):for j in range(i+1,len(string)):if string[i] != string[j]:dp[i][j] = 0temp = 0else:dp[i][j] = dp[i+1][j-1]if dp[i][j] == 1:temp = j-i+1maxres = max(maxres,temp)return maxres string= 'cabbaci' longestpalSub(string)

?

?四、題目：回文串個(gè)數(shù)

思路：動(dòng)態(tài)規(guī)劃：dp[i][j]表示子串str[i...j]是否是回文串。

該題創(chuàng)建的dp矩陣和題三是一樣的，但是，題三是求dp[i][j] = 1時(shí)，j-i+1最大值，該題求的是dp上三角矩陣出現(xiàn)1的總個(gè)數(shù)。

初始狀態(tài)：dp = [[1] * len(n) for i in range(n)]

dp[i][i]=1

代碼：

#動(dòng)態(tài)規(guī)劃if not s:return 0n = len(s)res = ndp = [[1] * n for i in range(n)]
for i in range(n-2,-1,-1):for j in range(i+1,n):if s[i] == s[j]:dp[i][j] = dp[i+1][j-1]if dp[i][j] == 1:res += 1else:dp[i][j] = 0return res

?五、最長(zhǎng)的斐波那契子序列的長(zhǎng)度

如果序列?X_1, X_2, ..., X_n?滿足下列條件，就說它是?斐波那契式?的：

• n >= 3
• 對(duì)于所有?i + 2 <= n，都有?X_i + X_{i+1} = X_{i+2}

給定一個(gè)嚴(yán)格遞增的正整數(shù)數(shù)組形成序列，找到 A 中最長(zhǎng)的斐波那契式的子序列的長(zhǎng)度。如果一個(gè)不存在，返回??0 。

（回想一下，子序列是從原序列 A?中派生出來的，它從 A?中刪掉任意數(shù)量的元素（也可以不刪），而不改變其余元素的順序。例如，?[3, 5, 8]?是?[3, 4, 5, 6, 7, 8]?的一個(gè)子序列）

?

示例 1：

輸入: [1,2,3,4,5,6,7,8] 輸出: 5 解釋: 最長(zhǎng)的斐波那契式子序列為：[1,2,3,5,8] 。

示例?2：

輸入: [1,3,7,11,12,14,18] 輸出: 3 解釋: 最長(zhǎng)的斐波那契式子序列有： [1,11,12]，[3,11,14] 以及 [7,11,18] 。

?

提示：

• 3 <= A.length <= 1000
• 1 <= A[0] < A[1] < ... < A[A.length - 1] <= 10^9
• （對(duì)于以 Java，C，C++，以及?C# 的提交，時(shí)間限制被減少了 50%）

思路：動(dòng)態(tài)規(guī)劃，時(shí)間O（n2),空間O（n2)

采用字典dic存儲(chǔ)數(shù)組的索引。

dp[i][j]存的是從第i個(gè)到第j個(gè)最長(zhǎng)斐波那契子序列的長(zhǎng)度

temp = arr[i] + arr[j]
if temp in dic:
? ? ? ? ? position = dic[temp]
? ? ? ? ? dp[i][j] = dp[j][position] + 1

else:

　　dp[i][j] = 2

代碼：

def lenLongestFibSubseq(A):""":type A: List[int]:rtype: int"""if not A:return 0dic = {}res = 0for i in range(len(A)):dic[A[i]] = idp = [[0] * len(A) for i in range(len(A))]for i in range(len(A)-2,-1,-1):for j in range(i+1,len(A)):temp = A[i] + A[j]if temp in dic:position = dic[temp]dp[i][j] = dp[j][position] + 1res = max(res,dp[i][j])else:dp[i][j] = 2return res

?六、題目：擺動(dòng)序列

如果連續(xù)數(shù)字之間的差嚴(yán)格地在正數(shù)和負(fù)數(shù)之間交替，則數(shù)字序列稱為擺動(dòng)序列。第一個(gè)差（如果存在的話）可能是正數(shù)或負(fù)數(shù)。少于兩個(gè)元素的序列也是擺動(dòng)序列。

例如，?[1,7,4,9,2,5] 是一個(gè)擺動(dòng)序列，因?yàn)椴钪?(6,-3,5,-7,3)?是正負(fù)交替出現(xiàn)的。相反, [1,4,7,2,5]?和?[1,7,4,5,5] 不是擺動(dòng)序列，第一個(gè)序列是因?yàn)樗那皟蓚€(gè)差值都是正數(shù)，第二個(gè)序列是因?yàn)樗淖詈笠粋€(gè)差值為零。

給定一個(gè)整數(shù)序列，返回作為擺動(dòng)序列的最長(zhǎng)子序列的長(zhǎng)度。 通過從原始序列中刪除一些（也可以不刪除）元素來獲得子序列，剩下的元素保持其原始順序。

示例 1:

輸入: [1,7,4,9,2,5] 輸出: 6 解釋: 整個(gè)序列均為擺動(dòng)序列。

示例 2:

輸入: [1,17,5,10,13,15,10,5,16,8] 輸出: 7 解釋: 這個(gè)序列包含幾個(gè)長(zhǎng)度為 7 擺動(dòng)序列，其中一個(gè)可為[1,17,10,13,10,16,8]。

示例 3:

輸入: [1,2,3,4,5,6,7,8,9] 輸出: 2

思路：時(shí)間O（n2),空間O（n2）

兩個(gè)dp數(shù)組p和q，

p[i]表示到i位置時(shí)首差值為正的擺動(dòng)子序列的最大長(zhǎng)度，

q[i]表示到i位置時(shí)首差值為負(fù)的擺動(dòng)子序列的最大長(zhǎng)度。

我們從i=1開始遍歷數(shù)組，然后對(duì)于每個(gè)遍歷到的數(shù)字，再從開頭位置遍歷到這個(gè)數(shù)字，然后比較nums[i]和nums[j]，分別更新對(duì)應(yīng)的位置

p[i] = max(p[i],q[j]+1)【nums[i] > nums[j]】

q[i] = max(q[i],p[j] + 1) 【nums[i] < nums[j] 】

代碼：

def wiggleMaxLength(nums):""":type nums: List[int]:rtype: int"""if not nums:return 0p = [1] * len(nums)q = [1] * len(nums)for i in range(1,len(nums)):for j in range(0,i):if nums[i] > nums[j]:p[i] = max(p[i],q[j] + 1)elif nums[i] < nums[j]:q[i] = max(q[i],p[j] + 1)return max(q[-1],p[-1])

?

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/Lee-yl/p/9988704.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的算法62---最长回文子序列长度（子串）、回文子序列总共个数（子串）【动态规划】...的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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