本文可配合本人錄制的視頻一起食用。

引言

最近我在學(xué)可視化的東西，借此來(lái)鞏固一下學(xué)習(xí)的內(nèi)容，向量運(yùn)算是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的基礎(chǔ)，這個(gè)例子就是向量的一種應(yīng)用，是利用向量來(lái)計(jì)算點(diǎn)到線段的距離，這個(gè)例子中可視化的展示采用Canvas2D來(lái)實(shí)現(xiàn)。

說(shuō)起向量，當(dāng)時(shí)一看到這個(gè)詞，我是一種很模糊的記憶；這些是中學(xué)學(xué)的東西，感覺(jué)好像都還給老師了。然后又說(shuō)起了向量的乘法，當(dāng)看到點(diǎn)積、叉積這兩個(gè)詞，我才猛然想起點(diǎn)乘和叉乘；但整體上還是模模糊糊的，不太記得兩者具體的定義了；就找資料快速過(guò)了一遍吧。

因?yàn)楸疚闹胁簧婕跋蛄康幕A(chǔ)知識(shí)；如果有跟我一樣遺忘的小伙伴，可以找點(diǎn)視頻回憶一下，或者是找點(diǎn)資料看下。

題面

首先本次的例子中要獲取兩個(gè)值，一個(gè)是點(diǎn)到線段的距離，另一個(gè)是點(diǎn)到線段所在直線的距離。

假設(shè)存在一個(gè)線段AB，以及一個(gè)點(diǎn)C；則他們之前的位置可能有三種情況：

• 點(diǎn)C在線段AB左側(cè)

• 點(diǎn)C在線段AB的上方或下方

• 點(diǎn)C在線段AB的右側(cè)

在第一種和第三種情況下，點(diǎn)C到線段AB的距離為點(diǎn)C到點(diǎn)A或點(diǎn)B的距離，即向量AC或向量BC的長(zhǎng)度。

在第二種情況下，點(diǎn)C到線段AB和到線段AB所在直線的距離是一樣的，這個(gè)時(shí)候，我們就可以利用向量的乘法來(lái)解決這個(gè)距離的計(jì)算。

這個(gè)例子給的思路是利用向量的乘法，因?yàn)橄蛄坎娉说膸缀我饬x就是平行四邊形的面積，已知底邊長(zhǎng)度，也就是線段AB的長(zhǎng)度，然后就可以得出點(diǎn)C到直線的距離；但因?yàn)橐陧?yè)面上展示出來(lái)，所以我們需要求得點(diǎn)D的坐標(biāo)。

思路

一開(kāi)始我想的有點(diǎn)復(fù)雜，想要去求AB所在直線的函數(shù)方程，從而計(jì)算出點(diǎn)C是在直線的上方還是下方，雖然向量的叉乘我記得不太多了，但我依舊還記得，如果向量AB旋轉(zhuǎn)到向量CD為順時(shí)針，則向量AB叉乘向量CD的值就為正，如果是逆時(shí)針，就為負(fù)。

接著再利用叉乘和點(diǎn)乘，去計(jì)算點(diǎn)D的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)；這其實(shí)有點(diǎn)把事情搞復(fù)雜了，另外還需要去特殊處理CD和X軸平行以及Y軸平行的特殊情況。

然后我看了別人的提示才反應(yīng)過(guò)來(lái)，我們只要充分地利用向量的乘法就可以了，而不需要去求什么直線的函數(shù)方程，當(dāng)然這也就不用考慮什么特殊情況。

由上圖可知AD是AC在AB上的投影，然后我們知道投影可以通過(guò)點(diǎn)乘來(lái)求得，要求兩個(gè)向量的點(diǎn)乘，有兩種計(jì)算方式，一種是通過(guò)坐標(biāo)來(lái)計(jì)算，另一種是通過(guò)向量的模和夾角來(lái)計(jì)算；分別對(duì)應(yīng)以下兩個(gè)公式：

• AC · AB = AC.x * AB.x + AC.y * AB.y
• AC · AB = |AC| * |AB| * cosθ

因?yàn)橐阎c(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)，所以我們可以利用以上兩個(gè)公式計(jì)算點(diǎn)D的坐標(biāo)。

