原作者未知

最大似然估計提供了一種給定觀察數(shù)據(jù)來評估模型參數(shù)的方法，即：“模型已定，參數(shù)未知”。簡單而言，假設(shè)我們要統(tǒng)計全國人口的身高，首先假設(shè)這個身高服從服從正態(tài)分布，但是該分布的均值與方差未知。我們沒有人力與物力去統(tǒng)計全國每個人的身高，但是可以通過采樣，獲取部分人的身高，然后通過最大似然估計來獲取上述假設(shè)中的正態(tài)分布的均值與方差。

????最大似然估計中采樣需滿足一個很重要的假設(shè)，就是所有的采樣都是獨立同分布的。下面我們具體描述一下最大似然估計：

????首先，假設(shè)為獨立同分布的采樣，θ為模型參數(shù),f為我們所使用的模型，遵循我們上述的獨立同分布假設(shè)。參數(shù)為θ的模型f產(chǎn)生上述采樣可表示為

???????

回到上面的“模型已定，參數(shù)未知”的說法，此時，我們已知的為，未知為θ，故似然定義為:

　　

　　在實際應(yīng)用中常用的是兩邊取對數(shù)，得到公式如下：

?????

　　其中稱為對數(shù)似然，而稱為平均對數(shù)似然。而我們平時所稱的最大似然為最大的對數(shù)平均似然，即：

　　

???? 舉個別人博客中的例子，假如有一個罐子，里面有黑白兩種顏色的球，數(shù)目多少不知，兩種顏色的比例也不知。我 們想知道罐中白球和黑球的比例，但我們不能把罐中的球全部拿出來數(shù)。現(xiàn)在我們可以每次任意從已經(jīng)搖勻的罐中拿一個球出來，記錄球的顏色，然后把拿出來的球 再放回罐中。這個過程可以重復(fù)，我們可以用記錄的球的顏色來估計罐中黑白球的比例。假如在前面的一百次重復(fù)記錄中，有七十次是白球，請問罐中白球所占的比例最有可能是多少？很多人馬上就有答案了：70%。而其后的理論支撐是什么呢？

??? 我們假設(shè)罐中白球的比例是p，那么黑球的比例就是1-p。因為每抽一個球出來，在記錄顏色之后，我們把抽出的球放回了罐中并搖勻，所以每次抽出來的球的顏 色服從同一獨立分布。這里我們把一次抽出來球的顏色稱為一次抽樣。題目中在一百次抽樣中，七十次是白球的概率是P(Data | M)，這里Data是所有的數(shù)據(jù)，M是所給出的模型，表示每次抽出來的球是白色的概率為p。如果第一抽樣的結(jié)果記為x1，第二抽樣的結(jié)果記為x2...?那么Data = (x1,x2,…,x100)。這樣，

　　　　P(Data | M)

　　　　　= P(x1,x2,…,x100|M)

　　　　　= P(x1|M)P(x2|M)…P(x100|M)

　　　　　= p^70(1-p)^30.

那么p在取什么值的時候，P(Data |M)的值最大呢？將p^70(1-p)^30對p求導(dǎo)，并其等于零。

　　　　70p^69(1-p)^30-p^70*30(1-p)^29=0。

　　　　解方程可以得到p=0.7。

在邊界點p=0,1，P(Data|M)=0。所以當p=0.7時，P(Data|M)的值最大。這和我們常識中按抽樣中的比例來計算的結(jié)果是一樣的。

假如我們有一組連續(xù)變量的采樣值（x1,x2,…,xn），我們知道這組數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，標準差已知。請問這個正態(tài)分布的期望值為多少時，產(chǎn)生這個已有數(shù)據(jù)的概率最大？

　　　　P(Data | M) = ？

根據(jù)公式

　　?

　　可得:

?

　　對μ求導(dǎo)可得?,則最大似然估計的結(jié)果為μ=(x1+x2+…+xn)/n

?

????? 由上可知最大似然估計的一般求解過程：

　　（1） 寫出似然函數(shù)；

　　（2） 對似然函數(shù)取對數(shù)，并整理；

　　（3） 求導(dǎo)數(shù) ；

　　（4） 解似然方程

?

注意：最大似然估計只考慮某個模型能產(chǎn)生某個給定觀察序列的概率。而未考慮該模型本身的概率。這點與貝葉斯估計區(qū)別。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的最大似然估计算法的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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