WC2017 Day1

字符串算法

0x00 字符串的性質

• 字符串的周期（period）:例如abcabca 周期為3
• 字符串的border ：相同前后綴
• 顯然如果一個長為s字符串有長度為r的border，則其有長度為s-r的period

• border有什么用？KMP

• 后綴數組：可以求兩個子串的最長公共前綴（LCP）

• LCP和周期性：如果一個字符串有周期p，則i與i+p的LCP為s-p-i+1

• Weak Periodicity Lemma：p和q都是s的周期，p+q<=|s|，則gcd(p,q)也是s的周期
• Periodicity Lemma（周期引理）：p和q都是s的周期，p+q-gcd(p,q)<=|s|，則gcd(p,q)也是s的周期

• 這兩個定理都十分顯然，弱化版可以先證p-q也是周期，然后輾轉相減，標準版不予證明

• 字符串匹配 引理：u,v滿足2|u|>=|v|，則u在v中所有匹配位置組成一個等差數列，用border的性質和周期引理可證
• border的結構：s所有不小于|s|/2的border長度構成等差數列，同樣用border性質和周期引理可證

• 把border按長度分類：[1,2),[2,4),[4,8)…….每一類里長度都是等差數列，則周期也有類似性質（這一個沒聽懂，下面所有涉及這個的都沒懂）

• 如果|v|>=|w|/2，|v|是2的冪次，且w,v都是s的子串，如何求v在w中的匹配位置？

• 可以用類似倍增求后綴數組的做法，把w中長度為|v|的拎出來排序

0x01 字符串循環移位

• 字符串的循環移位：一般有n種，如果最小周期p|n，則只有p種不同的循環移位，每種出現n/p次
• 循環同構？破環成鏈，在鏈上匹配（等差數列）
• 可以優化，需要用到上面沒聽懂的那個性質

0x02 回文串

• Manacher

• 回文樹

• 引理：s是回文串，s的后綴（前綴）t是回文串當且僅當t是s的border，用顯然法證明

• 推論：任意字符串所有回文后綴的長度是logn個等差數列（又是你！）

• 最小回文串拆分：manacher+dp，dp[i]=min{dp[j]+1，s[j..i]是回文串}，復雜度O(N^2)，可以用上面的推論優化成nlogn

• 判斷是否存在非平凡（l>=2）回文串拆分：顯然有個n^2 dp做法，和上面的問題一樣，然而存在線性做法
• 顯然的想法：維護從每個點出發的最短（>=2）回文串，貪心取最短串，嘗試證明：
• 設從一點出發實際段長為d，最短段長為f[i]
• 若f[i]>=d/2 可以找到一個更短的前綴回文串：d-f[i]是周期=>2(d-f[i])是周期=>d-2(d-f[i])是border=>d-2(d-f[i])是一個更短的前綴回文串，這里要特判d=2f[i]-1的情況
• 若f[i]i],f[i]+1..d-f[i],d-f[i]+1..d，都是回文串，這里要特判d=2f[i]+1的情況

• 單純貪心不太好使，三種情況，O(3)轉移dp

• 雙回文串：a,b都是回文串，則ab是一個雙回文串
• s=x1x2=y1y2=z1z2，如果y1,y2,x2,z1都是回文串，x1
• 判斷s能否拆成不超過4個回文串？

• 窮舉中間斷點，判斷前后能否用兩個以內的回文串組成，預處理。

0x03 字典序

• 全是后綴數組，沒怎么聽懂

Ulam 猜數游戲

0x00 內容

• 回答方選擇一個數x
• 詢問方詢問一個集合s，回答方回答x是否在s內
• 回答方可以撒謊不超過k次
• 回答方可以變更選擇的數(必須合法)
• 拓展：詢問必須事先確定（離線詢問）

0x01 策略

先考慮離線情況

提問方

樸素策略:每次詢問二進制位上的一位，每次詢問重復k+1次，最壞次數是$ \left ( k+1 \right ) \log_2{n}+1\(，對所有k和離線都適用，離線的話要詢問k+2次，最壞次數\)\left ( k+2 \right ) \log_2{n}$