具體實(shí)現(xiàn)

現(xiàn)在我們就來(lái)通過(guò)Canvas來(lái)實(shí)現(xiàn)以上效果。

HTML

首先我們?cè)贖TML中先放一個(gè)Canvas標(biāo)簽。

<canvas width="512" height="512"></canvas>

CSS

然后寫(xiě)一點(diǎn)簡(jiǎn)單的CSS樣式。

canvas {
  margin: 0;
  width: 512px;
  height: 512px;
  border: 1px solid #eee;
}

JavaScript

最后我們來(lái)編寫(xiě)最重要的JavaScript代碼。

這里預(yù)先定義了一個(gè)Vector2D的類用于表示二維向量。

/*
* 定義二維向量
* */
export default class Vector2D extends Array {
    constructor(x = 1, y = 0) {
        super(x, y);
    }
    get x() {
        return this[0];
    }
    set x(value) {
        this[0] = value;
    }
    get y() {
        return this[1];
    }
    set y(value) {
        this[1] = value;
    }
    // 獲取向量的長(zhǎng)度
    get len() {
        // x、y的平方和的平方根
        return Math.hypot(this.x, this.y);
    }
    // 獲取向量與X軸的夾角
    get dir() {
        // 向量與X軸的夾角
        return Math.atan2(this.y, this.x);
    }
    // 復(fù)制向量
    copy() {
        return new Vector2D(this.x, this.y);
    }
    // 向量的加法
    add(v) {
        this.x += v.x;
        this.y += v.y;
        return this;
    }
    // 向量旋轉(zhuǎn)
    rotate(rad) {
        const c = Math.cos(rad),
            s = Math.sin(rad);
        const [x, y] = this;

        this.x = x * c - y * s;
        this.y = x * s + y * c;

        return this;
    }
    scale(length) {
        this.x *= length;
        this.y *= length;

        return this;
    }
    // 向量的點(diǎn)乘
    dot(v) {
        return this.x * v.x + this.y * v.y;
    }
    // 向量的叉乘
    cross(v) {
        return this.x * v.y - v.x * this.y;
    }
    reverse() {
        return this.copy().scale(-1);
    }
    // 向量的減法
    minus(v) {
        return this.copy().add(v.reverse());
    }
    // 向量歸一化
    normalize() {
        return this.copy().scale(1 / this.len);
    }
}

x和y分別是向量的坐標(biāo)，len獲取的是向量的長(zhǎng)度、利用了Math對(duì)象上的方法，dot和cross方法分別對(duì)應(yīng)的就是向量的點(diǎn)乘和叉乘。

接著就來(lái)編寫(xiě)功能代碼。

• 首先是獲取canvas2d的上下文，并完成坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換

  let canvas = document.querySelector('canvas'),
     ctx = canvas.getContext('2d');
  
  ctx.translate(canvas.width / 2, canvas.height / 2);
  ctx.scale(1, -1);
  

  因?yàn)楫?huà)布原始的坐標(biāo)系是以左上角為原點(diǎn)，X軸向左，Y軸向下，這不符合我們?cè)跀?shù)學(xué)中常用的配置。

  這里我們先通過(guò)translate方法把坐標(biāo)挪到畫(huà)布中心，再通過(guò)scale方法將坐標(biāo)系繞X軸翻轉(zhuǎn)；通過(guò)這樣的轉(zhuǎn)換，就可以按照我們?cè)跀?shù)學(xué)中常見(jiàn)的坐標(biāo)系來(lái)操作了。

• 然后我們來(lái)初始化三個(gè)點(diǎn)，也就是之前說(shuō)的點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C。

  坐標(biāo)可以隨便寫(xiě)，只要范圍在-256到256之間就可以。

  我這里就簡(jiǎn)單定義三個(gè)在X軸上的點(diǎn)，并維護(hù)在一個(gè)Map中，方便后續(xù)在canvas上顯示三個(gè)點(diǎn)的標(biāo)識(shí)；后面會(huì)加一個(gè)事件監(jiān)聽(tīng)來(lái)更新點(diǎn)C的坐標(biāo)。

  let map = new Map();
  let v0 = new Vector2D(0, 0),
      v1 = new Vector2D(100, 0),
      v2 = new Vector2D(-100, 0);
  map.set('C', v0);
  map.set('A', v1);
  map.set('B', v2);
  

