1 一致收斂很重要, 但可惜的是很多時候不一致收斂. 比如 $$\bex f_n(x)=x^n\to f(x)=\sedd{\ba{ll} 0,&x\in [0,1)\\ 1,&x=1 \ea},\quad x\in [0,1]; \eex$$ 但 $f_n$ 在 $[0,1-\delta]$ 上一致收斂! ? ?

本節的內容就是把這種現象普適化. ? ?

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2 (Egrov 定理) 設 ?

????(1) $mE<\infty$;?

????(2) $\ae$ 有限的可測函數列 $\sed{f_n}$ $\ae$ 收斂于 $\ae$ 有限的函數 $f$. ?則 $$\bex \forall\ \delta>0,\ \exists\ E_\delta\subset E,\ mE_\delta<\delta,\st f_n\rightrightarrows f\mbox{ 于 }E\bs E_\delta\mbox{ 上}. \eex$$?

????證明: 作 $$\bex E_0=\cup_{n=0}^\infty E[|f_n|=+\infty]\cup E[|f|=+\infty], \eex$$?

????????則 $mE_0=0$. 用 $E\bs E_0$ 替換 $E$, 不妨設 $$\bex f_n,f\mbox{ 是有限函數};\quad f_n\to f,\ae \mbox{ 于 }E. \eex$$?

????????于是 $$\beex \bea &\quad 0=m\sez{\lim_{n\to\infty}|f_n-f|\neq 0\mbox{ 或極限不存在}}\\ &\quad\ \,=m\sex{\cup_{k=1}^\infty ? ? \cap_{N=1}^\infty ? ? \cup_{n=N}^\infty E\sez{|f_n-f|\geq \frac{1}{k}}}\\ &\ra \forall\ k\in\bbZ^+,\ m\sex{\cap_{N=1}^\infty ? ? \cup_{n=N}^\infty E\sez{|f_n-f|\geq \frac{1}{k}}}=0\\ &\ra \forall\ k\in\bbZ^+,\ \lim_{N\to\infty} m\sex{\cup_{n=N}^\infty E\sez{|f_n-f|\geq\frac{1}{k}}}=0\\ &\ra \forall\ k\in\bbZ^+,\ ? ? \forall\ \delta>0,\ \exists\ N_k\in\bbZ^+,\ m\sex{\cup_{n=N_k}^\infty E\sez{|f_n-f|\geq \frac{1}{k}}}<\frac{\delta}{2^k}\\ &\ra \forall\ \delta>0,\ m\sex{\cup_{k=1}^\infty \cup_{n=N_k}^\infty E\sez{|f_n-f|\geq\frac{1}{k}}}<\sum_{k=1}^\infty \frac{\delta}{2^k}=\delta\\ &\ra E_\delta=\cap_{k=1}^\infty \cap_{n=N_k}^\infty E\sez{|f_n-f|<\frac{1}{k}}\mbox{ 為所求}. \eea \eeex$$ ? ? ? ? ? ?

?

3 Egrov 定義的意義: $$\bex \ae\mbox{ 收斂}\ra \mbox{``基本上'' 一致收斂}. \eex$$ ? ? ? ? ? ?

?

4 注記: ?

????(1) $mE=+\infty$ 時, Egrov 定理不成立. 比如 ? ? $$\bex ? ? f_n(x)=\chi_{[n,n+1]}(x),\quad x\in E=\bbR. ? ? \eex$$?

????(2) Egrov 定理的逆定理在 $mE\leq+\infty$ 時成立. 這是作業. ? ??

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5 Egrov 定理的推廣: 設 ?

????(1) $mE<+\infty$;?

????(2) $\ae$ 有限的可測函數列 $\sed{f_n}$ $\ae$ 收斂于 $+\infty$. ?則 $$\bex \forall\ \delta>0,\ \exists\ E_\delta\subset E,\ mE_\delta<\delta,\st f_n\rightrightarrows +\infty,\mbox{ 于 }E\bs E_\delta\mbox{ 上}. \eex$$?

????????這是課堂練習. ? ?

? ? ? ? ? ?

6 作業: Page 94 T 7.?

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轉載于:https://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3549157.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[实变函数]4.2 Egrov 定理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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