漫山遍野都是fake的光影。

題目

[LGP4859] 已經沒有什么好害怕的了

給定兩個長度為n的數組a和b，將a中元素與b中元素配對，求滿足ai>bj的配對(i,j)個數減去滿足ai<bi的配對(i,j)個數恰好為k的方案數，保證ab中無重復元素。

[某年NOI歡樂賽] 決斗

給定兩個長度為n的數組a和b，將a中元素與b中元素隨機配對，求滿足ai≥bj的配對(i,j)個數k次方的期望。

題解

對于前一個問題，我們轉換為求滿足ai>(≥)bj的配對(i,j)恰好為k=(n+k)/2的方案數。這樣就能與第二個問題形式上保持一致。稱這樣配對的配對為“配對”（霧）。

其次將ab從小到大排序，然后依次為a數組配對，設f[i,j]表示前i個位置上確定了j個“配對”的方案數（跳過剩下的i-j對不為“配對”的配對的轉移），w[i]表示滿足bj≤ai的最大的j，有轉移 f[i,j]=f[i-1,j]+f[i-1,j-1]*(w[i]-j+1)。后邊那個系數其實是(w[i]-w[i-1])+(w[i-1]-(j-1))得來的。

如果你有興趣嘗試dp前i個位置上恰好有j個配對，會發現不為“配對”的情況根本dp不動。

考慮對f[n,i]統一確定剩下的(n-i)個配對，記g[i]=f[n,i]*(n-i)!。顯然g[i]的統計是有重復的。具體的，設h[i]為恰好有i個“配對”的方案數，h[i]在g[j]中被統計C(i,j)次，其中i≥j。

即g[i]=Σ[j≥i] h[j]*C(j,i)，移項得h[i]=g[i] Σ[j>i] h[j]*C(j,i)，可以遞推求解了。

后一個問題的后續操作已經不重要了你說是吧

參考實現

#include <bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std; const int N=2019; const int mod=1e9+9;int n,K,a[N],b[N],w[N],f[N][N],c[N][N];int main() {scanf("%d%d",&n,&K);for(int i=1; i<=n; ++i) scanf("%d",a+i);for(int i=1; i<=n; ++i) scanf("%d",b+i);if((n+K)&1) {puts("0");return 0;}K=(n+K)/2;sort(a+1,a+n+1);sort(b+1,b+n+1);for(int i=1,j=0; i<=n; ++i) {while(j<n&&b[j+1]<=a[i]) ++j;w[i]=j;}for(int i=0; i<=n; ++i) {c[i][0]=1;for(int j=1; j<=i; ++j)c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;}f[0][0]=1;for(int i=1; i<=n; ++i) {f[i][0]=f[i-1][0];int J=min(i,w[i]);for(int j=1; j<=J; ++j) f[i][j]=(f[i-1][j]+(ll)f[i-1][j-1]*(w[i]-j+1)%mod)%mod;for(int j=J+1; j<=i; ++j)f[i][j]=f[i-1][j];}int fc=1;for(int i=n; i>=K; --i) {w[i]=(ll)f[n][i]*fc%mod;for(int j=i+1; j<=n; ++j) w[i]=(w[i]+mod-(ll)w[j]*c[j][i]%mod)%mod;fc=(ll)fc*(n-i+1)%mod;}printf("%d\n",w[K]);return 0; }

轉載于:https://www.cnblogs.com/nosta/p/11174462.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[LGP4859,...] 一类奇怪的容斥套DP的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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