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SLAM之特征匹配(二)————RANSAC--------翻译以及经典RANSAC以及其相关的改进的算法小结

發(fā)布時(shí)間：2023/11/27 生活经验 52 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 SLAM之特征匹配(二)————RANSAC--------翻译以及经典RANSAC以及其相关的改进的算法小结小編覺得挺不錯(cuò)的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.

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本文翻譯自維基百科，英文原文地址是：http://en.wikipedia.org/wiki/ransac
??? RANSAC是“RANdom SAmple Consensus（隨機(jī)抽樣一致）”的縮寫。它可以從一組包含“局外點(diǎn)”的觀測數(shù)據(jù)集中，通過迭代方式估計(jì)數(shù)學(xué)模型的參數(shù)。它是一種不確定的算法——它有一定的概率得出一個(gè)合理的結(jié)果；為了提高概率必須提高迭代次數(shù)。該算法最早由Fischler和Bolles于1981年提出。他們使用該算法來解決3D重建中的位置確定問題（Location Determination Problem, LDP）。目前RANSAC算法被廣泛用于計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域中圖像匹配、全景拼接等問題，比如從數(shù)對匹配的特征點(diǎn)中求得兩幅圖片之間的射影變換矩陣，OPENCV實(shí)現(xiàn)stitching類時(shí)即使用了該算法。?
RANSAC算法與最小二乘法的不同之處主要有以下兩點(diǎn)：?
1. 最小二乘法總是使用所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)來估計(jì)參數(shù)，而RANSAC算法僅使用局內(nèi)點(diǎn)；?
2. 最小二乘法是一種確定性算法，給定數(shù)據(jù)集，每一次所得到的模型參數(shù)都是相同的；而RANSAC算法是一種隨機(jī)算法，受迭代次數(shù)等的影響，每一次得到的參數(shù)一般都不相同。?
3. 一般而言，RANSAC算法先根據(jù)一定的準(zhǔn)則篩選出局內(nèi)點(diǎn)和局外點(diǎn)，然后對得到的局內(nèi)點(diǎn)進(jìn)行擬合，擬合方法可以是最小二乘法，也可以是其他優(yōu)化算法，從這個(gè)角度來說，RANSAC算法是最小二乘法的擴(kuò)展。
??? RANSAC的基本假設(shè)是：
（1）數(shù)據(jù)由“局內(nèi)點(diǎn)”組成，例如：數(shù)據(jù)的分布可以用一些模型參數(shù)來解釋；
（2）“局外點(diǎn)”是不能適應(yīng)該模型的數(shù)據(jù)；
（3）除此之外的數(shù)據(jù)屬于噪聲。
??? 局外點(diǎn)產(chǎn)生的原因有：噪聲的極值；錯(cuò)誤的測量方法；對數(shù)據(jù)的錯(cuò)誤假設(shè)。

??? RANSAC也做了以下假設(shè)：給定一組（通常很小的）局內(nèi)點(diǎn)，存在一個(gè)可以估計(jì)模型參數(shù)的過程；而該模型能夠解釋或者適用于局內(nèi)點(diǎn)。

算法的求解過程如下：

首先從數(shù)據(jù)集中隨機(jī)選出一組局內(nèi)點(diǎn)（其數(shù)目要保證能夠求解出模型的所有參數(shù)），計(jì)算出一套模型參數(shù)。
用得到的模型去測試其他所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)，如果某點(diǎn)的誤差在設(shè)定的誤差閾值之內(nèi)，就判定其為局內(nèi)點(diǎn)，否則為局外點(diǎn)，只保留目前為止局內(nèi)點(diǎn)數(shù)目最多的模型，將其記錄為最佳模型。
重復(fù)執(zhí)行1,2步足夠的次數(shù)（即達(dá)到預(yù)設(shè)的迭代次數(shù)）后，使用最佳模型對應(yīng)的局內(nèi)點(diǎn)來最終求解模型參數(shù)，該步可以使用最小二乘法等優(yōu)化算法。
最后可以通過估計(jì)局內(nèi)點(diǎn)與模型的錯(cuò)誤率來評估模型。

