質數篩（樸素、埃氏、歐拉）

介紹

作為和數學高度結合的一門學科，程序設計中經常會用到數學上的性質和概念，或者說，計算機一開始就是為了解決數學問題而發明的。在做題的過程中，我們經常遇到質數相關的題目，那么，我們如何判斷一個數是不是質數呢？如何把質數全部打入表中呢？今天，我將介紹三種常見的篩取質數的方法。

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樸素篩

代碼實現

int main()
{
	int n, c, N = 0, prime[10000];//質數數組
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 2; i <= n; i++)//檢測i是否為質數
	{
		c = 1;
		for (int j = 2; j * j <= i + 1; j++)//測試i是否能被j整除
			if (i % j == 0 && i != 2)
			{
				c = 0;
				break;
			}
		if(c) prime[N++] = i;//填入并計數
	}
	for (int i = 0; i < N; i++) printf("%d ", prime[i]);
	return 0;
}

分析

根據質數的定義，質數有且只有兩個因數，即1和它本身。

樸素篩就根據這最基本的性質，從2開始遍歷，直到它的平方根，依次取余，如果整除了就違反了質數有且只有兩個因數的性質，可以將其排除。

之所以只需要遍歷到平方根，是因為整除時，結果也是它的一個因數，故只需要遍歷到平方根，便可以將所有可能是因數的數試到。

for (int i = 2; i <= n; i++)//檢測i是否為質數
	{
		c = 1;
		for (int j = 2; j * j <= i; j++)//測試i是否能被j整除
			if (i % j == 0 && i != 2)
			{
				c = 0;
				break;
			}
		if(c) prime[N++] = i;//填入并計數
	}

這里是樸素篩的核心部分。

值得注意的是，for循環的跳出條件設置為j*j<=i，避免了sqrt函數的使用，可以顯著提升運行速度。

而變量c的設置則是為了標識i是否是質數，若是因為判斷為合數而跳出，則將c賦為0，后續不做處理，反之，將其存入數組。

補充

整個算法的時間復雜度為O(nlogn)。很顯然，這個算法是最基礎的暴力遍歷，如果題目給的數據大一點就會被T得很慘，比賽時間充裕的情況盡量不要用樸素篩，就跟盡量用快排別用冒泡一個道理。

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埃氏篩

代碼實現

#include<stdio.h>
#include<stdbool.h>
#define maxNum 1000000001//定義最大值
bool priNum[maxNum];//質數為真，否則為假
void savePriNum()//創建預處理質數集
{
	for (int i = 0; i < maxNum; i++)
		priNum[i] = true;//默認真
	priNum[0] =priNum[1] = false;
	for (int i = 2; i * i < maxNum ; i++)//依次篩掉i的倍數，不包括i
		for (int j = 2 * i; j < maxNum; j += i)
            priNum[j] = false;
}

int main()
{
	savePriNum();
	int n;
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 2; i <= n; i++)
		if (priNum[i])
            printf("%d\n", i);
	return 0;
}

分析

質數有且只有兩個因數，那也就是說，任何數的倍數都不可能是質數，那我們只需要在遍歷2到它的平方根，并標記這些數在要求范圍內的倍數為合數，那剩下的數就是質數了。

#include<stdbool.h>
#define maxNum 1000000001//定義最大值
bool priNum[maxNum];//質數為真，否則為假

首先，我們先創建一個布爾型數組來存放質數。因為數據范圍極大，而我們只需要存放0和1來標記質數合數，所以我們采用值只有true和false的布爾型變量，來節省空間。

void savePriNum()//創建預處理質數集
{
	for (int i = 0; i < maxNum; i++)
		priNum[i] = true;//默認真
	priNum[0] =priNum[1] = false;
	for (int i = 2; i * i < maxNum ; i++)//依次篩掉i的倍數，不包括i
		for (int j = 2 * i; j < maxNum; j += i)
            priNum[j] = false;
}

我們將存表操作封裝進函數中。

首先，我們默認每個數都為質數，接著，特判0和1不是質數，同時，0和1也不在我們遍歷的過程中。

我們從2開始，遍歷到范圍最大值的平方根，標記這些數在要求范圍內的倍數為合數。

這樣，我們想判斷x是不是質數，只需要查詢priNum[x]的值就可以了。

補充

整個算法的時間復雜度為O(nloglogn)，已經很逼近線性時間O(n)了，但是我們可以發現，埃氏篩在標記合數時，是有重復標記的。當一個合數擁有多個因數時，就會被標記多次，例如12擁有因數1，2，3，4，6，12，除去1和12，在遍歷2，3，4，6時，12都被標記了一次，所以，埃氏篩還并不是線性時間。

