題目一：

給定一個整型數(shù)組，數(shù)組中有正有負，求最大連續(xù)子序列的和。

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解法：

利用動態(tài)規(guī)劃的思想。

設(shè)f(n)表示以a[n]為子序列最后一個元素的最大和，則可以有下面的規(guī)則：

（1）當(dāng)f(n-1)<0時，f(n)=a[n];

（2）當(dāng)n!=0且f(n-1)>0時，f(n)=f(n-1)+a[n]。

用一個nGreatestNum來記錄最大值，每次與f(n)進行比較，不斷更新即可。

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題目二：

給定一個二維數(shù)組，數(shù)組中有正有負，求最大子矩陣的和。

?

解法：

仍然用動態(tài)規(guī)劃的思想。

首先，將二維問題降維處理：

例如，用2 維數(shù)組a[1 : m][1 : n]表示給定的m行n列的整數(shù)矩陣。子數(shù)組a[i1 : i2][j1 : j2]表示左上角和右下角行列坐標(biāo)分別為(i1, j1)和(i2, j2)的子矩陣。

先按照行排列出所有可能區(qū)間，然后，再去求列的范圍。

更詳細的，當(dāng)行區(qū)間確定之后，剩下就是確定列區(qū)間了，一旦確定列區(qū)間，最大子矩陣就確定了。

當(dāng)行區(qū)間確定之后，求列區(qū)間的方法，可以轉(zhuǎn)化成一維數(shù)組的最大連續(xù)子序列的問題：對行區(qū)間[i1, j1]，依次對列進行求和，就得到n個數(shù)據(jù)的以為數(shù)組，根據(jù)最大連續(xù)子序列的和的求法，就可以獲得連續(xù)子序列最大和。

仍然用nGreatestNum來記錄最大值，算出一個子矩陣的和，就進行比較即可。

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復(fù)雜度分析：

（1）排列出行區(qū)間，復(fù)雜度為O(M*M);

（2）而求得最大子序列的和復(fù)雜度為O(N)；

（3）對于行區(qū)間確定之后對列求和的復(fù)雜度呢？

這里采用“部分和”的做法。

用BC[i][j]表示0到i行、0到j(luò)列的總和。

那么對于行區(qū)間r->l，求第i列的和：BC[l][i] - B[r-1][i] - B[l][i-1] + B[r-1][i-1]。

而求“部分和”僅需要O(N*M)。可以預(yù)先計算好。

因此，算法復(fù)雜度為O(N*M*M)。

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總結(jié)

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