題目描述

給你n個flag，你要把每個染色成紅黑白黃四色之一，滿足： 1.相鄰旗不能同色 2.白不能和黃相鄰，紅不能和黑相鄰 3.不能存在連續三個球依次是“黑白紅”或“紅白黑” 4.翻轉后相等視為等價 設不等價方案數為f(n)，給定l,r，求 Sigma f(i),其中L<=i<=R模1000000007

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輸入兩個數l,r l, r ≤ 10^9

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3 4

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23

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題解

矩陣乘法

容易設出dp狀態 $f[i][j][k]$ 表示前 $i$ 個flag，最后一個的顏色為 $j$ ，倒數第二個的顏色為 $k$ 的方案數。

顯然這個dp方程可以使用矩陣乘法來加速轉移，并使用計數器維護前綴和。

至于翻轉后相等視為等價的問題，易知：答案=(總方案數+翻轉后與原來相等的方案數)/2。于是求出反轉后與原來相等的方案數即可。

容易發現偶數長度的中間兩個一定相同，因此不存在偶數長度的回文串。

對于奇數長度，發現題目條件的限制是對稱的（AB<=>BA，ABC<=>CBA），因此某長度為 $2k-1$ 的奇數長度回文串的個數即為長度為 $k$ 的串的個數。再次求 $\lceil\frac n2\rceil$ 的答案即可。

最后前綴相減即為最終答案。

時間復雜度 $O(9^3\log n)$

#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #define mod 1000000007 using namespace std; typedef long long ll; struct data {ll v[9][9];data() {memset(v , 0 , sizeof(v));}ll *operator[](int a) {return v[a];}data operator*(data &a){data ans;int i , j , k;for(i = 0 ; i <= 8 ; i ++ )for(j = 0 ; j <= 8 ; j ++ )for(k = 0 ; k <= 8 ; k ++ )ans[i][j] = (ans[i][j] + v[i][k] * a[k][j]) % mod;return ans;} }A; data pow(data x , int y) {data ans;int i;for(i = 0 ; i <= 8 ; i ++ ) ans[i][i] = 1;while(y){if(y & 1) ans = ans * x;x = x * x , y >>= 1;}return ans; } void init() {int i;for(i = 0 ; i <= 8 ; i ++ ) A[i][0] = 1;A[1][5] = A[1][7] = 1;A[2][5] = A[2][7] = 1;A[3][6] = A[3][8] = 1;A[4][6] = A[4][8] = 1;A[5][1] = A[5][3] = 1;A[6][1] = A[6][3] = 1;A[7][2] = 1;A[8][4] = 1; } ll calc(int x) {if(!x) return 0;data T = pow(A , x - 1);ll ans = T[0][0] * 4;int i;for(i = 1 ; i <= 8 ; i ++ ) ans += T[i][0];return ans % mod; } int main() {int l , r;scanf("%d%d" , &l , &r) , l -- ;init();printf("%lld\n" , ((calc(r) + calc((r + 1) / 2) - calc(l) - calc((l + 1) / 2)) * 500000004 % mod + mod) % mod);return 0; }

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轉載于:https://www.cnblogs.com/GXZlegend/p/7886580.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【bzoj5082】弗拉格 矩阵乘法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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