?一步一步寫二叉查找樹

作者：C小加 ?更新時(shí)間：2012-8-9

二叉查找樹（BST）是二叉樹的一個(gè)重要的應(yīng)用，它在二叉樹的基礎(chǔ)上加上了這樣的一個(gè)性質(zhì)：對(duì)于樹中的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)來說，如果有左兒子的話，它的左兒子的值一定小于它本身的值，如果有右兒子的話，它的右兒子的值一定大于它本身的值。

二叉查找樹的操作一般有插入、刪除和查找，這幾個(gè)操作的平均時(shí)間復(fù)雜度都為O(logn)，插入和查找操作很簡單，刪除操作會(huì)復(fù)雜一點(diǎn)，除此之外，因?yàn)槎鏄涞闹行虮闅v是一個(gè)有序序列，我就額外加上了一個(gè)中序遍歷操作。

二叉查找樹的應(yīng)用不是很多，因?yàn)樗顗牡臅r(shí)候跟線性表差不多，大部分會(huì)應(yīng)用到它的升級(jí)版，平衡二叉樹和紅黑樹，這兩棵樹都能把時(shí)間復(fù)雜度穩(wěn)定在O(logn)左右。雖然不會(huì)用到，但是二叉查找樹是一定要學(xué)好的，畢竟它是平衡二叉樹和紅黑樹的基礎(chǔ)。

接下來一步一步寫一個(gè)二叉查找樹模板。

第一步：節(jié)點(diǎn)信息

二叉查找樹的節(jié)點(diǎn)和二叉樹的節(jié)點(diǎn)大部分是一樣的，不同的是，二叉查找樹多了一個(gè)值出現(xiàn)的次數(shù)。如圖1顯示了二叉查找樹的節(jié)點(diǎn)信息。

代碼如下：

//二叉查找樹節(jié)點(diǎn)信息?

?

template<class?T>?

?

class?TreeNode?

?

{?

?

????public:?

?

????????TreeNode():lson(NULL),rson(NULL),freq(1){}//初始化?

?

????????T?data;//值?

?

????????unsigned?int?freq;//頻率?

?

????????TreeNode*?lson;//指向左兒子的坐標(biāo)?

?

????????TreeNode*?rson;//指向右兒子的坐標(biāo)?

?

};?

第二步：二叉查找樹類的聲明

代碼如下：

//二叉查找樹類的屬性和方法聲明?

?

template<class?T>?

?

class?BST?

?

{?

?

????private:?

?

????????TreeNode<T>*?root;//根節(jié)點(diǎn)?

?

????????void?insertpri(TreeNode<T>*?&node,T?x);//插入?

?

????????TreeNode<T>*?findpri(TreeNode<T>*?node,T?x);//查找?

?

????????void?insubtree(TreeNode<T>*?node);//中序遍歷?

?

????????void?Deletepri(TreeNode<T>*?&node,T?x);//刪除?

?

????public:?

?

????????BST():root(NULL){}?

?

????????void?insert(T?x);//插入接口?

?

????????TreeNode<T>*?find(T?x);//查找接口?

?

????????void?Delete(T?x);//刪除接口?

?

????????void?traversal();//遍歷接口?

?

??

?

};?

?

第三步：插入

根據(jù)二叉查找樹的性質(zhì)，插入一個(gè)節(jié)點(diǎn)的時(shí)候，如果根節(jié)點(diǎn)為空，就此節(jié)點(diǎn)作為根節(jié)點(diǎn)，如果根節(jié)點(diǎn)不為空，就要先和根節(jié)點(diǎn)比較，如果比根節(jié)點(diǎn)的值小，就插入到根節(jié)點(diǎn)的左子樹中，如果比根節(jié)點(diǎn)的值大就插入到根節(jié)點(diǎn)的右子樹中，如此遞歸下去，找到插入的位置。重復(fù)節(jié)點(diǎn)的插入用值域中的freq標(biāo)記。如圖2是一個(gè)插入的過程。

二叉查找樹的時(shí)間復(fù)雜度要看這棵樹的形態(tài)，如果比較接近一一棵完全二叉樹，那么時(shí)間復(fù)雜度在O(logn)左右，如果遇到如圖3這樣的二叉樹的話，那么時(shí)間復(fù)雜度就會(huì)恢復(fù)到線性的O(n)了。

平衡二叉樹會(huì)很好的解決如圖3這種情況。

插入函數(shù)的代碼如下：

?

