鴿巢定理的簡單形式

　　鴿巢原理（抽屜原理）：如果有n+1個鴿子要進n個鴿巢，則至少存在一個鴿巢種包含兩個或更多的鴿子。

看上去是一句“廢話”，不過這句”廢話“在用來證明一個排列或則某種現象的存在性上相當有魅力！

關于鴿巢原理更抽象的表述：

? If X has more elements than Y, then f is not one-to-one.
? If X and Y have the same number of elements and f is onto, then f is one-to-one.
? If X and Y have the same number of elements and f is one-to-one, then f is onto.

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　?中國剩余定理上有關鴿巢定理的證明

　　令m，n為互素的正整數，并令a，b為兩個整數，且0 <= a <= n - 1, 0 <= b <= n - 1。Therefore，存在一個正整數x，使得x mod m = a 并且 x mod n = b；即寫成x = pm + a, x = qn + b。這里p和q是兩個整數。

　　證明：

首先考慮n個整數

　　　　　　　　a, m + a, 2*m + a, 3*m + a, ... , (n - 1)*m + a;

這些整數中每個數除以m都余a。設其中兩個除以n有相同的余數r。令這兩個數為i*m + a, j*m + a。(0 <= i < j <= n - 1)。因此，存在兩個整數qi, qj使得

　　　　　　　　i * m + a = qi * n + r??? ---------- (1)

　　　　　　　　j * m + a = qj * n + r??? -----------(2)

整理得

　　　　　　　　(j - i)*m = (qj - qi)*n??? ------------(3)

　　從(3)式可以看出n是(j - i)*m的因子，因為n和m互素。所以n是(j - i)的因子。然而 0 <= i < j <= n - 1 即 0 < j - i <= n - 1，也就是說n不可能是j - i的因子。這和之前的假設：n個整數a, m + a, 2*m + a, 3*m + a, ... , (n - 1)*m + a;中有兩個除以n會有相同的余數。因此可以確定：這n個數中每一個除以n都有不同的余數。根據鴿巢原理：n個數，0，1，...，n - 1中的每一個數作為余數都要出現；特別的數b也會出現。令p為整數，滿足0 <= p <= n - 1 ，且使數x = pm + a 除以n的余數為b。則對于某個特定的數q：

　　　　　　　　x = q*n + b

到此得證中國剩余定理。

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鴿巢原理的加強形式

　　定理: 令q₁， q₂, q₃, ...., q_n為正整數。如果將 q₁， q₂, q₃, ...., q_n - n + 1 個物體放到n個盒子中，則存在一個i，使得第i個盒子至少含有q_i個物品 ；

　　證明: 假設將q₁， q₂, q₃, ...., q_n - n + 1個物品分別放到n個盒子里。如果每一個i (i = {1, 2, ..n})，第i個盒子中放少于q_i 個物品，則所有盒子所放物品的總數不超過

　　　　　　　　(q₁ - 1) + (q₂ - 1) + ... + (q_n - 1) = q₁ + q₂ + ... + q_n - n

　顯然，比所要放的總數少一個。因此可以確定，對某個i (i = {1, 2, .. n})，第i個盒子至少包含q_i個物品。

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轉載于:https://www.cnblogs.com/vongang/archive/2012/03/29/2423723.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的鸽巢原理 学习笔记的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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