• 然后就可以開(kāi)始繪制

  這里我們定義一個(gè)draw函數(shù)，然后調(diào)用它。

  draw();
  
  function draw() {}
  

  • 首先，為了看上去更清晰，我們可以把坐標(biāo)系繪制出來(lái)。

    因?yàn)榻酉氯ダL制的直線比較多，這里我簡(jiǎn)單封裝一個(gè)繪制直線的方法。

    function drawLine(start, end, color) {
      ctx.beginPath();
      ctx.save();
      ctx.lineWidth = '4px';
      ctx.strokeStyle = color;
      ctx.moveTo(...start);
      ctx.lineTo(...end);
      ctx.stroke();
      ctx.restore();
      ctx.closePath();
    }
    

    然后我們來(lái)繪制坐標(biāo)系。

    drawAxis();
    
    function drawAxis() {
      drawLine([-canvas.width / 2, 0], [canvas.width / 2, 0], "#333");
      drawLine([0, canvas.height / 2], [0, -canvas.height / 2], "#333");
    }
    

  • 接著我們把點(diǎn)繪制到畫(huà)布上

    for(const p of map) {
      drawPoint(p[1], p[0]);
    }
    
    function drawPoint(v, name, color='#333') {
      ctx.beginPath();
      ctx.save();
      ctx.fillStyle = color;
      ctx.arc(v.x, v.y, 2, 0, Math.PI * 2);
      ctx.scale(1, -1);
      ctx.fillText(`${name}`, v.x, 16 - v.y);
      ctx.restore();
      ctx.fill();
    }
    

    這里我們想把點(diǎn)的標(biāo)識(shí)通過(guò)fillText也繪制到畫(huà)布上，但由于之前坐標(biāo)被繞X軸翻轉(zhuǎn)過(guò)一次，所以直接繪制表示會(huì)導(dǎo)致文本是倒過(guò)來(lái)的，所以我們這里臨時(shí)把坐標(biāo)系翻轉(zhuǎn)回來(lái)，完成文本繪制后，再通過(guò)restore恢復(fù)回去。

  • 現(xiàn)在我們把線段AB也繪制出來(lái)

    drawBaseline();
    
    function drawBaseline() {
      drawLine(map.get('A'), map.get('B'), "blue");
    }
    

  • 最后就是最關(guān)鍵的一步，把點(diǎn)C到線段AB和直線的距離求出來(lái)并展示在canvas畫(huà)布上

    d為點(diǎn)C到線段AB的距離，dLine為點(diǎn)C到直線的距離；

    result存儲(chǔ)的是AC和AB的點(diǎn)乘結(jié)果；crossProduct存儲(chǔ)的是AC和AB的叉乘結(jié)果。

    根據(jù)叉乘結(jié)果，我們就可以計(jì)算出dLine的值，也就是點(diǎn)C到直線的距離。

    drawLines();
    
    function drawLines() {
      let AC = map.get('C').minus(map.get('A'));
      let AB = map.get('B').minus(map.get('A'));
      let BC = map.get('C').minus(map.get('B'));
      let result = AC.dot(AB);
      let d, dLine; // distance
    
      let crossProduct = AC.cross(AB);
      dLine = Math.abs(crossProduct) / AB.len;
      let pd = getD();
      map.set('D', pd);
      if (result < 0) {
        // 角CAB為鈍角
        drawLine(map.get('A'), map.get('C'), 'red');
        drawLine(map.get('C'), pd, 'green');
        d = AC.len;
      } else if (result > Math.pow(AB.len, 2)) {
        // 角CBA為鈍角
        drawLine(map.get('B'), map.get('C'), 'red');
        drawLine(map.get('C'), pd, 'green');
        d = BC.len;
      } else {
        d = dLine;
        drawLine(map.get('C'), pd, 'red');
      }
    