• 0 1 2 3 4 5 6 7
• 1 3 5 7 倒數第一位為1？
• 2 3 6 7 倒數第二位為1？
• 4 5 6 7 倒數第三位位1？

問題轉化

• 傳輸一個長為$ log_2{n}$的01串，傳輸有噪音，有不超過k位被修改
• k=1的情況
• 算法0:樸素算法，每個位置詢問3次
• 算法1:每個位置詢問2次，加一個奇偶校驗，詢問最終01串中1的奇偶性
• 算法2:每個位置詢問1次，把詢問位置1到n標號，設立$ log_2(log_2{n}+1)$個奇偶校驗，第k個奇偶校驗用于檢查二進制位上第k位為1的位置構成的串的奇偶性，同時對整個串設一個奇偶校驗
• 算法3:hamming code

細化模型

• 是一個信道編碼問題
• 編碼 傳輸 譯碼

• 編碼要求:傳輸過程中受到噪聲影響仍能正確譯碼

• 等價于將n維空間中的$ 2^n$個點映射到m個點上

在線情況

• k=1時，離線與在線算法的最優解滿足:在線<=離線<=在線+1，我不會證

回答方的策略？

• 回答方有兩種選擇，將游戲引向兩種狀態
• 哪個狀態對詢問方更不利？信息熵（不確定性）更大的那個。
• 一個重要的評判策略:如果這個數是x，那回答方還能撒謊的次數p
• 記當前p為i的數有$ w_{i}\(個，W是\) w_{i}$的有序集合
• 一個狀態可以用W表示，開始時的狀態$ \left { n,0,0,0,0..... \right }$
• 詢問方可以直接得到答案的W滿足$ \sum wi=1$

如何維護W？

• 考慮回答者的視角，按一次詢問是否涉及一個數把W分成A詢問到,B沒詢問到兩個集合
• yes？相當于你對所有b撒謊了
• no？相當于你對所有a撒謊了
• 以yes為例，$ w_{i}=a_{i}+b_{i-1}$，相當于b被右移一位

如何量化信息熵？

• 設$ V_{q}\left(W\right)=\sum_{i}^{k}w_{i}\sum_{j}^{i}\binom{q}{j}$

• q表示在q次詢問內得出答案
• 此為估價函數(搜索空間的體積)
• 這個玩意取對數就是信息熵

• 感性認識:后面那個組合數就是撒謊方式的數量

Vq的性質

• $ V_{q}\left(W\right)=V_{q-1}\left(W_{yes}\right)+V_{q-1}\left(W_{no}\right)$
• $ V_{q}\left(W\right)\leqslant 2^q$是能在q次詢問內得出解的必要條件

根據第二條性質，可以用$ V_{q}$評價一個狀態

這就可以搞了，回答方根據這個估價函數決定回答策略

再回頭看詢問方的策略？

• 相當于n個數$ a_{i}$，分成兩堆，要求差最小
• 沒有多項式做法，可以貪心(論文《論一類啟發式算法在信息學競賽中的應用》)

0x02 Ulam游戲的實質

• k=1時，其實是容錯的二分搜索
• 如果$ k\neq 1$？
• 變成了一個k+1劃分問題
• 回答方:性質2變成$ V_{k,q}\left(W\right)=\sum_{i}^{k}wi\sum_{j}^{i}\left(k+1\right) \binom{q}{j}\leqslant k^q$

0x03 其他問題

有一堆球，其中有一個比其他球輕一些，要求只用一架天平，用最少的次數找出這個球

• 三叉搜索，要求其中兩個集合大小一樣
• 如果天平有不超過k次會出錯？
• 容錯三叉搜索問題

N個數，大小未知，比較器會有不超過e次出錯，用最少的比較次數求其中最大項

• 樸素策略，每次瘋狂詢問，直到一個返回值出現大于e+1次
• 理論復雜度(e+1)(n-1)+e
• 然而這是理論最優
• 構造一個回答策略，前(e+1)(n-1)-1次詢問如實回答
• 定義“負票”這個概念：如果比較器返回了a比b小，則稱a收到一張負票
• 顯然如果一個數收到e+1張負票，那這個數不可能是最大值
• 前面的一階段的詢問中顯然有一個$ x_{m}\(收到的負票小于等于e，且有一個數\) x_{n}$沒有收到負票
• 在后面的e個詢問中，運用撒謊不讓$ x_{m}$收到的負票超過e
• 最后詢問方無法確定$ x_{n}\(還是\) x_{m}$是最大值，需要再詢問一次，總數是(e+1)(n-1)+e

