韩信竟是数学大师？中国古代数学启发计算机加密算法
沒想到，古代韓信點(diǎn)兵的傳說，后來竟然啟發(fā)了計(jì)算機(jī)加密算法。
△韓信是左邊那位，不是右邊的
相傳，楚漢爭霸之時，韓信率1500名將士與楚軍交戰(zhàn)敗退，退往山上，這時候敵軍率五百騎殺奔而來，韓信便急速點(diǎn)兵迎敵。
韓信命令士兵3人一排，結(jié)果多出2名；接著命令士兵5人一排，結(jié)果多出3名；他又命令士兵7人一排，結(jié)果又多出2名。
韓信馬上算出，軍中還剩1073人，而敵人不足五百，而且居高臨下、以眾擊寡，于是率軍殺得敵方大敗而逃。
韓信是如何算出人數(shù)的，背后的算法又是如何影響當(dāng)今的計(jì)算機(jī)領(lǐng)域？且往下看。
當(dāng)然，韓信算出士兵人數(shù)只是個傳說，韓信本人并非數(shù)學(xué)大師。這個問題最早見于一本1700年前的古籍，已經(jīng)是韓信死后600多年了。
在南北朝時期，《孫子算經(jīng)》記述了這樣一個問題。（注：這位孫子不是寫《孫子兵法》的孫武）
原書是這樣說的：
有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二。問物幾何？
意思是，一個整數(shù)除以三余二，除以五余三，除以七余二，求這個整數(shù)。
它就是中國剩余定理，也被叫做“韓信點(diǎn)兵”問題。
在近代數(shù)學(xué)中，很少有以中國數(shù)學(xué)家命名的重要定理，然而這樣一條數(shù)學(xué)定理，名字里就有“中國”二字。
南宋時期，我國數(shù)學(xué)家秦九韶首先給出了這類問題的解法：大衍術(shù)。
直到500年后，著名數(shù)學(xué)家高斯才在自己的書中描述類似的結(jié)果。
那么問題來了：傳說中的“韓信”到底是怎么算出來人數(shù)的呢？
為了更好地理解和表述“韓信點(diǎn)兵”問題，我們引入一個新的數(shù)學(xué)概念——“同余”。
在數(shù)學(xué)上，如果a和b除以正整數(shù)m后的余數(shù)相同，則稱a、b對于模m同余，韓信點(diǎn)兵用數(shù)學(xué)公式來表示就是（X是未知的人數(shù)）：
X ≡ 2 (mod 3)X ≡ 3 (mod 5)X ≡ 2 (mod 7)
為了簡化問題，我們先只考慮前兩個同余條件，滿足除以3余2、除以5余3的整數(shù)分別為：
2、5、8、11、14、17、20、23、26……3、8、13、18、23、28、33、38……
可以看出，同時符合這兩個條件的第一個數(shù)是8，第二個數(shù)是23。后面的每個解與前一個之差都應(yīng)該是3和5的最小公倍數(shù)15，即：
X = 8 + 15K （K是整數(shù)）
這樣我們就把尋找的整數(shù)解縮小了，接著再加入第三個條件，找到分別滿足X=8+15K和除以7余2的數(shù)：
8、23、38、53、68、83、98、113、128……2、9、16、23、30、37、44、51……
滿足條件的第一個數(shù)是23，第二個數(shù)是128。后面的每個解與前一個之差都應(yīng)該是3、5、7的最小公倍數(shù)105。
這樣尋找解的過程顯然太繁瑣。后來，明朝數(shù)學(xué)家程大位把求解方法編成了一首詩：
三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝。
七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知。
意思是：
將除以3得到的余數(shù)乘以70，將除以5得到的余數(shù)乘以21，將除以7得到的余數(shù)乘以15，全部加起來后再減去105或者105的整數(shù)倍，得到的數(shù)就是答案。
70 x 2 + 21 × 3 + 15 × 2 = 233 - 2 × 105 = 23
其他的解只能和23相差105的整數(shù)倍，韓信應(yīng)該是估計(jì)出軍隊(duì)大致人數(shù)，取了105×10+23=1073這個解。