      let text = `點(diǎn)C到線段AB的距離：${Math.floor(d)}, 點(diǎn)C到AB所在直線的距離為${Math.floor(dLine)}`;
      drawText(text);
    }
    
    function getD() {
      let AC = map.get('C').minus(map.get('A'));
      let AB = map.get('B').minus(map.get('A'));
      let A = map.get('A'); // 即：向量OA
      // 已知：AD為AC在AB上的投影
      // AD = (AB / |AB|) * (AC·AB / |AB|)
      //    = AB * (AC·AB / |AB|2) 
      // D.x - A.x = AD.x, D.y - A.y = AD.y
      let AD = AB.scale(AC.dot(AB) / AB.len**2);
      let D = new Vector2D(
        AD.x + A.x,
        AD.y + A.y
      );
      return D;
    }
    

    然后我們來(lái)計(jì)算點(diǎn)D的坐標(biāo)：

    已知：AD是AC在AB上的投影。

    所以AD可以表示為這樣：(AB / |AB|) * (AC·AB / |AB|)

    向量AB除以AB的模即代表和向量AB同一方向夾角的單位向量，單位向量可以簡(jiǎn)單理解為長(zhǎng)度為1的向量；

    AC和AB的點(diǎn)積除以AB的模結(jié)果等于AC的模乘以兩個(gè)向量夾角的余弦值。

    所以這兩個(gè)值相乘，就等于是向量AD。

    通過(guò)調(diào)整上面的公式，我們可以得到AD = AB * (AC·AB / |AB|2) ，因?yàn)锳、B、C的坐標(biāo)都已知，也就可以得到向量AD的坐標(biāo)。

    然后我們又知道向量AD的坐標(biāo)可以直接通過(guò)向量的減法得到，也就是：

    • AD.x = D.x - A.x
    • AD.y = D.y - A.y

    所以我們就可以得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，即(AD.x + A.x, AD.y + A.y)。

    接著我們根據(jù)AC和AB的點(diǎn)乘結(jié)果result，來(lái)繪制相應(yīng)的直線。

    • 當(dāng)result為負(fù)數(shù)時(shí)，說(shuō)明AC和AB夾角的余弦值大于90度

      即∠CAB為鈍角，說(shuō)明點(diǎn)C到線段AB的距離就是點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離。

    • 而當(dāng)result大于AC長(zhǎng)度的平方，也就是AC的模乘以余弦值大于AB的模，也就是說(shuō)，AC在向量AB上的投影大于AB的長(zhǎng)度

      那么此時(shí)∠CBA是鈍角，點(diǎn)C到線段AB的距離就是點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離。

    • 當(dāng)result為0時(shí)，說(shuō)明兩個(gè)向量互相垂直

      此時(shí)，點(diǎn)C在線段AB的上方或下方，點(diǎn)C到線段AB的距離就是點(diǎn)C到直線的距離。也就是我們前面求到的dLine的值。

    最后我們將結(jié)果通過(guò)fillText方法繪制到屏幕上。

    function drawText(distance) {
      ctx.beginPath();
      ctx.save();
      ctx.font = "16px serif";
      ctx.scale(1, -1);
      ctx.fillText(`${distance}`, -250, 240);
      ctx.restore();
    }
    

  • 最后我們加一個(gè)鼠標(biāo)移動(dòng)事件，動(dòng)態(tài)地更新點(diǎn)C的坐標(biāo)，以及點(diǎn)C到線段AB和直線的距離。

    initEvents();
    
    function initEvents() {
    	canvas.addEventListener('mousemove', e => {
        const rect = canvas.getBoundingClientRect();
        ctx.clearRect(-canvas.width / 2, -canvas.height / 2, canvas.width, canvas.height);
        let x = e.pageX - rect.left - canvas.width / 2;
        let y = -(e.pageY - rect.top - canvas.height / 2);
        v0 = new Vector2D(x, y);
        map.set('C', v0);
        draw();
    	});
    }
    

  好啦，到這里為止一個(gè)簡(jiǎn)單的距離展示就完成了；我們可以通過(guò)移動(dòng)鼠標(biāo)來(lái)查看最后的效果。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的可视化学习：利用向量计算点到线段的距离并展示的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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