導(dǎo)讀： 浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算是一個(gè)非常有技術(shù)含量的話題，不太容易掌握。許多程序員都不清楚使用==操作符比較float/double類型的話到底出現(xiàn)什么問題。 許多人使用float/double進(jìn)行貨幣計(jì)算時(shí)經(jīng)常會(huì)犯錯(cuò)。這篇文章是這一系列中的精華，所有的軟件開發(fā)人員都應(yīng)該讀一下。

　　隨著你經(jīng)驗(yàn)的增長(zhǎng)，你肯定 想去深入了解一些常見的東西的細(xì)節(jié)，浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算就是其中之一。

1. 什么是浮點(diǎn)數(shù)?

　　在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的發(fā)展過程中，曾經(jīng)提出過多種方法表達(dá)實(shí)數(shù)。

　　【1】典型的比如相對(duì)于浮點(diǎn)數(shù)的定點(diǎn)數(shù)（Fixed Point Number）。在這種表達(dá)方式中，小數(shù)點(diǎn)固定的位于實(shí)數(shù)所有數(shù)字中間的某個(gè)位置。貨幣的表達(dá)就可以使用這種方式，比如 99.00 或者 00.99 可以用于表達(dá)具有四位精度（Precision），小數(shù)點(diǎn)后有兩位的貨幣值。由于小數(shù)點(diǎn)位置固定，所以可以直接用四位數(shù)值來(lái)表達(dá)相應(yīng)的數(shù)值。SQL 中的 NUMBER 數(shù)據(jù)類型就是利用定點(diǎn)數(shù)來(lái)定義的。

　　【2】還有一種提議的表達(dá)方式為有理數(shù)表達(dá)方式，即用兩個(gè)整數(shù)的比值來(lái)表達(dá)實(shí)數(shù)。

　　定點(diǎn)數(shù)表達(dá)法的缺點(diǎn)在于其形式過于僵硬，固定的小數(shù)點(diǎn)位置決定了固定位數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分，不利于同時(shí)表達(dá)特別大的數(shù)或者特別小的數(shù)。最終，絕大多數(shù)現(xiàn)代的計(jì)算機(jī)系統(tǒng)采納了所謂的浮點(diǎn)數(shù)表達(dá)方式。

　　【3】浮點(diǎn)數(shù)表達(dá)方式， 這種表達(dá)方式利用科學(xué)計(jì)數(shù)法來(lái)表達(dá)實(shí)數(shù)，即用一個(gè)尾數(shù)（Mantissa ），一個(gè)基數(shù)（Base），一個(gè)指數(shù)（Exponent）以及一個(gè)表示正負(fù)的符號(hào)來(lái)表達(dá)實(shí)數(shù)。比如 123.45 用十進(jìn)制科學(xué)計(jì)數(shù)法可以表達(dá)為 1.2345 × 102 ，其中 1.2345 為尾數(shù)，10 為基數(shù)，2 為指數(shù)。浮點(diǎn)數(shù)利用指數(shù)達(dá)到了浮動(dòng)小數(shù)點(diǎn)的效果，從而可以靈活地表達(dá)更大范圍的實(shí)數(shù)。提示: 尾數(shù)有時(shí)也稱為有效數(shù)字（Significand）。尾數(shù)實(shí)際上是有效數(shù)字的非正式說法。

　　同樣的數(shù)值可以有多種浮點(diǎn)數(shù)表達(dá)方式，比如上面例子中的 123.45 可以表達(dá)為 12.345 × 101，0.12345 × 103 或者 1.2345 × 102。因?yàn)檫@種多樣性，有必要對(duì)其加以規(guī)范化以達(dá)到統(tǒng)一表達(dá)的目標(biāo)。規(guī)范的（Normalized）浮點(diǎn)數(shù)表達(dá)方式具有如下形式：

　　d.dd...d × β^e?, (0 ≤ d_i?< β)

　　其中?d.dd...d 即尾數(shù)，β 為基數(shù)，e 為指數(shù)。尾數(shù)中數(shù)字的個(gè)數(shù)稱為精度，在本文中用 p（presion） 來(lái)表示。每個(gè)數(shù)字 d 介于 0 和基數(shù)β之間，包括 0。小數(shù)點(diǎn)左側(cè)的數(shù)字不為 0。

（1）　　基于規(guī)范表達(dá)的浮點(diǎn)數(shù)對(duì)應(yīng)的具體值可由下面的表達(dá)式計(jì)算而得：(p是精度個(gè)數(shù))

　　±(d0 + d1β-1 + ... + dp-1β-(p-1))βe , (0 ≤ di < β)