以上70、21、15幾組數(shù)到底是怎么來的，有興趣的讀者可以進(jìn)一步閱讀“中國剩余定理”的通解，在此不再贅述。
這道“韓信點(diǎn)兵”問題不僅僅能用于點(diǎn)兵，甚至在天文歷法上也有重要應(yīng)用。
假設(shè)有一顆彗星4年出現(xiàn)一次，我們在1991年看到了它、另一顆彗星10年看到一次，我們在1997年看到了它。我們下一次在同一年看到它們是什么時候？
X ≡ 1991 (mod 4)X ≡ 1997 (mod 10)
經(jīng)過計(jì)算，它們上一次相會是在2007年，而且每隔20年重逢一次，所以下一次應(yīng)該是2027年。
時至今日，中國剩余定理已經(jīng)成為了很多計(jì)算機(jī)加密算法的基礎(chǔ)，它的應(yīng)用范圍已經(jīng)超乎你的想象。
外媒Quantamagazine在一篇名為《古代戰(zhàn)爭計(jì)策是如何影響當(dāng)代數(shù)學(xué)》的文章中也提到：中國剩余定理對現(xiàn)代數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)算法、天文學(xué)等領(lǐng)域都有很大的啟發(fā)意義。
比如非常有名的RSA加密算法，就應(yīng)用了中國剩余定理。
我們知道在數(shù)論中，想要求解出兩個大素?cái)?shù)比較簡單，但是想要對它們的乘積進(jìn)行因式分解就很困難了。
而RSA加密算法就是把這個乘積作為了自己的加密密鑰。
從1977年誕生以來，RSA加密算法已經(jīng)成為了應(yīng)用最廣泛的公鑰算法之一。
此外，在快速傅里葉變換（FFT）中也應(yīng)用了中國剩余定理，它可以大大減少計(jì)算離散傅里葉變換時所需的乘法次數(shù)。
這幾年，中國剩余定理還被用到了信息加密上。
2018年，哥倫比亞大學(xué)的學(xué)者們發(fā)明了一種可以在文本中加密信息的方法，其中就應(yīng)用了中國剩余定理來確保信息復(fù)原時的準(zhǔn)確性。
只要手機(jī)對著一段文字掃一掃，算法就能給出加密后的信息。
這種方法名叫FontCode，它是對普通字符進(jìn)行微小的調(diào)整，然后再對調(diào)整后的字符重新編碼信息，從而實(shí)現(xiàn)對信息的加密。
比如以下5種不同顏色的“a”，它們分別代表了1-5的數(shù)字信息。
如果不用顏色區(qū)分，肉眼很難分辨出它們和常規(guī)字體之間有什么不同。
但是機(jī)器可以。
只要通過掃描和分析，算法就能推斷出哪些字母被特殊處理過，處理后的字母又表示了什么信息。
因此，在一段看似普通的文本中，可以很好隱藏這些特殊的字母，從而傳遞出一段加密的數(shù)字串。
然后，再對這些數(shù)字進(jìn)行計(jì)算，就能得出真實(shí)想要傳遞的信息。
但是這樣的加密方式還不夠保險，畢竟字符出現(xiàn)在屏幕或紙面上時，它的格式都有可能發(fā)生一些細(xì)小的變化。
這時就需要中國剩余定理登場了。
在上面我們已經(jīng)介紹了，通過線性同余方程組就能計(jì)算出數(shù)值。
如果想求解3個未知量，那么需要3個線性方程才能做到。
現(xiàn)在為了保險起見，科學(xué)家們把線性方程的數(shù)量增加了。
比如為了求解出3個未知量，他們會設(shè)置5個線性方程，5個方程中只要知道3個，就能求解出想要的答案了。
顯然，1000多年過去了，雖然我們不會再像韓信點(diǎn)兵一樣隱藏士兵數(shù)量，但是現(xiàn)代數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)等領(lǐng)域的研究者們依舊能從中國剩余定理中獲得源源不斷的啟發(fā)。
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的韩信竟是数学大师？中国古代数学启发计算机加密算法的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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