極點

• In?mathematics, an?extreme point?of a?convex set?S?in a real?vector space?is a point in S which does not lie in any open?line segment?joining two points of?S. Intuitively, an extreme point is a "vertex" of?S. 引用

  Affine space

• In mathematics, an affine space is a geometric structure that generalizes the properties of Euclidean spaces that are independent of the concepts of distance and measure of angles, keeping only the properties related to parallelism and ratio of lengths for parallel line segments.
  引用

  凸集

• In convex geometry, a convex set is a subset of an affine space that is closed under convex combinations.[1] More specifically, in a Euclidean space, a convex region is a region where, for every pair of points within the region, every point on the straight line segment that joins the pair of points is also within the region. 引用
  
  所以線性函數(shù)組成的集合也是凸集

  極方向

  
  
  

  凸規(guī)劃

  線性規(guī)劃部分性質(zhì)

• 線性規(guī)劃的可行域是凸集。
• 矩陣Ax=b的通解對應(yīng)于可行解區(qū)域的極點。

• 若多面集S={x|Ax=b,x>=0}非空，則存在有限個極點。

  單純形法

  基本思想：

  從一個基本可行解出發(fā)，求一個使目標(biāo)函數(shù)值有所改善的基本可行解；通過不斷改進(jìn)基本可行解，力圖達(dá)到最優(yōu)基本可行解。

  大概步驟：

  先求解一個基本解，然后通過將基本解中的一個變量和自由變量替換看能否減小目標(biāo)函數(shù)值，不斷迭代。

  收斂性：

  對于非退化問題，單純形方法經(jīng)有限次迭代或達(dá)到最優(yōu)基本可行解，或得出無界的結(jié)論。

對偶

線性規(guī)劃中的對偶理論：

- 對稱形式的對偶（約束只含有不等式） - 非對稱形式的對偶（約束只含有等式，轉(zhuǎn)化為1進(jìn)行對偶） - 一般情形（通過添加變量轉(zhuǎn)化為1進(jìn)行對偶）

性質(zhì)：

• 極小化問題給出極大化問題的目標(biāo)函數(shù)值的上界；極大化問題給出極小化問題的目標(biāo)函數(shù)值的下界。
• 若原問題和對偶問題中有一個問題存在最優(yōu)解，則另一個問題也存在最優(yōu)解，且兩個問題的目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值相等。

非線性規(guī)劃對偶：

拉格朗日對偶：

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今天的任務(wù)一個也沒有完成，看了許多基礎(chǔ)知識，5,17號盡量彌補(bǔ)回來吧。

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總結(jié)

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