　　對(duì)于十進(jìn)制的浮點(diǎn)數(shù)，即基數(shù) β 等于 10 的浮點(diǎn)數(shù)而言，上面的表達(dá)式非常容易理解，也很直白。計(jì)算機(jī)內(nèi)部的數(shù)值表達(dá)是基于二進(jìn)制的。從上面的表達(dá)式，我們可以知道，二進(jìn)制數(shù)同樣可以有小數(shù)點(diǎn)，也 同樣具有類似于十進(jìn)制的表達(dá)方式。只是此時(shí) β 等于 2，而每個(gè)數(shù)字 d 只能在 0 和 1 之間取值。

（2）　　比如二進(jìn)制數(shù) 1001.101 相當(dāng)于：精度為7

　　 1 × 2^?3?+ 0 × 2²?+ 0 × 2¹?+ 1 × 2⁰?+ 1 × 2^-1?+ 0 × 2^-2?+ 1 × 2^-3，對(duì)應(yīng)于十進(jìn)制的 9.625。

　　其規(guī)范浮點(diǎn)數(shù)表達(dá)為 1.001101 × 2³。

（3）　　IEEE （美國(guó)電氣和電子工程師學(xué)會(huì)）浮點(diǎn)數(shù)

　　計(jì)算機(jī)中是用有限的連續(xù)字節(jié)保存浮點(diǎn)數(shù)的。

　　IEEE定義了多種浮點(diǎn)格式，但最常見的是三種類型：單精度、雙精度、擴(kuò)展雙精度，分別適用于不同的計(jì)算要求。一般而言，單精度適合一般計(jì)算，雙精度適合科學(xué)計(jì)算，擴(kuò)展雙精度適合高精度計(jì)算。一個(gè)遵循IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)的系統(tǒng)必須支持單精度類型（強(qiáng)制類型）、最好也支持雙精度類型（推薦類型），至于擴(kuò)展雙精度類型可以隨意。單精度（Single Precision）浮點(diǎn)數(shù)是32位（即4字節(jié)）的，雙精度（Double Precision）浮點(diǎn)數(shù)是64位（即8字節(jié)）的。

　　保存這些浮點(diǎn)數(shù)當(dāng)然必須有特定的格式，Java 平臺(tái)上的浮點(diǎn)數(shù)類型 float 和 double 采納了 IEEE 754 標(biāo)準(zhǔn)中所定義的單精度 32 位浮點(diǎn)數(shù)和雙精度 64 位浮點(diǎn)數(shù)的格式。注意:?Java 平臺(tái)還支持該標(biāo)準(zhǔn)定義的兩種擴(kuò)展格式，即 float-extended-exponent 和 double-extended-exponent 擴(kuò)展格式。這里將不作介紹，有興趣的讀者可以參考相應(yīng)的參考資料。

　　在 IEEE 標(biāo)準(zhǔn)中，浮點(diǎn)數(shù)是將特定長(zhǎng)度的連續(xù)字節(jié)的所有二進(jìn)制位分割為特定寬度的符號(hào)域，指數(shù)域和尾數(shù)域三個(gè)域，其中保存的值分別用于表示給定二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)中的符號(hào)，指數(shù)和尾數(shù)。這樣，通過尾數(shù)和可以調(diào)節(jié)的指數(shù)（所以稱為"浮點(diǎn)"）就可以表達(dá)給定的數(shù)值了。

　　具體的格式參見下面的表格：

　　

　　需要特別注意的是，擴(kuò)展雙精度類型沒有隱含位，因此它的有效位數(shù)與尾數(shù)位數(shù)一致，而單精度類型和雙精度類型均有一個(gè)隱含位，因此它的有效位數(shù)比位數(shù)位數(shù)多一個(gè)。

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　　IEEE754標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定一個(gè)實(shí)數(shù)V可以用:　　V＝(－1)s×M×2^E的形式表示，說明如下：
　　(1)符號(hào)s(sign)決定實(shí)數(shù)是正數(shù)(s＝0)還是負(fù)數(shù)(s＝1)，對(duì)數(shù)值0的符號(hào)位特殊處理。
　　(2)有效數(shù)字M是二進(jìn)制小數(shù)，M的取值范圍在1≤M＜2或0≤M＜1。
　　(3)指數(shù)E（exponent）是2的冪，它的作用是對(duì)浮點(diǎn)數(shù)加權(quán)。

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?　　為了強(qiáng)制定義一些特殊值，IEEE標(biāo)準(zhǔn)通過指數(shù)將表示空間劃分成了三大塊：

　　【1】最小值指數(shù)（所有位全置0）用于定義0和弱規(guī)范數(shù)

