轉自：http://blog.csdn.net/hongjuntu123/article/details/8743266

有這樣一個函數f(n),對于任意正整數n,它表示從 0 到 n 之間出現“1”的個數,比如 f(1) = 1, f(13) = 6,請列出從 1 到 1234567890 中所有的 f(n) = n 的n, 要求準確快速.

?

相信很多人都能立刻得出以下的解法：

??for(n:N)

??{

??????????判斷n包含1的個數；

??????????累加計數器；

??}

這是最直接的解法，但遺憾的是，時間復雜程度為O(N*logN)。因為還需要循環判斷當前的n的各位數，該判斷的時間復雜程度為O(logN)。

接下來就應該思考效率更高的解法了。說實話，這道題讓我想起另外一道簡單的算法題：

N為正整數，計算從1到N的整數和。

很多人都采用了循環求解。然后利用初等數學知識就知道S=N*(N+1)/2，所以用O(1)的時間就可以處理。

再回到本道題目，同理應該去尋找到結果R與N之間的映射關系。

分析如下：

假設N表示為a[n]a[n-1]...a[1]，其中a[i](1<=i<=n)表示N的各位數上的數字。

c[i]表示從整數1到整數a[i]...a[1]中包含數字1的個數。

x[i]表示從整數1到10^i - 1中包含數字1的個數，例如，x[1]表示從1到9的個數，結果為1；x[2]表示從1到99的個數，結果為20；

當a[1]=0時，c[1] = 0;

當a[1]=1時，c[1] = 1;

當a[1]>1時，c[1] = 1;

?

當a[2]=1時，c[2] = a[1] +1+ c[1] + x[1];

當a[2]>1時，c[2] = a[2]*x[1]+c[1]+10;

?

當a[3]=1時，c[3] = a[2]*a[1] +1+ c[2] + x[2];

當a[3]>1時，c[3] = a[3]*x[2]+c[2]+10^2;

......

?

以此類推

當a[i]=1時，c[i] = a[i-1]*...*a[1] +1+ c[i-1]+x[i-1];

當a[i]>1時，c[i] = a[i]x[i-1]+c[i-1]+10^(i-1);

?

?

實現的代碼如下：

?

Java代碼?

public?static?int?search(int?_n)??????

{??????

????int?N?=?_n/10;??????

????int?a1?=?_n%10,a2;??????

????int?x?=?1; ??

????int?ten?=?10; ??

????int?c?=?a1?==?0?0:1; ??

????while(N?>?0)??????

????{??????

????????a2?=?N%10; ??

????????if(a2?==?0); ??

????????else?if(a2?==?1)c?=?a1?+?1?+?x?+?c;??????

????????else?c?=?a2*x?+?c?+?ten;??????

????????a1?=?10*a1?+?a2;????????

????????N?/=10;??????

????????x?=?10*x?+?ten; ??

????????ten?*=?10;????

????}??????

????return?c;??????

}??

?

?

而以上解法的時間復雜程度只有O(logN)

?

?

?

?

?

?

/

編程之美之1的數目

2010/09/07?異淚?技術?309views |?Go to comment

1 的數目

給定一個十進制正整數 N，寫下從 1 開始，到 N 的所有整數，
然后數一下其中出現的所有“1”的個數。
例如：
N= 2，寫下 1，2。這樣只出現了 1 個“1”。
N= 12，我們會寫下 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12。這樣，1的個數是 5。
問題是：
寫一個函數f(N) 返回1到N之間出現的“1”的個數,比如f(12)=5。

這個問題看上去并不是一個困難的問題，因為不需要太多的思考，大家都能找到一個最簡單的方法來計算 f（N），那就
是從1開始遍歷到N,將其中每一個數中含有“1”的個數加起來，
自然就得到了從1到N所有“1”的個數的和.C語言實現如下:

#include<stdio.h>
int?Count1(int?n)
{
????int?iNum=0;
????while(n!=0)
????{
????????iNum+=(n%10==1)?1:0;
????????n/=10;
??????????????
????}
????return?iNum;
}

int?Count2(int?n)
{
????int?iCount=0;
????for(int?i=0;i<=n;i++)
????{
????????iCount+=Count1(i);
????}?
????return?iCount;?
}

int?main()
{
?????int?x;
?????scanf("%d",&x);
?????printf("%d",Count2(x));
?????return?0;
}

但是這個算法的致命問題是效率，它的時間復雜度是O（N）×計算一個整數數字里面“1”的個數的復雜度 = O（N *log2 N）,如果給定的 N 比較大，則需要很長的運算時間才能得到計算結果。我試著輸入100000000,一共用了大概12秒,貌似有點長,不夠比作者說的40S快多了,作者的電腦有點舊…….- .-

解法二

<編程之美>先從一些簡單的情況開始觀察:

如果N是一位數,可以確定f(N)=1

如過是二位數,如果 N=13，那么從 1 到 13 的所有數字：1、2、3、4、5、6、
7、8、9、10、11、12、13，個位和十位的數字上都可能有 1，我們可以將它們分開來考慮，個位出現 1 的次數有兩次：1 和 11，十位出現 1 的次數有 4 次：10、11、12 和 13，所以 f（N）=2+4=6。要注意的是 11 這個數字在十位和個位都出現了 1， 但是 11 恰好在個位為 1 和十位為 1 中被計算了兩次，所以不用特殊處理，是對的。再考慮 N=23 的情況，它和 N=13 有點不同，十位出現 1 的次數為 10 次，從 10 到 19，個位出現 1 的次數為 1、11 和 21，所以f（N）=3+10=13。通過對兩位數進行分析，我們發現，個位數出現 1 的次數不僅和個位數字有關，還和十位數有關：如果 N 的個位數大于等于 1，則個位出現 1 的次數為十位數的數字加 1；如果N 的個位數為 0，則個位出現 1 的次數等于十位數的數字。而十位數上出現 1 的次數不僅和十位數有關，還和個位數有關：如果十位數字等于 1，則十位數上出現 1 的次數為個位數的數字加 1；如
果十位數大于 1，則十位數上出現 1 的次數為 10。
f(13) = 個位出現1的個數 + 十位出現1的個數 = 2 + 4 = 6；
f(23) = 個位出現1的個數 + 十位出現1的個數 = 3 + 10 = 13；
f(33) = 個位出現1的個數 + 十位出現1的個數 = 4 + 10 = 14；
…
f(93) = 個位出現1的個數 + 十位出現1的個數 = 10 + 10 =
20；

接著分析 3 位數,

如果 N = 123：

個位出現 1 的個數為 13：1, 11, 21, …, 91, 101, 111, 121
?十位出現 1 的個數為 20：10～19, 110～119
?百位出現 1 的個數為 24：100～123

?f（23）= 個位出現 1 的個數 + 十位出現 1 的個數 + 百位出現 1 的次數 = 13 + 20 + 24 = 57；同理我們可以再分析 4 位數、 位數。???根據上面的一些嘗試，下面我們推導出一般情況下，從 N 得
到 f（N）的計算方法：?假設 N=abcde，這里 a、b、c、d、e 分別是十進制數 N 的各個數位上的數字。如果要計算百位上出現 1 的次數，它將會受到三個因素的影響：百位上的數字，百位以下（低位）的數字，百
位（更高位）以上的數字。如果百位上的數字為 0，則可以知道，百位上可能出現 1 的次
數由更高位決定，比如 12 013，則可以知道百位出現 1 的情況可能
是 100～199，1 100～1 199，2 100～2 199，…，11 100~11 199，
一共有 1 200 個。也就是由更高位數字（12）決定，并且等于更高
位數字（12）×當前位數（100）。

如果百位上的數字為 1，則可以知道，百位上可能出現 1 的次數不僅受更高位影響，還受低位影響，也就是由更高位和低位共同決定。例如對于 12 113，受更高位影響，百位出現 1 的情況是 100～199，1 100～1 199，2 100～2 199，…，11 100~11 199，一共 1 200個，和上面第一種情況一樣，等于更高位數字（12）×當前位數（100）。但是它還受低位影響，百位出現 1 的情況是 12 100～12 113，一共114 個，等于低位數字（123）+1。?如果百位上數字大于 1（即為 2~9），則百位上可能出現 1的次數也僅由更高位決定，比如 12 213，則百位出現 1 的可能性為：100～199，1 100～1 199，2 100～2 199，…，11 100～11 199，12 100～12 199，一共有 1 300 個，并且等于更高位數字+1（12+1）
×當前位數（100）。通過上面的歸納和總結，我們可以寫出如下的更高效算法來
計算 f（N）：

#include<stdio.h>
int?Sumls(int?n)
{
????int?iCount=0,iFactor=1,iLowerNum=0,iCurrNum=0,iHigherNum=0;
????while(n/iFactor!=0)
????{
????????iLowerNum=n-(n/iFactor)*iFactor;
????????iCurrNum=(n/iFactor)%10;
????????iHigherNum=n/(iFactor*10);
???????
????????switch(iCurrNum)
????????{
????????????case?0:
????????????????iCount+=iHigherNum*iFactor;
????????????????break;
????????????case?1:
????????????????iCount+=iHigherNum*iFactor+iLowerNum+1;
????????????????break;
????????????default:
????????????????iCount+=(iHigherNum+1)*iFactor;
????????????????break;
???????????????????????
????????}
????????iFactor*=10;
???????
????}
????return?iCount;?
}

int?main()
{
????int?x;
????scanf("%d",&x);???
????printf("%d",Sumls(x));
????return?0;
}

我試著輸入100000000瞬間就顯示出結果了,編程之美說效率至少提高了40000倍…

轉載于:https://www.cnblogs.com/vipwtl/p/5366877.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的编程之美计算0到N中包含数字1的个数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。