大家好！今天讓小編來(lái)大家介紹下關(guān)于完全平方數(shù)是什么意思秒懂百科（完全平方數(shù)是什么）的問(wèn)題，以下是小編對(duì)此問(wèn)題的歸納整理，讓我們一起來(lái)看看吧。

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1、完全平方數(shù) 九章出版社提供 (一)完全平方數(shù)的性質(zhì) 一個(gè)數(shù)如果是另一個(gè)整數(shù)的完全平方，那么我們就稱這個(gè)數(shù)為完全平方數(shù)，也叫做平方數(shù)。

2、例如: 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,… 觀察這些完全平方數(shù)，可以獲得對(duì)它們的個(gè)位數(shù)、十位數(shù)、數(shù)字和等的規(guī)律性的認(rèn)識(shí)。

3、下面我們來(lái)研究完全平方數(shù)的一些常用性質(zhì): 性質(zhì)1:完全平方數(shù)的末位數(shù)只能是0,1,4,5,6,9。

4、 性質(zhì)2:奇數(shù)的平方的個(gè)位數(shù)字為奇數(shù)，十位數(shù)字為偶數(shù)。

5、 證明 奇數(shù)必為下列五種形式之一: 10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9 分別平方后，得 (10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1 (10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9 (10a+5)=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5 (10a+7)=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9 (10a+9)=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1 綜上各種情形可知:奇數(shù)的平方，個(gè)位數(shù)字為奇數(shù)1,5,9;十位數(shù)字為偶數(shù)。

6、 性質(zhì)3:如果完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，則它的個(gè)位數(shù)字一定是6;反之，如果完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字是6，則它的十位數(shù)字一定是奇數(shù)。

7、 證明 已知=10k+6，證明k為奇數(shù)。

8、因?yàn)榈膫€(gè)位數(shù)為6，所以m的個(gè)位數(shù)為4或6，于是可設(shè)m=10n+4或10n+6。

9、則 10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6 或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6 即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1 或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3 ∴ k為奇數(shù)。

10、 推論1:如果一個(gè)數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，而個(gè)位數(shù)字不是6，那么這個(gè)數(shù)一定不是完全平方數(shù)。

11、 推論2:如果一個(gè)完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字不是6，則它的十位數(shù)字是偶數(shù)。

12、 性質(zhì)4:偶數(shù)的平方是4的倍數(shù);奇數(shù)的平方是4的倍數(shù)加1。

13、 這是因?yàn)?(2k+1)=4k(k+1)+1 (2k)=4 性質(zhì)5:奇數(shù)的平方是8n+1型;偶數(shù)的平方為8n或8n+4型。

14、 在性質(zhì)4的證明中，由k(k+1)一定為偶數(shù)可得到(2k+1)是8n+1型的數(shù);由為奇數(shù)或偶數(shù)可得(2k)為8n型或8n+4型的數(shù)。

15、 性質(zhì)6:平方數(shù)的形式必為下列兩種之一:3k,3k+1。

16、 因?yàn)樽匀粩?shù)被3除按余數(shù)的不同可以分為三類:3m,3m+1, 3m+2。

17、平方后，分別得 (3m)=9=3k (3m+1)=9+6m+1=3k+1 (3m+2)=9+12m+4=3k+1 同理可以得到: 性質(zhì)7:不能被5整除的數(shù)的平方為5k±1型，能被5整除的數(shù)的平方為5k型。

18、 性質(zhì)8:平方數(shù)的形式具有下列形式之一:16m,16m+1, 16m+4,16m+9。

19、 除了上面關(guān)于個(gè)位數(shù)，十位數(shù)和余數(shù)的性質(zhì)之外，還可研究完全平方數(shù)各位數(shù)字之和。

20、例如，256它的各位數(shù)字相加為2+5+6=13，13叫做256的各位數(shù)字和。

21、如果再把13的各位數(shù)字相加:1+3=4，4也可以叫做256的各位數(shù)字的和。

22、下面我們提到的一個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和是指把它的各位數(shù)字相加，如果得到的數(shù)字之和不是一位數(shù)，就把所得的數(shù)字再相加，直到成為一位數(shù)為止。

23、我們可以得到下面的命題: 一個(gè)數(shù)的數(shù)字和等于這個(gè)數(shù)被9除的余數(shù)。

24、 下面以四位數(shù)為例來(lái)說(shuō)明這個(gè)命題。

25、 設(shè)四位數(shù)為，則 = 1000a+100b+10c+d = 999a+99b+9c+(a+b+c+d) = 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d) 顯然，a+b+c+d是四位數(shù)被9除的余數(shù)。