　　【2】最大指數(shù)（所有位全值1）用于定義±∞和NaN（Not a Number）

　　【3】其他指數(shù)用于表示常規(guī)的數(shù)。

　　這樣一來(lái)，最大（指絕對(duì)值）常規(guī)數(shù)的指數(shù)不是全1的，最小常規(guī)數(shù)的指數(shù)也不是0，而是1。

　　

　　S：符號(hào)位，　　　　Exponent:指數(shù)域　　　　Fraction：尾數(shù)域

　　注意：尾數(shù)有時(shí)也稱為有效數(shù)字（Significand），

　　 一般如1.001001*2^{EValue，即一個(gè)尾數(shù)（Mantissa ），一個(gè)基數(shù)（底數(shù)Base），一個(gè)指數(shù)Evalue表示}

　　即： M * B^E?=?尾數(shù) * 底數(shù)^指數(shù)

　　通常情況，IEEE標(biāo)準(zhǔn)寫法，尾數(shù)的1，省略，Fraction= 0.001001，因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)寫法，前面的1總是省略Fraction = 尾數(shù) - 1?；（IEEE規(guī)定小數(shù)點(diǎn)左側(cè)的 1 是隱藏的）

　　如果指數(shù)值：加上相應(yīng)的浮點(diǎn)數(shù)偏執(zhí)后的值：即?Exponent = EValue + Bias。

　　所以上述的值： X = （-1）^S? X ( 1 + Fraction)?^{（Exponent - Bias）}， 也就不足為奇了

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　　在上面的圖例中：

　?、佟　〉谝粋€(gè)域:為符號(hào)域。其中?0 表示數(shù)值為正數(shù)，而 1 則表示負(fù)數(shù)。

　?、凇　〉诙€(gè)域為指數(shù)域，對(duì)應(yīng)于我們之前介紹的二進(jìn)制科學(xué)計(jì)數(shù)法中的指數(shù)部分。

　　指數(shù)閾：通常使用移碼表示：

　　（移碼和補(bǔ)碼只有符號(hào)位相反，其余都一樣。對(duì)于正數(shù)而言，原碼、反碼和補(bǔ)碼都一樣；對(duì)于負(fù)數(shù)而言，補(bǔ)碼就是其絕對(duì)值的原碼全部取反，然后加1（不包括符號(hào)位））。

　　其中單精度數(shù)為 8 位，雙精度數(shù)為 11 位。以單精度數(shù)為例，8 位的指數(shù)為可以表達(dá) 0 到 255 之間的 255 個(gè)指數(shù)值。

　　但是，指數(shù)可以為正數(shù)，也可以為負(fù)數(shù)。為了處理負(fù)指數(shù)的情況，實(shí)際的指數(shù)值按要求需要加上一個(gè)偏差（Bias）值作為保存在指數(shù)域中的值，單精度數(shù)的偏差值為 127（0-111 1111）(8位)，而雙精度數(shù)的偏差值為 1023(0-1 1111 1111)（10位）。比如，單精度的實(shí)際指數(shù)值 0?在指數(shù)域中將保存為 127；而保存在指數(shù)域中的 64 則表示實(shí)際的指數(shù)值 -63。偏差的引入使得對(duì)于單精度數(shù)，實(shí)際可以表達(dá)的指數(shù)值的范圍就變成 -127 到 128 之間（包含兩端）[-127, 128]。

　　我們不久還將看到：

　　實(shí)際的指數(shù)值 -127（保存為 全 0），即： 首先-127原碼1-111 1111，的補(bǔ)碼1-000 0001，然后加上單精度偏執(zhí)： 0-111 111 ,即結(jié)果：0-000 0000，全0.　　所以0-000 0000 指數(shù)位表示：-127，即e^-127

　　以及 +128（保存為全 1）， 即：首先+128原碼‘1’-000 0000，的補(bǔ)碼， ‘1’-000 0000，然后加上單精度偏執(zhí)：0-111 111 ,， 即結(jié)果：‘1’-111 1111，全1。?　　即全1 指數(shù)位表示：+128，即e⁺¹²⁸

　　這些特殊值，保留用作特殊值的處理。這樣，實(shí)際可以表達(dá)的有效指數(shù)范圍就在 -127 和 127 之間。在本文中，最小指數(shù)和最大指數(shù)分別用 emin 和 emax 來(lái)表達(dá)。

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　　計(jì)算機(jī)中的符號(hào)數(shù)有三種表示方法，即原碼、反碼和補(bǔ)碼。