本文內(nèi)容
1 示例
2 概述

3 part1 算法

3 part2算法實(shí)例

4 參數(shù)
5 優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)
6 應(yīng)用
7 參考文獻(xiàn)
8 外部鏈接

一、示例
??? 一個(gè)簡單的例子是從一組觀測數(shù)據(jù)中找出合適的2維直線。假設(shè)觀測數(shù)據(jù)中包含局內(nèi)點(diǎn)和局外點(diǎn)，其中局內(nèi)點(diǎn)近似的被直線所通過，而局外點(diǎn)遠(yuǎn)離于直線。簡單的最小二乘法不能找到適應(yīng)于局內(nèi)點(diǎn)的直線，原因是最小二乘法盡量去適應(yīng)包括局外點(diǎn)在內(nèi)的所有點(diǎn)。相反，RANSAC能得出一個(gè)僅僅用局內(nèi)點(diǎn)計(jì)算出模型，并且概率還足夠高。但是，RANSAC并不能保證結(jié)果一定正確，為了保證算法有足夠高的合理概率，我們必須小心的選擇算法的參數(shù)。

左圖：包含很多局外點(diǎn)的數(shù)據(jù)集?????? 右圖：RANSAC找到的直線（局外點(diǎn)并不影響結(jié)果）

二、概述
??? RANSAC算法的輸入是一組觀測數(shù)據(jù)，一個(gè)可以解釋或者適應(yīng)于觀測數(shù)據(jù)的參數(shù)化模型，一些可信的參數(shù)。
??? RANSAC通過反復(fù)選擇數(shù)據(jù)中的一組隨機(jī)子集來達(dá)成目標(biāo)。被選取的子集被假設(shè)為局內(nèi)點(diǎn)，并用下述方法進(jìn)行驗(yàn)證：
??? 1.有一個(gè)模型適應(yīng)于假設(shè)的局內(nèi)點(diǎn)，即所有的未知參數(shù)都能從假設(shè)的局內(nèi)點(diǎn)計(jì)算得出。
??? 2.用1中得到的模型去測試所有的其它數(shù)據(jù)，如果某個(gè)點(diǎn)適用于估計(jì)的模型，認(rèn)為它也是局內(nèi)點(diǎn)。
??? 3.如果有足夠多的點(diǎn)被歸類為假設(shè)的局內(nèi)點(diǎn)，那么估計(jì)的模型就足夠合理。
??? 4.然后，用所有假設(shè)的局內(nèi)點(diǎn)去重新估計(jì)模型，因?yàn)樗鼉H僅被初始的假設(shè)局內(nèi)點(diǎn)估計(jì)過。
??? 5.最后，通過估計(jì)局內(nèi)點(diǎn)與模型的錯(cuò)誤率來評估模型。
??? 這個(gè)過程被重復(fù)執(zhí)行固定的次數(shù)，每次產(chǎn)生的模型要么因?yàn)榫謨?nèi)點(diǎn)太少而被舍棄，要么因?yàn)楸痊F(xiàn)有的模型更好而被選用。

三、part one 算法
??? 偽碼形式的算法如下所示：
輸入：
data —— 一組觀測數(shù)據(jù)
model —— 適應(yīng)于數(shù)據(jù)的模型
n —— 適用于模型的最少數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)
k —— 算法的迭代次數(shù)
t —— 用于決定數(shù)據(jù)是否適應(yīng)于模型的閥值
d —— 判定模型是否適用于數(shù)據(jù)集的數(shù)據(jù)數(shù)目
輸出：
best_model —— 跟數(shù)據(jù)最匹配的模型參數(shù)（如果沒有找到好的模型，返回null）
best_consensus_set —— 估計(jì)出模型的數(shù)據(jù)點(diǎn)
best_error —— 跟數(shù)據(jù)相關(guān)的估計(jì)出的模型錯(cuò)誤

iterations = 0
best_model = null
best_consensus_set = null
best_error = 無窮大
while ( iterations < k )
??? maybe_inliers = 從數(shù)據(jù)集中隨機(jī)選擇n個(gè)點(diǎn)
??? maybe_model = 適合于maybe_inliers的模型參數(shù)
??? consensus_set = maybe_inliers