容錯排序，沒有重復元素，不考慮常數

• 隨便選一個$ nlog_2{n}\(比較排序，運用前面的思路可以得到一個\) enlog_2{n}$排序
• 考慮插入排序，平衡樹維護序列
• 插入時不考慮出錯問題
• 插入后和前驅后繼元素O(e)比較一下
• 最終復雜度$ O((n+e)log_2{n}+(n+e)e)$ log是插入，e是判錯

IOI2016 題解

練習賽前三題都是傻逼題，按下不表

練習賽T4

有一個01串S，你每次可以詢問一個01串是不是S的子串，最終要求輸出S

• 36分，貪心向后加01，不能加了以后向前加01，期望復雜度2n
• 100分：
• 做法1:貪心加01，但只詢問一次，如果連續詢問k次都不對，就認為長度過長了，在這個后綴里二分求出最長長度，k取15可過
• 做法2:確定性算法，先二分出最長全0串長度為l，向后加1并判斷，如果連續l+1個不合法就說明過長，復雜度貌似很大，實際是$ n+2log_2{n}$可過

D1T1

有n個數$ a_{i}\(，要求找出一個集合B使\) \sum bi \in [L,R]\(，滿足\) R-L>a_{max}-a_{min}$

• 從小到大排序，貪心往里加直到加不下，設當前加不進去的一個數是$ a_{k}\(，由于題目給出的性質，\) a_{k}-a_{1}\(肯定能加進去，那把\) a_{k}\(加進去，\) a_{1}$刪掉，繼續往后掃
• 答案一定是一個連續區間或者是前綴和+后綴和
• 做法多種多樣

D1T2

有一些鐵軌，每個鐵軌i要求進入速度不大于$ s_{i}\(，出來速度會變成\) t_{i}$，初始速度為1，你可以用1的代價使速度-1，要求最小化代價通過所有鐵軌，通過的順序任意安排

• Subtask3：判斷代價是否為0，對每個速度建一個點，初始速度為0，最終速度為INF，鐵軌看作邊，中間點補上向速度+1的邊，判斷0到INF是否聯通

• 歐拉路徑

• 100分，還用剛才的模型，現在可以用1的代價添加一條i到i-1的邊，現在唯一的問題是不聯通
  現在可以用一定的代價使i到i+1聯通(離散化之后)，最終的目標是是整個圖聯通，由于中間是歐拉路徑，等價于一個無向圖，這是什么東西？MST！

D1T3

一條鏈，每個點上額外掛一個點，每條邊有權，在兩個鏈上的點之間加一條邊長為c，要求最小化兩點間最短距離的最大值

• 二分答案，分類討論兩點與邊兩端的位置關系，轉化為對邊兩端的位置限制，two pointers搞一搞，枚舉限制關系可過3000
• 求限制關系的時候可以枚舉j，線段樹詢問i，可過300000
• two pointer優化尋找i，j限制，可A

D2T1

一個長為n黑白串，給出一些位置的顏色，并且順序給出所有k段極大連續黑色的長度，問哪些位置的顏色可以確定

• O(nk) DP，判斷每個位置是否能為黑/白，
• 白色很好判斷，掃一遍
• 黑色的話，窮舉k，前綴和打標記，開始+1末尾-1

D2T2

交互題，有個機器，支持輸入一個長度為n的01串，查詢是否存在一個長度為n的01串，這個機器會把你輸入的01串按照一個排列$ p_{1}p_{2}p_{3}p_{4}p_{5}...p_{n}$重排，求這個排列

• 分治，每次把區間二分，對左半區間內每個數i，構造一個數第i位為1，這個區間內其他數為0，區間外的數為1
• 復雜度$ nlog_2{n}$

D2T3

一個大正方形中有一些點，要求用不超過k個小正方形覆蓋這些點，小正方形的對角線必須在大正方形對角線上，最小化小正方形面積并

• 不妨把左下的關鍵點翻折到右上，并把無用的點刪除，則每個正方形會覆蓋一段連續的點，考慮dp，直接轉移是$ kn^2$，滿足決策單調性，斜率優化得kn

• 這種選取不超過k的dp，如果dp[n][k]是一個關于k的凸函數，可以用二分一個斜率去切這個函數，直到切點為k時即為答案，
  這里可以二分每個小正方形的代價c，用c去切每個dp位置，最終復雜度為$ nlog_2{nk}$

BM算法

• 口音太重，啥都聽不懂

感想

• 冬眠營，掉線營
• 聽個頭啊
• 怎么口音這么重

轉載于:https://www.cnblogs.com/LoveYayoi/p/6745455.html

總結

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