原作者未知

最大后驗估計是根據經驗數據獲得對難以觀察的量的點估計。與最大似然估計類似，但是最大的不同時，最大后驗估計的融入了要估計量的先驗分布在其中。故最大后驗估計可以看做規則化的最大似然估計。

??? 首先，假設x為獨立同分布的采樣，θ為模型參數,f為我們所使用的模型。那么最大似然估計可以表示為：

?????

現在，假設θ的先驗分布為g。通過貝葉斯理論，對于θ的后驗分布如下式所示：

?????

最后驗分布的目標為：

?????

　　　　注：最大后驗估計可以看做貝葉斯估計的一種特定形式。

　　舉例來說：

　　假設有五個袋子，各袋中都有無限量的餅干(櫻桃口味或檸檬口味)，已知五個袋子中兩種口味的比例分別是

　　　　櫻桃 100%

　　　　櫻桃 75% + 檸檬 25%

　　　　櫻桃 50% + 檸檬 50%

　　　　櫻桃 25% + 檸檬 75%

　　　　檸檬 100%

　　如果只有如上所述條件，那問從同一個袋子中連續拿到2個檸檬餅干，那么這個袋子最有可能是上述五個的哪一個？

????? 我們首先采用最大似然估計來解這個問題，寫出似然函數。假設從袋子中能拿出檸檬餅干的概率為p(我們通過這個概率p來確定是從哪個袋子中拿出來的)，則似然函數可以寫作

　　

　　由于p的取值是一個離散值，即上面描述中的0,25%，50%，75%，1。我們只需要評估一下這五個值哪個值使得似然函數最大即可，得到為袋子5。這里便是最大似然估計的結果。

上述最大似然估計有一個問題，就是沒有考慮到模型本身的概率分布，下面我們擴展這個餅干的問題。

假設拿到袋子1或5的機率都是0.1，拿到2或4的機率都是0.2，拿到3的機率是0.4，那同樣上述問題的答案呢？這個時候就變MAP了。我們根據公式

　　

寫出我們的MAP函數。

　　

根據題意的描述可知，p的取值分別為0,25%，50%，75%，1，g的取值分別為0.1，0.2,0.4,0.2,0.1.分別計算出MAP函數的結果為：0,0.0125,0.125,0.28125,0.1.由上可知，通過MAP估計可得結果是從第四個袋子中取得的最高。

　　上述都是離散的變量，那么連續的變量呢？假設為獨立同分布的，μ有一個先驗的概率分布為。那么我們想根據來找到μ的最大后驗概率。根據前面的描述，寫出MAP函數為：

　　

　　此時我們在兩邊取對數可知。所求上式的最大值可以等同于求

　　

　　的最小值。求導可得所求的μ為

　　

　　以上便是對于連續變量的MAP求解的過程。

在MAP中我們應注意的是：

??? MAP與MLE最大區別是MAP中加入了模型參數本身的概率分布，或者說。MLE中認為模型參數本身的概率的是均勻的，即該概率為一個固定值。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的最大后验概率估计算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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