題目描述

給定 \(n,k\) ，求有多少個三元組 \((a,b,c)\) 滿足 \(1≤a≤b≤c≤n\)且\(a + b^2 ≡ c^3\ (mod\ k)\)。

輸入

多組數據，第一行數據組數\(T\)。
每組數據兩個整數，\(n\)和\(k\)。

輸出

\(T\)行，每行一個整數，表示滿足條件的三元組的個數。

樣例

樣例輸入

1 10 7

樣例輸出

27 //為什么老被和諧啊

數據范圍

\(1≤n,k≤10^5\)
\(T≤400\)
時間限制\(4s\)

題解

與其他學校互測，然后做題感覺很不友好……
這道題數據很有特點（哪里很有特點了），\(10^5\)顯然是一個象征性的數字，它意味著\(O(n\ log\ n)\)是可以過的（這么大的\(T\)被無視了啊）。
那么很自然的想到，這個式子并沒有什么規律（我也很無奈啊），我們可以考慮枚舉\(a,b,c\)中的\(1\)個。
但是我們選擇哪一個比較好呢？容易想到，應該是\(c\)，它的次數最高，不易計算。

接下來考慮一個簡化的問題，如果不取余\(k\)，該怎么辦？
對于一個數\(b\)，由于\(1≤a≤b\)，顯然\(c^3\)只有在\([b^2+1,b^2+b]\)范圍內才有解，而且是唯一解。
所以每一個\(b\)可以為在\([b^2+1,b^2+b]\)的\(c^3\)提供一個解，這不就是區間增加一個值嗎？樹狀數組即可做到。

再考慮取余\(k\)時，發現情況如出一轍，一樣的做就可以了。唯一一個問題就是，\([b^2+1,b^2+b]\)可能長度超過了\(k\)。
這時能發現長度超過\(k\)后完全覆蓋了所有區域，任何一個\(c\)都可以使用這個\(b\)，我們只需要一個計數器\(count\)，每次增加\(\left \lfloor\frac{b}{k}\right \rfloor\)。

現在，這道題的解法就呼之欲出了。我們從小到大枚舉\(c\)，先在樹狀數組\((tree)\)中\([c^2+1,c^2+c]\)的區間加上\(1\)，并更新\(count\)，答案就等于\(tree[c^3\%k]+count\)。時間復雜度為\(O(Tn\ log\ n)\)（再說一次請無視\(T\)的大小）

\(Code:\)

#include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define N 100005 #define ll long long int T, n, mod; ll ans, now, t[N]; void update(int x, int v) {for (int i = x; i <= mod; i += i & -i)t[i] += v; } ll getsum(int x) {ll ans = 0;for (int i = x; i; i -= i & -i)ans += t[i];return ans; } int main() {freopen("exclaim.in", "r", stdin);freopen("exclaim.out", "w", stdout);scanf("%d", &T);for (int cas = 1; cas <= T; cas++){scanf("%d%d", &n, &mod);ans = now = 0;memset(t, 0, sizeof(t));for (int i = 1; i <= n; i++){int l =(1ll * i * i + 1)% mod + 1, r =(1ll * i * i + i)% mod + 1;if (l <= r)update(l, 1), update(r + 1, -1);elseupdate(1, 1), update(r + 1, -1), update(l, 1);int c = 1ll * i * i % mod * i % mod;now +=(i - 1)/ mod;ans += getsum(c + 1) + now;}printf("Case %d: ", cas);cout << ans;putchar(10);} }

最后的吐槽：\(exclaim\)并不是三元組的意思，是驚叫的意思……至于為什么，我也不知道……

轉載于:https://www.cnblogs.com/ModestStarlight/p/8528555.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的「模拟赛20180307」三元组 exclaim 枚举+树状数组的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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