26、 對(duì)于n位數(shù)，也可以仿此法予以證明。

27、 關(guān)于完全平方數(shù)的數(shù)字和有下面的性質(zhì): 性質(zhì)9:完全平方數(shù)的數(shù)字之和只能是0,1,4,7,9。

28、 證明 因?yàn)橐粋€(gè)整數(shù)被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4這幾種形式，而 (9k)=9(9)+0 (9k±1)=9(9±2k)+1 (9k±2)=9(9±4k)+4 (9k±3)=9(9±6k)+9 (9k±4)=9(9±8k+1)+7 除了以上幾條性質(zhì)以外，還有下列重要性質(zhì): 性質(zhì)10:為完全平方數(shù)的充要條件是b為完全平方數(shù)。

29、 證明 充分性:設(shè)b為平方數(shù)，則 ==(ac) 必要性:若為完全平方數(shù)，=，則 性質(zhì)11:如果質(zhì)數(shù)p能整除a，但不能整除a，則a不是完全平方數(shù)。

30、 證明 由題設(shè)可知，a有質(zhì)因數(shù)p，但無(wú)因數(shù)，可知a分解成標(biāo)準(zhǔn)式時(shí)，p的次方為1，而完全平方數(shù)分解成標(biāo)準(zhǔn)式時(shí)，各質(zhì)因數(shù)的次方均為偶數(shù)，可見(jiàn)a不是完全平方數(shù)。

31、 性質(zhì)12:在兩個(gè)相鄰的整數(shù)的平方數(shù)之間的所有整數(shù)都不是完全平方數(shù)，即若

32、 性質(zhì)13:一個(gè)正整數(shù)n是完全平方數(shù)的充分必要條件是n有奇數(shù)個(gè)因數(shù)(包括1和n本身)。

33、 (二)重要結(jié)論 1.個(gè)位數(shù)是2,3,7,8的整數(shù)一定不是完全平方數(shù); 2.個(gè)位數(shù)和十位數(shù)都是奇數(shù)的整數(shù)一定不是完全平方數(shù); 3.個(gè)位數(shù)是6，十位數(shù)是偶數(shù)的整數(shù)一定不是完全平方數(shù); 4.形如3n+2型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù); 5.形如4n+2和4n+3型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù); 6.形如5n±2型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù); 7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù); 8.數(shù)字和是2,3,5,6,8的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)。

34、 (三)范例 [例1]:一個(gè)自然數(shù)減去45及加上44都仍是完全平方數(shù)，求此數(shù)。

35、 解:設(shè)此自然數(shù)為x，依題意可得 (m,n為自然數(shù)) (2)(1)可得 ∴n>m ( 但89為質(zhì)數(shù)，它的正因數(shù)只能是1與89，于是。

36、解之，得n=45。

37、代入(2)得。

38、故所求的自然數(shù)是1981。

39、 [例2]:求證:四個(gè)連續(xù)的整數(shù)的積加上1，等于一個(gè)奇數(shù)的平方(1954年基輔數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)。

40、 分析 設(shè)四個(gè)連續(xù)的整數(shù)為，其中n為整數(shù)。

41、欲證 是一奇數(shù)的平方，只需將它通過(guò)因式分解而變成一個(gè)奇數(shù)的平方即可。

42、 證明 設(shè)這四個(gè)整數(shù)之積加上1為m，則 而n(n+1)是兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的積，所以是偶數(shù);又因?yàn)?n+1是奇數(shù)，因而n(n+1)+2n+1是奇數(shù)。

43、這就證明了m是一個(gè)奇數(shù)的平方。

44、 [例3]:求證:11,111,1111,這串?dāng)?shù)中沒(méi)有完全平方數(shù)(1972年基輔數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)。

45、 分析 形如的數(shù)若是完全平方數(shù)，必是末位為1或9的數(shù)的平方，即 或 在兩端同時(shí)減去1之后即可推出矛盾。

46、 證明 若，則 因?yàn)樽蠖藶槠鏀?shù)，右端為偶數(shù)，所以左右兩端不相等。

47、 若，則 因?yàn)樽蠖藶槠鏀?shù)，右端為偶數(shù)，所以左右兩端不相等。

48、 綜上所述，不可能是完全平方數(shù)。

49、 另證 由為奇數(shù)知，若它為完全平方數(shù)，則只能是奇數(shù)的平方。

50、但已證過(guò)，奇數(shù)的平方其十位數(shù)字必是偶數(shù)，而十位上的數(shù)字為1，所以不是完全平方數(shù)。

51、 [例4]:試證數(shù)列49,4489,444889, 的每一項(xiàng)都是完全平方數(shù)。

52、 證明 = =++1 =4+8+1 =4()(9+1)+8+1 =36 ()+12+1 =(6+1) 即為完全平方數(shù)。

53、 [例5]:用300個(gè)2和若干個(gè)0組成的整數(shù)有沒(méi)有可能是完全平方數(shù)? 解:設(shè)由300個(gè)2和若干個(gè)0組成的數(shù)為A，則其數(shù)字和為600 3|600 ∴3|A 此數(shù)有3的因數(shù)，故9|A。