??? for ( 每個(gè)數(shù)據(jù)集中不屬于maybe_inliers的點(diǎn) ）
??? ??? if ( 如果點(diǎn)適合于maybe_model，且錯(cuò)誤小于t ）
??? ??? ??? 將點(diǎn)添加到consensus_set
??? if （ consensus_set中的元素?cái)?shù)目大于d ）
??? ??? 已經(jīng)找到了好的模型，現(xiàn)在測試該模型到底有多好
??? ??? better_model = 適合于consensus_set中所有點(diǎn)的模型參數(shù)
??? ??? this_error = better_model究竟如何適合這些點(diǎn)的度量
??? ??? if ( this_error < best_error )
??? ??? ??? 我們發(fā)現(xiàn)了比以前好的模型，保存該模型直到更好的模型出現(xiàn)
??? ??? ??? best_model =? better_model
??? ??? ??? best_consensus_set = consensus_set
??? ??? ??? best_error =? this_error
??? 增加迭代次數(shù)
返回 best_model, best_consensus_set, best_error

??? RANSAC算法的可能變化包括以下幾種：
??? （1）如果發(fā)現(xiàn)了一種足夠好的模型（該模型有足夠小的錯(cuò)誤率），則跳出主循環(huán)。這樣可能會節(jié)約計(jì)算額外參數(shù)的時(shí)間。
??? （2）直接從maybe_model計(jì)算this_error，而不從consensus_set重新估計(jì)模型。這樣可能會節(jié)約比較兩種模型錯(cuò)誤的時(shí)間，但可能會對噪聲更敏感。

三、part two算法實(shí)例

C++代碼實(shí)現(xiàn)

Ziv Yaniv以最簡單的直線擬合為例，寫過一版RANSAC算法的C++實(shí)現(xiàn)，沒有依賴任何其他庫，但該版代碼對C++的依賴較重，使用了C++的一些高級數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，比如vector, set，在遍歷時(shí)還使用了遞歸算法。詳細(xì)代碼可參見RANSAC代碼示例?
部分代碼及相關(guān)注釋如下：

