作者：?阮一峰

日期：?2012年3月16日

這個系列的前三篇，介紹了Hacker News，Reddit和Stack Overflow的排名算法。

今天，討論一個更一般的數學模型。

這個系列的每篇文章，都是可以分開讀的。但是，為了保證所有人都在同一頁上，我再說一下，到目前為止，我們用不同方法，企圖解決的都是同一個問題：根據用戶的投票，決定最近一段時間內的"熱文排名"。

你可能會覺得，這是一個全新的課題，伴隨著互聯網而產生，需要全新的方法來解決。但是，實際上不是。我們可以把"熱文排名"想象成一個"自然冷卻"的過程：

　　（1）任一時刻，網站中所有的文章，都有一個"當前溫度"，溫度最高的文章就排在第一位。

　　（2）如果一個用戶對某篇文章投了贊成票，該文章的溫度就上升一度。

　　（3）隨著時間流逝，所有文章的溫度都逐漸"冷卻"。

　　

這樣假設的意義，在于我們可以照搬物理學的冷卻定律，使用現成的公式，建立"溫度"與"時間"之間的函數關系，輕松構建一個"指數式衰減"（Exponential decay）的過程。

偉大的物理學家牛頓，早在17世紀就提出了溫度冷卻的數學公式，被后人稱作"牛頓冷卻定律"（Newton's Law of Cooling）。我們就用這個定律構建排名算法。

"牛頓冷卻定律"非常簡單，用一句話就可以概況：

物體的冷卻速度，與其當前溫度與室溫之間的溫差成正比。

寫成數學公式就是：

　　

其中，

　　- T(t)是溫度（T）的時間（t）函數。微積分知識告訴我們，溫度變化（冷卻）的速率就是溫度函數的導數T'(t)。

　　- H代表室溫，T(t)-H就是當前溫度與室溫之間的溫差。由于當前溫度高于室溫，所以這是一個正值。

　　- 常數α（α>0）表示室溫與降溫速率之間的比例關系。前面的負號表示降溫。不同的物質有不同的α值。

這是一個微分方程，為了計算當前溫度，需要求出T(t)的函數表達式。

第一步，改寫方程，然后等式兩邊取積分。

　　

　　

第二步，求出這個積分的解（c為常數項）。

　　

　　

　　

第三步，假定在時刻t₀，該物體的溫度是T(t₀)，簡寫為T₀。代入上面的方程，得到

　　

　　

第四步，將上一步的C代入第二步的方程。

　　

假定室溫H為0度，即所有物體最終都會"冷寂"，方程就可以簡化為

　　

上面這個方程，就是我們想要的最終結果：

　　本期溫度 = 上一期溫度 x exp(-(冷卻系數) x 間隔的小時數)

將這個公式用在"排名算法"，就相當于（假定本期沒有增加凈贊成票）

　　本期得分 = 上一期得分 x exp(-(冷卻系數) x 間隔的小時數)

其中，"冷卻系數"是一個你自己決定的值。如果假定一篇新文章的初始分數是100分，24小時之后"冷卻"為1分，那么可以計算得到"冷卻系數"約等于0.192。如果你想放慢"熱文排名"的更新率，"冷卻系數"就取一個較小的值，否則就取一個較大的值。

[參考文獻]

　　*　Rank Hotness With Newton's Law of Cooling

（完）

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• 發表日期：?2012年3月16日
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留言（19條）

erben?說：

好模型。

2012年3月16日 02:18?|?∞?|?引用

必填?說：

有趣的模型。如果拿這個跟那些score=log(vote)-c*time的模型比較，可以發現后者就是對牛頓模型里的溫度取了個對數。

一個可能的變化是考慮每一票的時間，一小時前的新“頂”應該比去年的“頂”有更大的效果。其實有些論壇按照最后回復來排列貼子，結果近似于每一個回復都讓系統溫度提高很多（自動取得所有貼子里的最高溫度），而后慢慢冷卻。每“頂”一次都把文章提到最前是沒有必要的，但可以調節參數得到更有實際意義的模型。其負面作用是或者要記錄每一“頂”的時間，增加系統負擔，或者要實時記錄當前“溫度”，而這個“溫度”無法從原始數據得出（因為每次“頂”的時間沒有記錄下來）。

2012年3月16日 04:41?|?∞?|?引用

劉永新?說：

這個模型不錯！

2012年3月16日 09:12?|?∞?|?引用

亂發吹風?說：

那如果是本期有增加贊成票呢，應該怎么計算呢？

是不是可以這樣, 先算一下上一期到現在冷卻后的得分,然后再加上{本期增加贊成票數}

本期得分 = 上一期得分 × exp(-(冷卻系數) × 間隔的小時數) + 本期增加贊成票數

可是{本期增加贊成票數}是否應以1為單位增加呢

2012年3月16日 11:03?|?∞?|?引用

xb?說：

"微積分知識告訴我們，溫度變化（冷卻）的速率就是溫度函數的導數T'(t)。" 這個怎么理解？

2012年3月16日 11:06?|?∞?|?引用

αβγ?說：

看得真親切，物理+微積分～～ :-)

2012年3月16日 22:57?|?∞?|?引用

Mead Lai?說：

我在想,阮gg這個公式編輯器用的是什么?
怎么生成圖片的???
看這公式,哥哥又要膜拜了...
到處都是大神啊...