//插入?

?

template<class?T>?

?

void?BST<T>::insertpri(TreeNode<T>*?&node,T?x)?

?

{?

?

????if(node==NULL)//如果節(jié)點(diǎn)為空,就在此節(jié)點(diǎn)處加入x信息?

?

????{?

?

????????node=new?TreeNode<T>();?

?

????????node->data=x;?

?

????????return;?

?

????}?

?

????if(node->data>x)//如果x小于節(jié)點(diǎn)的值,就繼續(xù)在節(jié)點(diǎn)的左子樹中插入x?

?

????{?

?

????????insertpri(node->lson,x);?

?

????}?

?

????else?if(node->data<x)//如果x大于節(jié)點(diǎn)的值,就繼續(xù)在節(jié)點(diǎn)的右子樹中插入x?

?

????{?

?

????????insertpri(node->rson,x);?

?

????}?

?

????else?++(node->freq);//如果相等,就把頻率加1?

?

}?

?

//插入接口?

?

template<class?T>?

?

void?BST<T>::insert(T?x)?

?

{?

?

????insertpri(root,x);?

?

}?

?

第四步：查找

查找的功能和插入差不多一樣，按照插入那樣的方式遞歸下去，如果找到了，就返回這個(gè)節(jié)點(diǎn)的地址，如果沒有找到，就返回NULL。

代碼如下：

?

//查找?

?

template<class?T>?

?

TreeNode<T>*?BST<T>::findpri(TreeNode<T>*?node,T?x)?

?

{?

?

????if(node==NULL)//如果節(jié)點(diǎn)為空說明沒找到,返回NULL?

?

????{?

?

????????return?NULL;?

?

????}?

?

????if(node->data>x)//如果x小于節(jié)點(diǎn)的值,就繼續(xù)在節(jié)點(diǎn)的左子樹中查找x?

?

????{?

?

????????return?findpri(node->lson,x);?

?

????}?

?

????else?if(node->data<x)//如果x大于節(jié)點(diǎn)的值,就繼續(xù)在節(jié)點(diǎn)的左子樹中查找x?

?

????{?

?

????????return?findpri(node->rson,x);?

?

????}?

?

????else?return?node;//如果相等,就找到了此節(jié)點(diǎn)?

?

}?

?

//查找接口?

?

template<class?T>?

?

TreeNode<T>*?BST<T>::find(T?x)?

?

{?

?

????return?findpri(root,x);?

?

}?

?

第五步：刪除

刪除會(huì)麻煩一點(diǎn)，如果是葉子節(jié)點(diǎn)的話，直接刪除就可以了。如果只有一個(gè)孩子的話，就讓它的父親指向它的兒子，然后刪除這個(gè)節(jié)點(diǎn)。圖4顯示了一棵初始樹和4節(jié)點(diǎn)被刪除后的結(jié)果。先用一個(gè)臨時(shí)指針指向4節(jié)點(diǎn)，再讓4節(jié)點(diǎn)的地址指向它的孩子，這個(gè)時(shí)候2節(jié)點(diǎn)的右兒子就變成了3節(jié)點(diǎn)，最后刪除臨時(shí)節(jié)點(diǎn)指向的空間，也就是4節(jié)點(diǎn)。

刪除有兩個(gè)兒子的節(jié)點(diǎn)會(huì)比較復(fù)雜一些。一般的刪除策略是用其右子樹最小的數(shù)據(jù)代替該節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)并遞歸的刪除掉右子樹中最小數(shù)據(jù)的節(jié)點(diǎn)。因?yàn)橛易訕渲袛?shù)據(jù)最小的節(jié)點(diǎn)肯定沒有左兒子，所以刪除的時(shí)候容易一些。圖5顯示了一棵初始樹和2節(jié)點(diǎn)被刪除后的結(jié)果。首先在2節(jié)點(diǎn)的右子樹中找到最小的節(jié)點(diǎn)3，然后把3的數(shù)據(jù)賦值給2節(jié)點(diǎn)，這個(gè)時(shí)候2節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)變?yōu)?/span>3，然后的工作就是刪除右子樹中的3節(jié)點(diǎn)了，采用遞歸刪除。

