一時(shí)興起，就有了這篇博客。本人也學(xué)識(shí)淺薄，姑且講一下我對(duì)于圓反演的一些皮毛之見。

首先我們要明白反演是什么：

反演是一種基本的幾何變換。給定一個(gè)平面上的一個(gè)反演中心$O$和一個(gè)常數(shù)$k$，對(duì)于任意一個(gè)點(diǎn)$A(A \neq O)$，我們可以找到一個(gè)在直線$OA$上的點(diǎn)$A'$，使得線段$OA,OA'$的有向長(zhǎng)度的乘積為$k$，那$A'$就是$A$關(guān)于$O$的反演點(diǎn)，可以證明這樣的$A'$是唯一的。我們稱$A->A'$的這種變換為反演，我們也可以把它看成一種映射，而且是雙射。

點(diǎn)有關(guān)于圓的反演：

給定一個(gè)平面上的一個(gè)圓，其圓心為$O$，半徑為$r_0$，對(duì)于任意一個(gè)點(diǎn)$A(A \neq O)$，我們同樣可以找到一個(gè)在直線$OA$上的點(diǎn)$A'$，使得線段$OA, OA'$的有向長(zhǎng)度之積為常數(shù)${r_0}^2$，那$A'$就是$A$關(guān)于圓$O$的反演點(diǎn)，同樣這樣的$A'$是唯一的。

接下來(lái)我們討論的問(wèn)題都將圍繞一個(gè)反演中心展開，所以我們用反演變換$f$來(lái)表示關(guān)于圓$O$的反演，這里我們有$f(A) = A'$。

直線關(guān)于圓的反演：

直線$A$關(guān)于圓$O$的反演$A'$就是$\{ f(P) | P \in A \}$，通俗地講就是把直線上的點(diǎn)都做反演后點(diǎn)的集合，很明顯這也是一個(gè)雙射。

我們首先說(shuō)一下結(jié)論：

當(dāng)直線$A$過(guò)點(diǎn)$O$時(shí)，$A' = A$。

當(dāng)直線$A$不過(guò)點(diǎn)$O$時(shí)，$A'$是一個(gè)圓，且$A'$始終過(guò)點(diǎn)$O$。當(dāng)$A$與圓$O$相交時(shí)，$A'$與圓$O$相交；當(dāng)$A$與圓$O$相切時(shí)，$A'$內(nèi)切與圓$O$；當(dāng)$A$與圓$O$相離時(shí)，$A'$內(nèi)含與圓$O$。

第一句話比較簡(jiǎn)單，不做累述，接下來(lái)主要證明第二句話，并會(huì)給出$A'$的具體的位置。（不會(huì)畫圖，大家自己腦補(bǔ)）

方便起見，我們假設(shè)圓$O$是一個(gè)單位圓（這個(gè)并沒有關(guān)系，圖是可以縮放的），直線$A$為$x = a(a \neq 0)$。

設(shè)$A$上任意一個(gè)的點(diǎn)$P(a, y_1)$，$dis(P, O) = \sqrt{ a^2 + {y_1}^2 }$，由相似得$P' = f(P) = ( \frac{a}{a^2 + {y_1}^2} , \frac{y_1}{a^2 + {y_1}^2} )$。

這里點(diǎn)$P'$的軌跡中只有$y_1$一個(gè)變量。我們要證明$P'$的軌跡是一個(gè)圓，即我們想要得到$P'(x,y)$中$x,y$的關(guān)系式。

根據(jù)$P'$的坐標(biāo)有：$(1) x =?\frac{a}{a^2 + {y_1}^2}? \qquad (2) y_1 x = a y $

聯(lián)立$(1)(2)$消掉$y_1$后即可得：$ x^2 - \frac{1}{a}x + y^2 = 0 $

可以寫成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$ (x - \frac{1}{2a})^2 + y^2 = (\frac{1}{2a})^2 $

?所以可以知道$A'$的圓心位于$(\frac{1}{2a}, 0)$，半徑為$\frac{1}{2a}$，所以說(shuō)$A'$始終過(guò)點(diǎn)$O$。很容易看出，當(dāng)$a = 1$時(shí)，直線$A$與圓$O$相切，此時(shí)圓$A'$也內(nèi)切與圓$O$；其他兩種情況也可以得到證明。