54、但9|600，∴矛盾。

55、故不可能有完全平方數(shù)。

56、 [例6]:試求一個(gè)四位數(shù)，它是一個(gè)完全平方數(shù)，并且它的前兩位數(shù)字相同，后兩位數(shù)字也相同(1999小學(xué)數(shù)學(xué)世界邀請(qǐng)賽試題)。

57、 解:設(shè)此數(shù)為 此數(shù)為完全平方，則必須是11的倍數(shù)。

58、因此11|a + b，而a,b為0,1,2,9，故共有(2,9), (3,8), (4,7),(9,2)等8組可能。

59、 直接驗(yàn)算，可知此數(shù)為7744=88。

60、 [例7]:求滿足下列條件的所有自然數(shù): (1)它是四位數(shù)。

61、 (2)被22除余數(shù)為5。

62、 (3)它是完全平方數(shù)。

63、 解:設(shè)，其中n,N為自然數(shù)，可知N為奇數(shù)。

64、 11|N 4或11|N + 4 或 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5 所以此自然數(shù)為1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。

65、 [例8]:甲、乙兩人合養(yǎng)了n頭羊，而每頭羊的賣價(jià)又恰為n元，全部賣完后，兩人分錢方法如下:先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此輪流，拿到最后，剩下不足十元，輪到乙拿去。

66、為了平均分配，甲應(yīng)該補(bǔ)給乙多少元(第2屆“祖沖之杯”初中數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)? 解:n頭羊的總價(jià)為元，由題意知元中含有奇數(shù)個(gè)10元，即完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)。

67、如果完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，則它的個(gè)位數(shù)字一定是6。

68、所以，的末位數(shù)字為6，即乙最后拿的是6元，從而為平均分配，甲應(yīng)補(bǔ)給乙2元。

69、 [例9]:矩形四邊的長(zhǎng)度都是小于10的整數(shù)(單位:公分)，這四個(gè)長(zhǎng)度數(shù)可構(gòu)成一個(gè)四位數(shù)，這個(gè)四位數(shù)的千位數(shù)字與百位數(shù)字相同，并且這四位數(shù)是一個(gè)完全平方數(shù)，求這個(gè)矩形的面積(1986年縉云杯初二數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)。

70、 解:設(shè)矩形的邊長(zhǎng)為x,y，則四位數(shù) ∵N是完全平方數(shù)，11為質(zhì)數(shù) ∴x+y能被11整除。

71、 又 ,得x+y=11。

72、 ∴∴9x+1是一個(gè)完全平方數(shù)，而，驗(yàn)算知x=7滿足條件。

73、又由x+y=11得。

74、 [例10]:求一個(gè)四位數(shù)，使它等于它的四個(gè)數(shù)字和的四次方，并證明此數(shù)是唯一的。

75、 解:設(shè)符合題意的四位數(shù)為，則，∴為五位數(shù)，為三位數(shù)，∴。

76、經(jīng)計(jì)算得，其中符合題意的只有2401一個(gè)。

77、 [例11]:求自然數(shù)n，使的值是由數(shù)字0,2,3,4,4,7,8,8,9組成。

78、 解:顯然，。

79、為了便于估計(jì)，我們把的變化范圍放大到，于是，即。

80、∵，∴。

81、 另一方面，因已知九個(gè)數(shù)碼之和是3的倍數(shù)，故及n都是3的倍數(shù)。

82、這樣，n只有24,27,30三種可能。

83、但30結(jié)尾有六個(gè)0，故30不合要求。

84、經(jīng)計(jì)算得 故所求的自然數(shù)n = 27。

85、 (四)討論題 1.(1986年第27屆IMO試題) 設(shè)正整數(shù)d不等于2,5,13，求證在集合{2,5,13,d}中可以找到兩個(gè)不同的元素a , b，使得ab 1不是完全平方數(shù)。

86、 2.求k的最大值。

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總結(jié)

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