　　如補(bǔ)碼的求取：
　　　　①　　正數(shù)（符號(hào)位為0的數(shù)）補(bǔ)碼與原碼相同.
　　　　②　　負(fù)數(shù)（符號(hào)位為1的數(shù)）變?yōu)檠a(bǔ)碼時(shí)符號(hào)位不變,其余各項(xiàng)取反,最后在末尾+1；即求負(fù)數(shù)的反碼不包括符號(hào)位。
　　例如：正數(shù)　　原碼01100110,補(bǔ)碼為：01100110
　　　　　負(fù)數(shù)　　原碼11100110,先變反碼：10011001,再加1變?yōu)檠a(bǔ)碼：10011010
　　計(jì)算機(jī)中的符號(hào)數(shù)有三種表示方法，即原碼、反碼和補(bǔ)碼。三種表示方法均有符號(hào)位和數(shù)值位兩部分，符號(hào)位都是用0表示“正”，用1表示“負(fù)”，而數(shù)值位，三種表示方法各不相同。
　　在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中，數(shù)值一律用補(bǔ)碼來(lái)表示和存儲(chǔ)。原因在于：①使用補(bǔ)碼，可以將符號(hào)位和數(shù)值域統(tǒng)一處理；②同時(shí)，加法和減法也可以統(tǒng)一處理。此外，③補(bǔ)碼與原碼相互轉(zhuǎn)換，其運(yùn)算過程是相同的，不需要額外的硬件電路。
　　特性
　　①　　一個(gè)負(fù)整數(shù)（或原碼）與其補(bǔ)數(shù)（或補(bǔ)碼）相加，和為模。eg:原碼11100110, 補(bǔ)碼：10011010 和：
　?、凇　?duì)一個(gè)整數(shù)的補(bǔ)碼再求補(bǔ)碼，等于該整數(shù)自身。
　　③　　補(bǔ)碼的正零與負(fù)零表示方法相同。即 0-0000000， 1-0000000取反加1， 0-0000000

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　?、邸　D例中的第三個(gè)域?yàn)槲矓?shù)域，其中單精度數(shù)為 23 位長(zhǎng)，雙精度數(shù)為 52 位長(zhǎng)。除了我們將要講到的某些特殊值外，IEEE 標(biāo)準(zhǔn)要求浮點(diǎn)數(shù)必須是規(guī)范的。這意味著尾數(shù)的小數(shù)點(diǎn)左側(cè)必須為 1，因此我們?cè)诒４嫖矓?shù)的時(shí)候，可以省略小數(shù)點(diǎn)前面這個(gè) 1，從而騰出一個(gè)二進(jìn)制位來(lái)保存更多的尾數(shù)。這樣我們實(shí)際上用 23 位長(zhǎng)的尾數(shù)域表達(dá)了 24 位的尾數(shù)。比如對(duì)于單精度數(shù)而言，二進(jìn)制的 1001.101（對(duì)應(yīng)于十進(jìn)制的 9.625）可以表達(dá)為 1.001101 × 23，所以實(shí)際保存在尾數(shù)域中的值為 00110100000000000000000，即去掉小數(shù)點(diǎn)左側(cè)的 1，并用 0 在右側(cè)補(bǔ)齊。

?　　根據(jù)IEEE（美國(guó)電氣和電子工程師學(xué)會(huì)）754標(biāo)準(zhǔn)要求，無(wú)法精確保存的值必須向最接近的可保存的值進(jìn)行舍入。這有點(diǎn)像我們熟悉的十進(jìn)制的四舍五入，即不足一半則舍，一半以上（包括一半）則進(jìn)。不過對(duì)于二進(jìn)制浮 點(diǎn)數(shù)而言，還多一條規(guī)矩，就是當(dāng)需要舍入的值剛好是一半時(shí)，不是簡(jiǎn)單地進(jìn)，而是在前后兩個(gè)等距接近的可保存的值中，取其中最后一位有效數(shù)字為零者。從上面 的示例中可以看出，奇數(shù)都被舍入為偶數(shù)，且有舍有進(jìn)。我們可以將這種舍入誤差理解為"半位"的誤差。所以，為了避免 7.22 對(duì)很多人造成的困惑，有些文章經(jīng)常以 7.5 位來(lái)說明單精度浮點(diǎn)數(shù)的精度問題。

　　據(jù)以上分析，IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)中定義浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍為：

　　單精度浮點(diǎn)數(shù)　　二進(jìn)制：± (2-2^^-23) × 2^{127　　　　對(duì)應(yīng)十進(jìn)制：　　~ ± 10^38.53}

　　雙精度浮點(diǎn)數(shù) 　? 二進(jìn)制：± (2-2^^-52) × 2¹⁰²³

　　浮點(diǎn)數(shù)的表示有一定的范圍，超出范圍時(shí)會(huì)產(chǎn)生溢出（Flow），一般稱大于絕對(duì)值最大的數(shù)據(jù)為上溢（Overflow），小于絕對(duì)值最小的數(shù)據(jù)為下溢（Underflow）。