//頂層變量定義
vector<double> lineParameters;//存儲模型參數(shù)
LineParamEstimator lpEstimator(0.5);//誤差閾值設(shè)置為0.5
vector<Point2D> pointData;//數(shù)據(jù)點(diǎn)集
int numForEstimate=2;//進(jìn)行一次參數(shù)估計(jì)所需的最小樣本點(diǎn)數(shù)，因?yàn)槭侵本€擬合，所以可以直接設(shè)為2//頂層函數(shù)的定義/*** Estimate the model parameters using the maximal consensus set by going over ALL possible* subsets (brute force approach).* Given: n -  data.size()*        k - numForEstimate* We go over all n choose k subsets       n!*                                     ------------*                                      (n-k)! * k!* @param parameters A vector which will contain the estimated parameters.*                   If there is an error in the input then this vector will be empty.*                   Errors are: 1. Less data objects than required for an exact fit.* @param paramEstimator An object which can estimate the desired parameters using either an exact fit or a*                       least squares fit.* @param data The input from which the parameters will be estimated.* @param numForEstimate The number of data objects required for an exact fit.* @return Returns the percentage of data used in the least squares estimate.** NOTE: This method should be used only when n choose k is small (i.e. k or (n-k) are approximatly equal to n)**///T是數(shù)據(jù)的類型，該例子中是二維坐標(biāo)點(diǎn)，作者自己定義了一個(gè)類Point2D來表示；S是參數(shù)的類型，此處為雙精度double型
template  <class T, class S>
double Ransac<T, S>::compute(std::vector<S> &parameters,ParameterEsitmator<T, S> *paramEstimator,
std::vector<T> &data,
int numForEstimate)
{std::vector<T *> leastSquaresEstimateData;int numDataObjects = data.size();//數(shù)據(jù)集的大小，100int numVotesForBest = -1;//最佳模型所對應(yīng)的局內(nèi)點(diǎn)數(shù)目初始化為-1int *arr = new int[numForEstimate];//要進(jìn)行一次計(jì)算所需的樣本數(shù)：2
short *curVotes = new short[numDataObjects];  //one if data[i] agrees with the current model, otherwise zeroshort *bestVotes = new short[numDataObjects];  //one if data[i] agrees with the best model, otherwise zero//there are less data objects than the minimum required for an exact fitif (numDataObjects < numForEstimate)return 0;//computeAllChoices函數(shù)尋找局內(nèi)點(diǎn)數(shù)目最多的模型，并將局內(nèi)點(diǎn)信息存儲在bestVotes數(shù)組中，作為最終的模型computeAllChoices(paramEstimator, data, numForEstimate,bestVotes, curVotes, numVotesForBest, 0, data.size(), numForEstimate, 0, arr);//將所有的局內(nèi)點(diǎn)取出，存儲在leastSquareEstimateData數(shù)組中
for (int j = 0; j<numDataObjects; j++) {if (bestVotes[j])leastSquaresEstimateData.push_back(&(data[j]));}
//利用所有局內(nèi)點(diǎn)進(jìn)行最小二乘參數(shù)估計(jì)，估計(jì)的結(jié)果存儲在parameters數(shù)組中paramEstimator->leastSquaresEstimate(leastSquaresEstimateData, parameters);//釋放動態(tài)數(shù)組delete[] arr;delete[] bestVotes;delete[] curVotes;
//返回值為局內(nèi)點(diǎn)占所有數(shù)據(jù)點(diǎn)的比值return (double)leastSquaresEstimateData.size() / (double)numDataObjects;
}//尋找最佳模型的函數(shù)定義如下：
//使用遞歸算法來對數(shù)據(jù)集進(jìn)行n!/((n-k)!k!)次遍歷
template<class T, class S>
void Ransac<T, S>::computeAllChoices(ParameterEsitmator<T, S> *paramEstimator, std::vector<T> &data, int numForEstimate,short *bestVotes, short *curVotes, int &numVotesForBest, int startIndex, int n, int k, int arrIndex, int *arr)
{//we have a new choice of indexes//每次k從2開始遞減到0的時(shí)候，表示新取了2個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，可以進(jìn)行一次參數(shù)估計(jì)if (k == 0) {estimate(paramEstimator, data, numForEstimate, bestVotes, curVotes, numVotesForBest, arr);return;}//continue to recursivly generate the choice of indexesint endIndex = n - k;for (int i = startIndex; i <= endIndex; i++) {arr[arrIndex] = i;computeAllChoices(paramEstimator, data, numForEstimate, bestVotes, curVotes, numVotesForBest,i + 1, n, k - 1, arrIndex + 1, arr);//遞歸調(diào)用 }}
//進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，并根據(jù)情況更新當(dāng)前最佳模型的函數(shù)，最佳模型的局內(nèi)點(diǎn)信息存儲在數(shù)組bestVotes中，而局內(nèi)點(diǎn)的數(shù)目則是由numVotesForBest存儲
//arr數(shù)組存儲的是本輪兩個(gè)樣本點(diǎn)在data中的索引值
template<class T, class S>
void Ransac<T, S>::estimate(ParameterEsitmator<T, S> *paramEstimator, std::vector<T> &data, int numForEstimate,short *bestVotes, short *curVotes, int &numVotesForBest, int *arr){std::vector<T *> exactEstimateData;std::vector<S> exactEstimateParameters;int numDataObjects;int numVotesForCur;//initalize with -1 so that the first computation will be set to bestint j;numDataObjects = data.size();memset(curVotes, '\0', numDataObjects * sizeof(short));//數(shù)組中的點(diǎn)全部初始化為局外點(diǎn)numVotesForCur = 0;for (j = 0; j<numForEstimate; j++)exactEstimateData.push_back(&(data[arr[j]]));// 取出兩個(gè)數(shù)據(jù)的地址paramEstimator->estimate(exactEstimateData, exactEstimateParameters);//用取出的兩點(diǎn)來擬合出一組參數(shù)for (j = 0; j<numDataObjects; j++) {//依次判斷是否為局內(nèi)點(diǎn)if (paramEstimator->agree(exactEstimateParameters, data[j])) {curVotes[j] = 1;numVotesForCur++;}}//如果當(dāng)前模型inlier的數(shù)目大于目前最佳模型inlier的數(shù)目，則取代目前最佳模型，并更新信息if (numVotesForCur > numVotesForBest) {numVotesForBest = numVotesForCur;memcpy(bestVotes, curVotes, numDataObjects * sizeof(short));}
}