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歐拉篩

代碼實現

#include<stdio.h>
#include<stdbool.h>
#define maxNum 1000000001//定義最大值
bool priNum[maxNum];//質數為真，否則為假
int  pri[maxNum], N = 0;
void savePriNum()//創建預處理質數集
{
	for (int i = 0; i < maxNum; i++)
		priNum[i] = true;//全部填入真
	priNum[0] = priNum[1] = false;
	for (int i = 2; i * i <= maxNum; i++)
		if (priNum[i])
		{
			pri[N] = i;//存入數組并計數
			N++;
			for (int j = 0; j < N; j++)//若i為質數，則標記它和其他質數的每一個乘積
				if (pri[j] * i < maxNum) priNum[pri[j] * i] = false;
				else break;//
		}
		else
			for (int j = 0; j < N; j++)
			{
				if (pri[j] * i < maxNum) priNum[pri[j] * i] = false;//若i為合數，則標記它和其他質數的乘積
				if (i % pri[j] == 0) break;//直到i整除到某質數
			}
	return 0;
}

int main()
{
	savePriNum();
	int n;
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		if (priNum[i])
			printf("%d ", i);
	return 0;
}

分析

歐拉篩又稱線性篩，在歐拉篩中每個合數都只會被標記一次，因此，算法的時間是線性的，時間復雜度到了O(n)。

為了實現每個合數只被標記一次，在歐拉篩中我們規定每個合數都只會被它的最小因數標記，這里的意思是通過該數最小因數*某數=該數來標記該數。

#include<stdio.h>
#include<stdbool.h>
#define maxNum 1000000001//定義最大值
bool priNum[maxNum];//質數為真，否則為假
int  pri[maxNum], N = 0;

預處理時，我們另外創建一個數組，用于即時存放篩選出的質數，同時設置變量N用于記錄當前質數數量。

void savePriNum()//創建預處理質數集
{
	for (int i = 0; i < maxNum; i++)
		priNum[i] = true;//全部填入真
	priNum[0] = priNum[1] = false;
	for (int i = 2; i * i <= maxNum; i++)
		;//......
	return 0;
}

我們同樣將存表操作封裝進函數中，默認存真，特判01，同樣的遍歷至平方根，不做贅述。

if (priNum[i])
	{
		pri[N] = i;//存入數組并計數
		N++;
		for (int j = 0; j < N; j++)//若i為質數，則標記它和其他質數的每一個乘積
			if (pri[j] * i < maxNum) priNum[pri[j] * i] = false;
			else break;//
	}

當我們遍歷到一個質數時，我們將其存入質數數組并計數，然后將其與已經存入的質數相乘，并標記相乘的積為合數。

兩個不同質數相乘的積有且只有4個因數，兩個相同質數相乘的積有且只有3個因數，這是分解質因數的原理。

也因此，我們通過此法標記的數，必然是通過它的最小因數來標記的。

else
	for (int j = 0; j < N; j++)
	{
		if (pri[j] * i < maxNum) priNum[pri[j] * i] = false;//若i為合數，則標記它和其他質數的乘積
		if (i % pri[j] == 0) break;//直到i整除到某質數
	}

而當我們遍歷到一個合數時，我們同樣將其與已經存入的質數相乘，并標記相乘的積為合數。

但歐拉篩的精髓之處來了。

當該數在相乘中遍歷到自己的一個因數后，就需要break跳出，終止循環。

同樣以12舉例，當i遍歷到4，j遍歷到2時，4%2==0，此時需要跳出，j不能繼續遍歷到3，若通過4*3=12來標記12，在i遍歷到6時，6*2=12便會重復遍歷，也違反了合數需要被自己的最小因子標記的規則。

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總結

樸素篩和埃氏篩的實現原理是比較簡單的，使用的場景也比較廣泛，但在個別的競賽題中會T，必須使用歐拉篩。

歐拉篩理解的過程是有點難的，但在真正理解之后思路會非常清晰，主要就是合數需要被自己的最小因子標記的規則，需要細細體會。

以上便是質數篩三種篩法的介紹，本文由涼茶coltea撰寫，轉載請注明出處。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的质数筛（朴素、埃氏、欧拉）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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