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2.?浮點(diǎn)數(shù)的表示約定

　　單精度浮點(diǎn)數(shù)和雙精度浮點(diǎn)數(shù)都是用IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)定義的，其中有一些特殊約定，例如：

　　（1）　　當(dāng)P=0，M=0時(shí)，表示0。
　　（2）　　當(dāng)P=255，M=0時(shí)，表示無(wú)窮大，用符號(hào)位來(lái)確定是正無(wú)窮大還是負(fù)無(wú)窮大。
　　（3）　　當(dāng)P=255，M≠0時(shí)，表示NaN（Not a Number，不是一個(gè)數(shù)）。

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3.?特殊值

　通過前面的介紹，你應(yīng)該已經(jīng)了解的浮點(diǎn)數(shù)的基本知識(shí)，這些知識(shí)對(duì)于一個(gè)不接觸浮點(diǎn)數(shù)應(yīng)用的人應(yīng)該足夠了。不過，如果你興趣正濃，或者面對(duì)著一個(gè)棘手的浮點(diǎn)數(shù)應(yīng)用，可以通過本節(jié)了解到關(guān)于浮點(diǎn)數(shù)的一些值得注意的特殊之處。

　　我們已經(jīng)知道，單精度浮點(diǎn)數(shù)指數(shù)域?qū)嶋H可以表達(dá)的指數(shù)值的范圍為 -127 到 128 之間（包含兩端）。其中，值 -127（保存為全0）以及 +128（保存為全1）保留用作特殊值的處理。本節(jié)將詳細(xì) IEEE 標(biāo)準(zhǔn)中所定義的這些特殊值。

　　浮點(diǎn)數(shù)中的特殊值主要用于特殊情況或者錯(cuò)誤的處理。比如在程序?qū)σ粋€(gè)負(fù)數(shù)進(jìn)行開平方時(shí)，一個(gè)特殊的返回值將用于標(biāo)記這種錯(cuò)誤，該值為 NaN（Not a Number）。沒有這樣的特殊值，對(duì)于此類錯(cuò)誤只能粗暴地終止計(jì)算。除了 NaN 之外，IEEE 標(biāo)準(zhǔn)還定義了 ±0，±∞ 以及非規(guī)范化數(shù)（Denormalized Number）。

　　對(duì)于單精度浮點(diǎn)數(shù)，所有這些特殊值都由保留的特殊指數(shù)值 -127 和 128 來(lái)編碼。如果我們分別用?e_min?和?e_max?來(lái)表達(dá)其它常規(guī)指數(shù)值范圍的邊界，即 -126 和 127，則保留的特殊指數(shù)值可以分別表達(dá)為?e_min?- 1 和?e_max?+ 1; ?；谶@個(gè)表達(dá)方式，IEEE 標(biāo)準(zhǔn)的特殊值如下所示：

　　

　　其中?f?表示尾數(shù)中的小數(shù)點(diǎn)右側(cè)的（Fraction）部分，即標(biāo)準(zhǔn)記法中的有效部分-1。

　　第一行即我們之前介紹的普通的規(guī)范化浮點(diǎn)數(shù)。隨后我們將分別對(duì)余下的特殊值加以介紹。

　　第2,3,4,5行，是特殊值。

（1）NaN

　　NaN 用于處理計(jì)算中出現(xiàn)的錯(cuò)誤情況，比如 0.0 除以 0.0 或者求負(fù)數(shù)的平方根。

　　由上面的表中可以看出，對(duì)于單精度浮點(diǎn)數(shù)，NaN 表示為指數(shù)為?e_max?+ 1 =?128（指數(shù)域全為 1），且尾數(shù)域不等于零的浮點(diǎn)數(shù)。IEEE 標(biāo)準(zhǔn)沒有要求具體的尾數(shù)域，所以?NaN 實(shí)際上不是一個(gè)，而是一族。

　　不同的實(shí)現(xiàn)可以自由選擇尾數(shù)域的值來(lái)表達(dá) NaN，比如 Java 中的常量 Float.NaN 的浮點(diǎn)數(shù)可能表達(dá)為 0-11111111-10000000000000000000000，其中尾數(shù)域的第一位為 1，其余均為 0（不計(jì)隱藏的一位），但這取決系統(tǒng)的硬件架構(gòu)。Java 中甚至允許程序員自己構(gòu)造具有特定位模式的 NaN 值（通過 Float.intBitsToFloat() 方法）。比如，程序員可以利用這種定制的 NaN 值中的特定位模式來(lái)表達(dá)某些診斷信息。定制的 NaN 值，可以通過 Float.isNaN() 方法判定其為 NaN，但是它和 Float.NaN 常量卻不相等。