圓有關(guān)于圓的反演：

圓$A$關(guān)于圓$O$的反演也定義為$\{ f(P) | P \in A \}$。

我們先闡明結(jié)論：

當(dāng)圓$A$過(guò)點(diǎn)$O$時(shí)，$A'$會(huì)退化成一條直線，可以看做上一部分直線關(guān)于圓的反演的逆變換。

當(dāng)圓$A$不過(guò)點(diǎn)$O$時(shí)，$A'$是一個(gè)圓。當(dāng)$A$與圓$O$相交時(shí)，$A'$也與圓$O$相交；當(dāng)$A$與圓$O$外（內(nèi)）切時(shí)，$A'$與圓$O$內(nèi)（外）切；當(dāng)$A$與圓$O$相離（內(nèi)含）時(shí)，$A'$與圓$O$內(nèi)含（相離）。

第一句話我們已經(jīng)討論過(guò)了就不做累述。我們仿照上一部分，對(duì)此第二句話進(jìn)行簡(jiǎn)要證明。

同樣假設(shè)圓$O$是一個(gè)單位圓，圓$A$的圓心在$(a, 0)$，半徑是$r(r \neq a)$。

設(shè)$A$上的任意一點(diǎn)$P(x_1, y_1)$，故有方程：$(1)?(x_1 - a)^2 + {y_1}^2 = r^2 $

同樣可以得到$P' = f(P) = (\frac{x_1}{ {x_1}^2 + {y_1}^2 }, \frac{y_1}{ {x_1}^2 + {y_1}^2 } )$

根據(jù)$P'$坐標(biāo)得到方程：$ (2) x =?\frac{x_1}{ {x_1}^2 + {y_1}^2 } \qquad (3) y_1 x = x_1 x?$

聯(lián)立方程$(1)(2)(3)$消去$x_1,y_1$可以得到一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$(x + \frac{a}{r^2 - a^2})^2 + y^2 = (\frac{r}{r^2 - a^2})^2$

顯然$A'$是一個(gè)圓，圓心和半徑都能知道了。讀者們可以自行驗(yàn)證是否滿足結(jié)論中第二句話所述的三種情況。

圓反演的性質(zhì)與應(yīng)用：

有幾個(gè)需要知道的事實(shí)：

兩對(duì)不共線的互反點(diǎn)四點(diǎn)共圓。（證明可以先得到相似，再得到對(duì)角互補(bǔ)）

兩個(gè)外切的圓在分別反演后仍外切（如果切點(diǎn)恰好是反演中心，則反演后為兩平行線），對(duì)于內(nèi)切、相交、相離、內(nèi)含的情況也是一樣。這個(gè)同樣適用于圓和直線的關(guān)系上。（因?yàn)樵械慕稽c(diǎn)在反演后仍是交點(diǎn)，由于反演是可逆的，不會(huì)產(chǎn)生額外的交點(diǎn)）

關(guān)于圓的反演變換是幾何中一個(gè)常用技巧，其通常可以把圓上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直線上的問(wèn)題，在多圓問(wèn)題中尤顯其強(qiáng)大之處。

$\star$ 一道例題。給定兩個(gè)圓$A,B$和一個(gè)不在$A,B$上的點(diǎn)$P$，求出所有過(guò)點(diǎn)$P$的圓，滿足與$A,B$分別相切。

直接做好像沒什么辦法，我們考慮利用反演變換。以$P$為圓心任意半徑做一個(gè)圓，然后分別做出$A,B$關(guān)于圓$P$的反演$A',B'$，可以得到$A',B'$的公切線，把公切線反演回去就是所求的圓。做法很簡(jiǎn)單，原因也很簡(jiǎn)單，由于要求的是過(guò)點(diǎn)$P$的圓，相當(dāng)于是要求反演后的一條直線，并且這條直線要與反演后的$A,B$相切。

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參考資料：

• 知乎zdr0的專欄?https://zhuanlan.zhihu.com/p/55834403

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/Dance-Of-Faith/p/10352838.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【科技】浅谈圆的反演的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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