原標題：改進張益唐證明，陶哲軒「他的證明比我還強」，這個天才青年還解決了困擾數學界近 80 年的「簡單問題」

　　魚羊 蕭簫 發自凹非寺

　　量子位報道公眾號 QbitAI

　　傳奇數學家張益唐之后，又有一位跟「孿生素數猜想」有關的數學家，摘下了「數論界最高獎」柯爾獎。

　　26 歲時，他不僅將猜想中素數間隔的上限由 7000 萬降到了 600，大幅優化了張益唐的結果，還被陶哲軒親口稱贊：說實話，他的描述方式實際上比我的更干凈……事實證明他的說法還略強。

　　而就在拿下柯爾獎前不久，這位來自牛津大學的青年數學家James Maynard，又和另一位數學家合作，攻下了一個困擾數學家們將近 80 年的難題——

　　Duffin-Schaeffer 猜想。

　　這一用有理數逼近無理數的問題，對于丟番圖逼近領域的數學家來說，幾乎可以說是最基礎、最關鍵的問題之一。

　　改進張益唐最佳結果

　　張益唐一舉成名，是因為「孿生素數猜想」。

　　猜想聽起來很簡單：證明存在無窮多對間隔為「有限」的質數。

　　只不過，張益唐證明的間隔為 7000 萬，而這位數學家，James Maynard，直接將這個間隔縮小到了 600。

　　基于 James Maynard 的方法，有團隊再次將間隔縮小到了 246，并推測間隔還能更小，可以說，他的方法帶來了里程碑上的突破。

　　差不多是在同時，大洋彼岸的陶哲軒也在同一問題上，得出了基本相同的結果。

　　據 QuantaMagazine 報道，當時，James Maynard 還是名博士后，并沒有多大名氣。

　　但在讀過 James Maynard 的證明方法后，陶哲軒認為，其證明方法比自己的更簡潔。

　　出于惜才之心，陶哲軒主動放棄了與他一同發表這項研究的機會，以免自己的名氣掩蓋了年輕數學家的成就。

　　而事實證明，James Maynard 確實潛力無窮。

　　△James Maynard 在思考質數問題

　　在他獲得博士學位后的數年中，他在數論領域的長足進步，使得他聲名鵲起。2017 年，時年 30 歲的他受聘成為牛津大學數學學院教授。

　　作為一名數論學家，他最新的「戰績」，是解決了一個曾困擾數學家們近 80 年的難題：Duffin-Schaeffer 猜想。

　　搞定 Duffin-Schaeffer 猜想

　　Duffin-Shaeffer 猜想是度量丟番圖逼近中的一個重要猜想，由物理學家 Richard Duffin 和數學家 Albert Schaeffer 在 1941 年提出。

　　所謂丟番圖逼近，是數論的一個分支，研究的是用有理數逼近實數。

　　我們知道，大部分的實數都是π、√2 這樣的無理數，它們是無法用分數來表示的。

　　Duffin 和 Schaeffer 提出的猜想是這樣的：

　　假設 f：N→R_≥0是具有正值的實值函數，只有當級數

　　是發散的（q>0，φ(q)為歐拉函數，表示比q小且與q互質的正整數的個數），對于無理數 α 而言，就存在無窮多個有理數，滿足不等式 α-(p/q) < f (q)/q。

　　也就是說，在尋找近似值的時候，先不考慮分子，而是從自然數中選出無窮多個數字作為分母。

　　然后，基于分母序列和指定的近似精度范圍，來選擇分子。

　　結果就是，如果無窮級數發散，就意味著已經近似了所有無理數；否則，就沒有實現對任何無理數的近似。

　　這一猜想在有理近似中，普遍被數學家們認為是正確的標準，但如何證明它，卻成為了困擾數學家們將近 80 年的問題。

　　而 James Maynard 和蒙特利爾大學的 Dimitris Koukoulopoulos 合作，用 44 頁紙的論文一舉證明了這一猜想。

　　在他們的證明中，他們用分母創建了一個圖：把分母繪制成圖上的點，如果兩個點有許多共同的質因數，就用線將兩點連接起來。

　　這樣一來，圖的結構就編碼了每個分母所近似的無理數之間的重疊。原本這種重合度是難以直接測定的。

　　利用這種方法，他們證明了 Duffin-Schaeffer 猜想確實是正確的。

　　

　　△圖源：QuantaMagazine

　　QuantaMagazine 對此評價道：

這是數學領域最罕見的壯舉之一：Koukoulopoulos 和 Maynard 給出了自己研究的領域中基本問題的最終答案。

　　Duffin-Schaeffer 猜想，這個世紀以來曾多次有數學家挑戰，但都以失敗告終的問題，最終能被 James Maynard 所解決，看似出乎意料，實則在情理之中。

　　畢竟，James Maynard 一直很「叛逆」。

　　鋒芒畢露：叛逆的天才

　　出生在人文氣息濃厚的家庭氛圍里，James Maynard 唯獨對數學情有獨鐘，學習中也表現得有點「離經叛道」：

　　據 QuantaMagazine 報道，一次物理考試中，規定如果不給計算過程，答案即使全對，也只有滿分的?。

　　為了抗議，James Maynard 所有的題目都只寫了答案，全對，但只拿了不到一半的分數。

　　不僅學習上如此，學術研究上也是如此。

　　在面對那些讓人感興趣的問題時，James Maynard 的第一反應都是：為什么不試試？

　　即使那些問題在學術界看來難以解決，在他這里也不是絆腳的理由。

　　當初在證明「孿生素數猜想」時，James Maynard 就曾得到過導師的警告：「我確信你無法解決這個問題，所以你沒必要全力以赴。」

　　但這恰恰與 James Maynard「一不做，二不休」的人生信條相反。

　　面對導師的告誡，這位年輕叛逆的數學家只是聳聳肩，然后全身心地投入到數學研究中，最終完美地證明了這個問題，而這次的 Duffin-Schaeffer 猜想證明亦是如此。

　　除此之外，他還解決過幾個質數相關的「簡單」問題，聽起來簡單，論證卻無比麻煩，感興趣的同學們，不妨來試試：

　　1、不含數字「7」的質數有無限個。

　　2、不含「0-9」中任何一個給定數字的質數有無限個。

　　這個本碩于劍橋完成、并在牛津獲得博士學位的天才數學家，年僅 33 歲就已獲得過拉馬努金獎（2014）、高級懷特海獎（2015）、歐洲數學學會獎（2016）等各大獎項，今年又獲得了號稱「數論界最高獎」的柯爾數論獎。

　　未來這位數論學家還會繼續解決哪些問題，值得我們期待。

　　參考鏈接：
　　https://www.quantamagazine.org/james-maynard-solves-the-hardest-easy-math-problems-20200701/

　　https://en.wikipedia.org/wiki/JamesMaynard (mathematician)

　　https://www.scientificamerican.com/article/new-proof-solves-80-year-old-irrational-number-problem/

總結

以上是生活随笔為你收集整理的改进张益唐证明，陶哲轩「他的证明比我还强」的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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