　　實(shí)際上，所有的 NaN 值都是無(wú)序的。數(shù)值比較操作符 <，<=，> 和 >= 在任一操作數(shù)為 NaN 時(shí)均返回 false。等于操作符 == 在任一操作數(shù)為 NaN 時(shí)均返回 false，即使是兩個(gè)具有相同位模式的 NaN 也一樣。而操作符 != 則當(dāng)任一操作數(shù)為 NaN 時(shí)返回 true。

　　這個(gè)規(guī)則的一個(gè)有趣的結(jié)果是 x!=x 當(dāng) x 為 NaN 時(shí)竟然為真。

　　

　　此外，任何有 NaN 作為操作數(shù)的操作也將產(chǎn)生 NaN。用特殊的 NaN 來(lái)表達(dá)上述運(yùn)算錯(cuò)誤的意義在于避免了因這些錯(cuò)誤而導(dǎo)致運(yùn)算的不必要的終止。比如，如果一個(gè)被循環(huán)調(diào)用的浮點(diǎn)運(yùn)算方法，可能由于輸入的參數(shù)問題而導(dǎo)致發(fā)生這些錯(cuò)誤，NaN 使得 即使某次循環(huán)發(fā)生了這樣的錯(cuò)誤，也可以簡(jiǎn)單地繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)以進(jìn)行那些沒有錯(cuò)誤的運(yùn)算。你可能想到，既然 Java 有異常處理機(jī)制，也許可以通過捕獲并忽略異常達(dá)到相同的效果。但是，要知道，IEEE 標(biāo)準(zhǔn)不是僅僅為 Java 而制定的，各種語(yǔ)言處理異常的機(jī)制不盡相同，這將使得代碼的遷移變得更加困難。何況，不是所有語(yǔ)言都有類似的異常或者信號(hào)（Signal）處理機(jī)制。

（2）無(wú)窮

　　和 NaN 一樣，特殊值無(wú)窮（Infinity）的指數(shù)部分同樣為 emax + 1 = 128，不過無(wú)窮的尾數(shù)域必須為零。無(wú)窮用于表達(dá)計(jì)算中產(chǎn)生的上溢（Overflow）問題。比如兩個(gè)極大的數(shù)相乘時(shí)，盡管兩個(gè)操作數(shù)本身可以用保存為浮點(diǎn)數(shù)，但其結(jié)果可能大到無(wú)法保存為浮點(diǎn)數(shù)，而必須進(jìn)行舍入。根據(jù) IEEE 標(biāo)準(zhǔn)，此時(shí)不是將結(jié)果舍入為可以保存的最大的浮點(diǎn)數(shù)（因?yàn)檫@個(gè)數(shù)可能離實(shí)際的結(jié)果相差太遠(yuǎn)而毫無(wú)意義），而是將其舍入為無(wú)窮。對(duì)于負(fù)數(shù)結(jié)果也是如此，只不過此時(shí)舍入為負(fù)無(wú)窮，也就是說符號(hào)域?yàn)?1 的無(wú)窮。有了 NaN 的經(jīng)驗(yàn)我們不難理解，特殊值無(wú)窮使得計(jì)算中發(fā)生的上溢錯(cuò)誤不必以終止運(yùn)算為結(jié)果。

　　無(wú)窮和除 NaN 以外的其它浮點(diǎn)數(shù)一樣是有序的，從小到大依次為負(fù)無(wú)窮，負(fù)的有窮非零值，正負(fù)零（隨后介紹），正的有窮非零值以及正無(wú)窮。除 NaN 以外的任何非零值除以零，結(jié)果都將是無(wú)窮，而符號(hào)則由作為除數(shù)的零的符號(hào)決定。　　

　　回顧我們對(duì) NaN 的介紹，當(dāng)零除以零時(shí)得到的結(jié)果不是無(wú)窮而是 NaN 。原因不難理解，當(dāng)除數(shù)和被除數(shù)都逼近于零時(shí)，其商可能為任何值，所以 IEEE 標(biāo)準(zhǔn)決定此時(shí)用 NaN 作為商比較合適。

（3）有符號(hào)的零

　　因?yàn)?IEEE 標(biāo)準(zhǔn)的浮點(diǎn)數(shù)格式中，小數(shù)點(diǎn)左側(cè)的 1 是隱藏的，而零顯然需要尾數(shù)必須是零。所以，零也就無(wú)法直接用這種格式表達(dá)而只能特殊處理。實(shí)際上，零保存為尾數(shù)域?yàn)槿珵?0，指數(shù)域?yàn)?emin - 1 = -127，也就是說指數(shù)域也全為 0?？紤]到符號(hào)域的作用，所以存在著兩個(gè)零，即 +0 和 -0。不同于正負(fù)無(wú)窮之間是有序的，IEEE 標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定正負(fù)零是相等的。