2012年3月17日 12:24?|?∞?|?引用

klein?說：

之前也一直在思考如何將排名算法抽象出來，類比了一些自然現象也不得其解。
直到看到這篇文章，醍醐灌頂啊，真是萬物歸一，非常感謝分享。

2012年3月17日 19:45?|?∞?|?引用

Ranmocy?說：

引用亂發吹風的發言：

那如果是本期有增加贊成票呢，應該怎么計算呢？

是不是可以這樣, 先算一下上一期到現在冷卻后的得分,然后再加上{本期增加贊成票數}

本期得分 = 上一期得分 × exp(-(冷卻系數) × 間隔的小時數) + 本期增加贊成票數

可是{本期增加贊成票數}是否應以1為單位增加呢

具體的權值應該跟你的網站的特性有關。比如說訪問量，贊成票的更新量等等來具體決定吧。

2012年3月19日 09:15?|?∞?|?引用

Ranmocy?說：

引用必填的發言：

一個可能的變化是考慮每一票的時間，一小時前的新“頂”應該比去年的“頂”有更大的效果。其實有些論壇按照最后回復來排列貼子，結果近似于每一個回復都讓系統溫度提高很多（自動取得所有貼子里的最高溫度），而后慢慢冷卻。每“頂”一次都把文章提到最前是沒有必要的，但可以調節參數得到更有實際意義的模型。其負面作用是或者要記錄每一“頂”的時間，增加系統負擔，或者要實時記錄當前“溫度”，而這個“溫度”無法從原始數據得出（因為每次“頂”的時間沒有記錄下來）。

并不需要記錄所有“頂”的時間，只需要記錄上一次“頂”的時間和當時的溫度即可算出當前“頂”之前的一瞬間冷卻到什么溫度，然后加上這個“頂”所帶來的溫度的提升即可。
冷卻模型沒有后效性，所以記錄原始數據是沒有意義的。
實際工程中應該是離散地迭代來實現的。

2012年3月19日 09:23?|?∞?|?引用

Ranmocy?說：

引用xb的發言：

"微積分知識告訴我們，溫度變化（冷卻）的速率就是溫度函數的導數T'(t)。" 這個怎么理解？

速率就是一定時間內變化量與時間的比。

V = (T(t) - T(t+dt)) / dt = dT(t) / dt = T'(t)

2012年3月19日 09:26?|?∞?|?引用

KCG?說：

有實現的代碼參考嗎？

2012年3月20日 00:42?|?∞?|?引用

必填?說：

引用Ranmocy的發言：

并不需要記錄所有“頂”的時間，只需要記錄上一次“頂”的時間和當時的溫度即可算出當前“頂”之前的一瞬間冷卻到什么溫度，然后加上這個“頂”所帶來的溫度的提升即可。
冷卻模型沒有后效性，所以記錄原始數據是沒有意義的。
實際工程中應該是離散地迭代來實現的。

是，這基本上就是我說的“實時記錄當前‘溫度’”。 我的想法是，有的時候可能會希望從原始數據重新計算一下溫度，比如說想調整冷卻系數；如果只記錄了當前溫度，舊文章和新文章的計算就會有不一致的地方。

2012年3月20日 00:44?|?∞?|?引用

大米?說：

你是抄襲的么?http://www.oschina.net/question/12_45050

2012年4月 1日 09:45?|?∞?|?引用

城主?說：

非常thought-provoking，但是這里只考慮了冷卻問題，還有一個加溫的問題，二者在實際運用中往往是結合在一起的。
比如頂（即贊成票）應該是具有時效性的，當前的頂顯然比一年前的頂更為重要。

2012年4月 2日 20:42?|?∞?|?引用

北極之北?說：

引用大米的發言：

你是抄襲的么?http://www.oschina.net/question/12_45050

那篇下面寫的有原文出處，就是這里呀。

2012年4月 9日 16:57?|?∞?|?引用

胡大善人?說：

這就是工業界最常用的衰減因子了，每次歷史聚合的時候都對上一次的結果進行衰減。
衰減因子主要存在的問題在于是衰減整體投票結果還是衰減投票。
比如歷史上不同時間段有贊成票， 反對票， 以及每個時間段的贊成比例。 不管衰減哪個都有優勢和劣勢

2012年5月16日 15:07?|?∞?|?引用

麥洛Milo?說：

對這個模型很感興趣。您覺得新浪微博的智能排序使用了什么算法呢？

2012年9月26日 11:08?|?∞?|?引用

dirtysalt?說：

這里只是考慮得分的一種通用自然衰減過程，沒有考慮其他因素比如用戶參與與外部貢獻是吧？

2013年9月 6日 09:34?|?∞?|?引用

總結

以上是生活随笔為你收集整理的基于用户投票的排名算法（四）：牛顿冷却定律的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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