我們發(fā)現(xiàn)對(duì)2節(jié)點(diǎn)右子樹的查找進(jìn)行了兩遍，第一遍找到最小節(jié)點(diǎn)并賦值，第二遍刪除這個(gè)最小的節(jié)點(diǎn)，這樣的效率并不是很高。你能不能寫出只查找一次就可以實(shí)現(xiàn)賦值和刪除兩個(gè)功能的函數(shù)呢？

如果刪除的次數(shù)不是很多的話，有一種刪除的方法會(huì)比較快一點(diǎn)，名字叫懶惰刪除法：當(dāng)一個(gè)元素要被刪除時(shí)，它仍留在樹中，只是多了一個(gè)刪除的標(biāo)記。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是刪除那一步的時(shí)間開銷就可以避免了，如果重新插入刪除的節(jié)點(diǎn)的話，插入時(shí)也避免了分配空間的時(shí)間開銷。缺點(diǎn)是樹的深度會(huì)增加，查找的時(shí)間復(fù)雜度會(huì)增加，插入的時(shí)間可能會(huì)增加。

刪除函數(shù)代碼如下：

?

//刪除?

?

template<class?T>?

?

void?BST<T>::Deletepri(TreeNode<T>*?&node,T?x)?

?

{?

?

????if(node==NULL)?return?;//沒有找到值是x的節(jié)點(diǎn)?

?

????if(x?<?node->data)?

?

????Deletepri(node->lson,x);//如果x小于節(jié)點(diǎn)的值,就繼續(xù)在節(jié)點(diǎn)的左子樹中刪除x?

?

????else?if(x?>?node->data)?

?

????Deletepri(node->rson,x);//如果x大于節(jié)點(diǎn)的值,就繼續(xù)在節(jié)點(diǎn)的右子樹中刪除x?

?

????else//如果相等,此節(jié)點(diǎn)就是要?jiǎng)h除的節(jié)點(diǎn)?

?

????{?

?

????????if(node->lson&&node->rson)//此節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)兒子?

?

????????{?

?

????????????TreeNode<T>*?temp=node->rson;//temp指向節(jié)點(diǎn)的右兒子?

?

????????????while(temp->lson!=NULL)?temp=temp->lson;//找到右子樹中值最小的節(jié)點(diǎn)?

?

????????????//把右子樹中最小節(jié)點(diǎn)的值賦值給本節(jié)點(diǎn)?

?

????????????node->data=temp->data;?

?

????????????node->freq=temp->freq;?

?

????????????Deletepri(node->rson,temp->data);//刪除右子樹中最小值的節(jié)點(diǎn)?

?

????????}?

?

????????else//此節(jié)點(diǎn)有1個(gè)或0個(gè)兒子?

?

????????{?

?

????????????TreeNode<T>*?temp=node;?

?

????????????if(node->lson==NULL)//有右兒子或者沒有兒子?

?

????????????node=node->rson;?

?

????????????else?if(node->rson==NULL)//有左兒子?

?

????????????node=node->lson;?

?

????????????delete(temp);?

?

????????}?

?

????}?

?

????return;?

?

}?

?

//刪除接口?

?

template<class?T>?

?

void?BST<T>::Delete(T?x)?

?

{?

?

????Deletepri(root,x);?

?

}?

?

第六步：中序遍歷

遍歷的方法和二叉樹的方法一樣，寫這個(gè)方法的目的呢，是輸出這個(gè)二叉查找樹的有序序列。

代碼如下：

?

//中序遍歷函數(shù)?

?

template<class?T>?

?

void?BST<T>::insubtree(TreeNode<T>*?node)?

?

{?

?

????if(node==NULL)?return;?

?

????insubtree(node->lson);//先遍歷左子樹?

?

????cout<<node->data<<"?";//輸出根節(jié)點(diǎn)?

?

????insubtree(node->rson);//再遍歷右子樹?

?

}?

?

//中序遍歷接口?

?

template<class?T>?

?

void?BST<T>::traversal()?

?

{?

?

????insubtree(root);?

?

}?

?

到此，整個(gè)代碼就完成了，代碼中肯定有很多不完善的地方請(qǐng)指出，我會(huì)加以完善，謝謝。

?

對(duì)于二叉查找樹不穩(wěn)定的時(shí)間復(fù)雜度的解決方案有不少，平衡二叉樹、伸展樹和紅黑樹都可以解決這個(gè)問題，但效果是不一樣的。

轉(zhuǎn)載于:https://blog.51cto.com/lwxcy/959522

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的一步一步写二叉查找树的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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