　零有正負(fù)之分，的確非常容易讓人困惑。這一點(diǎn)是基于數(shù)值分析的多種考慮，經(jīng)利弊權(quán)衡后形成的結(jié)果。有符號(hào)的零可以避免運(yùn)算中，特別是涉及無(wú)窮的運(yùn)算中，符號(hào)信息的丟失。舉例而言，如果零無(wú)符號(hào)，則等式 1/(1/x) = x 當(dāng)x = ±∞ 時(shí)不再成立。原因是如果零無(wú)符號(hào)，1 和正負(fù)無(wú)窮的比值為同一個(gè)零，然后 1 與 0 的比值為正無(wú)窮，符號(hào)沒有了。解決這個(gè)問題，除非無(wú)窮也沒有符號(hào)。但是無(wú)窮的符號(hào)表達(dá)了上溢發(fā)生在數(shù)軸的哪一側(cè)，這個(gè)信息顯然是不能不要的。零有符號(hào)也造成了其它問題，比如當(dāng) x=y 時(shí)，等式1/x = 1/y 在 x 和 y 分別為 +0 和 -0 時(shí)，兩端分別為正無(wú)窮和負(fù)無(wú)窮而不再成立。當(dāng)然，解決這個(gè)問題的另一個(gè)思路是和無(wú)窮一樣，規(guī)定零也是有序的。但是，如果零是有序的，則即使 if (x==0) 這樣簡(jiǎn)單的判斷也由于 x 可能是 ±0 而變得不確定了。兩害取其輕者，零還是無(wú)序的好。

（4）非規(guī)范化數(shù)

　　我們來(lái)考察浮點(diǎn)數(shù)的一個(gè)特殊情況。選擇兩個(gè)絕對(duì)值極小的浮點(diǎn)數(shù)，以單精度的二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)為例，比如 1.001 × 2-125 和 1.0001 × 2-125 這兩個(gè)數(shù)（分別對(duì)應(yīng)于十進(jìn)制的 2.6448623 × 10-38 和 2.4979255 × 10-38）。顯然，他們都是普通的浮點(diǎn)數(shù)（指數(shù)為 -125，大于允許的最小值 -126；尾數(shù)更沒問題），按照 IEEE 754 可以分別保存為 00000001000100000000000000000000（0x1100000）和 00000001000010000000000000000000（0x1080000）。
　　現(xiàn)在我們看看這兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)的差值。不難得出，該差值為 0.0001 × 2-125，表達(dá)為規(guī)范浮點(diǎn)數(shù)則為 1.0 × 2-129。問題在于其指數(shù)大于允許的最小指數(shù)值，所以無(wú)法保存為規(guī)范浮點(diǎn)數(shù)。最終，只能近似為零（Flush to Zero）。這中特殊情況意味著下面本來(lái)十分可靠的代碼也可能出現(xiàn)問題：

if (x != y) {z = 1 / (x -y);}

　　正如我們精心選擇的兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)展現(xiàn)的問題一樣，即使?x 不等于 y，x 和 y 的差值仍然可能絕對(duì)值過小，而近似為零，導(dǎo)致除以 0 的情況發(fā)生。

　　為了解決此類問題，IEEE 標(biāo)準(zhǔn)中引入了非規(guī)范（Denormalized）浮點(diǎn)數(shù)。規(guī)定當(dāng)浮點(diǎn)數(shù)的指數(shù)為允許的最小指數(shù)值，即 emin 時(shí)，尾數(shù)不必是規(guī)范化的。比如上面例子中的差值可以表達(dá)為非規(guī)范的浮點(diǎn)數(shù) 0.001 × 2-126，其中指數(shù) -126 等于 emin。注意，這里規(guī)定的是"不必"，這也就意味著"可以"。當(dāng)浮點(diǎn)數(shù)實(shí)際的指數(shù)為 emin，且指數(shù)域也為 emin 時(shí)，該浮點(diǎn)數(shù)仍是規(guī)范的，也就是說，保存時(shí)隱含著一個(gè)隱藏的尾數(shù)位。為了保存非規(guī)范浮點(diǎn)數(shù)，IEEE 標(biāo)準(zhǔn)采用了類似處理特殊值零時(shí)所采用的辦法，即用特殊的指數(shù)域值 emin - 1?加以標(biāo)記，當(dāng)然，此時(shí)的尾數(shù)域不能為零。這樣，例子中的差值可以保存為 00000000000100000000000000000000（0x100000），沒有隱含的尾數(shù)位。
　　有了非規(guī)范浮點(diǎn)數(shù)，去掉了隱含的尾數(shù)位的制約，可以保存絕對(duì)值更小的浮點(diǎn)數(shù)。而且，也由于不再受到隱含尾數(shù)域的制約，上述關(guān)于極小差值的問題也不存在了，因?yàn)樗锌梢员４娴母↑c(diǎn)數(shù)之間的差值同樣可以保存。

4.?范圍和精度

　很多小數(shù)根本無(wú)法在二進(jìn)制計(jì)算機(jī)中精確表示（比如最簡(jiǎn)單的 0.1）由于浮點(diǎn)數(shù)尾數(shù)域的位數(shù)是有限的，為此，浮點(diǎn)數(shù)的處理辦法是持續(xù)該過程直到由此得到的尾數(shù)足以填滿尾數(shù)域，之后對(duì)多余的位進(jìn)行舍入。

　　換句話說，除了我們之前講到的精度問題之外，十進(jìn)制到二進(jìn)制的變換也并不能保證總是精確的，而只能是近似值。

　　事實(shí)上，只有很少一部分十進(jìn)制小數(shù)具有精確的二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)表達(dá)。再加上浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算過程中的誤差累積，結(jié)果是很多我們看來(lái)非常簡(jiǎn)單的十進(jìn)制運(yùn)算在計(jì)算機(jī)上卻往往出人意料。這就是最常見的浮點(diǎn)運(yùn)算的"不準(zhǔn)確"問題。

　　參見下面的 Java 示例：

System.out.print("34.6-34.0=" + (34.6f-34.0f));

　　這段代碼的輸出結(jié)果如下：

34.6-34.0=0.5999985

　　產(chǎn)生這個(gè)誤差的原因是?34.6 無(wú)法精確的表達(dá)為相應(yīng)的浮點(diǎn)數(shù)，而只能保存為經(jīng)過舍入的近似值。這個(gè)近似值與 34.0 之間的運(yùn)算自然無(wú)法產(chǎn)生精確的結(jié)果。

　　存儲(chǔ)格式的范圍和精度如下表所示：

5. 舍入

　　值得注意的是，對(duì)于單精度數(shù)，由于我們只有?24 位的尾數(shù)（其中一位隱藏），所以可以表達(dá)的最大指數(shù)為 2²⁴?- 1 = 16,777,215。

　　特別的，16,777,216 是偶數(shù)，所以我們可以通過將它除以 2 并相應(yīng)地調(diào)整指數(shù)來(lái)保存這個(gè)數(shù)，這樣 16,777,216 同樣可以被精確的保存。相反，數(shù)值 　　　　　16,777,217 則無(wú)法被精確的保存。由此，我們可以看到單精度的浮點(diǎn)數(shù)可以表達(dá)的十進(jìn)制數(shù)值中，真正有效的數(shù)字不高于 8 位。

　　事實(shí)上，對(duì)相對(duì)誤差的數(shù)值分析結(jié)果顯示有效的精度大約為 7.22 位。

　　實(shí)例如下所示：

　　

　　根 據(jù)標(biāo)準(zhǔn)要求，無(wú)法精確保存的值必須向最接近的可保存的值進(jìn)行舍入。這有點(diǎn)像我們熟悉的十進(jìn)制的四舍五入，即不足一半則舍，一半以上（包括一半）則進(jìn)。不過 對(duì)于二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)而言，還多一條規(guī)矩，就是當(dāng)需要舍入的值剛好是一半時(shí)，不是簡(jiǎn)單地進(jìn)，而是在前后兩個(gè)等距接近的可保存的值中，取其中最后一位有效數(shù)字為 零者。從上面的示例中可以看出，奇數(shù)都被舍入為偶數(shù)，且有舍有進(jìn)。我們可以將這種舍入誤差理解為"半位"的誤差。所以，為了避免 7.22 對(duì)很多人造成的困惑，有些文章經(jīng)常以 7.5 位來(lái)說明單精度浮點(diǎn)數(shù)的精度問題。

　　提示:?這里采用的浮點(diǎn)數(shù)舍入規(guī)則有時(shí)被稱為舍入到偶數(shù)（Round to Even）。相比簡(jiǎn)單地逢一半則進(jìn)的舍入規(guī)則，舍入到偶數(shù)有助于從某些角度減小計(jì)算中產(chǎn)生的舍入誤差累積問題。因此為 IEEE 標(biāo)準(zhǔn)所采用。

轉(zhuǎn)載自：http://blog.csdn.net/tercel_zhang/article/details/52537726

總結(jié)

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