RANSAC算法的優(yōu)缺點(diǎn)

該算法最大的優(yōu)點(diǎn)就是具有較強(qiáng)的魯棒性，即使數(shù)據(jù)集中存在明顯錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)時(shí)，也可以得到較好的模型參數(shù)。但是要求局外點(diǎn)的數(shù)目不能太多，雖然我沒有做過具體的實(shí)驗(yàn)，一般而言，局外點(diǎn)所占比例不能超過50%。當(dāng)然后來又出現(xiàn)了一些改進(jìn)的RANSAC算法，比如2013年Anders Hast提出的：Optimal RANSAC算法。
同時(shí)，RANSAC算法的缺點(diǎn)也是顯而易見的，在本文給出的示例中，N個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，每次估計(jì)需要K個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，那么如果要遍歷所有的情況，需要進(jìn)行N!(N?K)!K!N!(N?K)!K!次參數(shù)估計(jì)過程，十分耗費(fèi)資源。實(shí)際中一般不會全部遍歷，而是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)設(shè)置一個(gè)合理的迭代次數(shù)，這顯然不能保證最終得到的是最佳參數(shù)。此外，還涉及到誤差閾值的選取問題，增加了算法的復(fù)雜度。

四、參數(shù)
??? 我們不得不根據(jù)特定的問題和數(shù)據(jù)集通過實(shí)驗(yàn)來確定參數(shù)t和d。然而參數(shù)k（迭代次數(shù)）可以從理論結(jié)果推斷。當(dāng)我們從估計(jì)模型參數(shù)時(shí)，用p表示一些迭代過程中從數(shù)據(jù)集內(nèi)隨機(jī)選取出的點(diǎn)均為局內(nèi)點(diǎn)的概率；此時(shí)，結(jié)果模型很可能有用，因此p也表征了算法產(chǎn)生有用結(jié)果的概率。用w表示每次從數(shù)據(jù)集中選取一個(gè)局內(nèi)點(diǎn)的概率，如下式所示：
??? w = 局內(nèi)點(diǎn)的數(shù)目 / 數(shù)據(jù)集的數(shù)目
??? 通常情況下，我們事先并不知道w的值，但是可以給出一些魯棒的值。假設(shè)估計(jì)模型需要選定n個(gè)點(diǎn)，wn是所有n個(gè)點(diǎn)均為局內(nèi)點(diǎn)的概率；1 ??wn是n個(gè)點(diǎn)中至少有一個(gè)點(diǎn)為局外點(diǎn)的概率，此時(shí)表明我們從數(shù)據(jù)集中估計(jì)出了一個(gè)不好的模型。?(1 ??wn)k表示算法永遠(yuǎn)都不會選擇到n個(gè)點(diǎn)均為局內(nèi)點(diǎn)的概率，它和1-p相同。因此，
????1 ??p?= (1 ??wn)k
??? 我們對上式的兩邊取對數(shù)，得出
????
??? 值得注意的是，這個(gè)結(jié)果假設(shè)n個(gè)點(diǎn)都是獨(dú)立選擇的；也就是說，某個(gè)點(diǎn)被選定之后，它可能會被后續(xù)的迭代過程重復(fù)選定到。這種方法通常都不合理，由此推導(dǎo)出的k值被看作是選取不重復(fù)點(diǎn)的上限。例如，要從上圖中的數(shù)據(jù)集尋找適合的直線，RANSAC算法通常在每次迭代時(shí)選取2個(gè)點(diǎn)，計(jì)算通過這兩點(diǎn)的直線maybe_model，要求這兩點(diǎn)必須唯一。
??? 為了得到更可信的參數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)偏差或它的乘積可以被加到k上。k的標(biāo)準(zhǔn)偏差定義為：
????
五、優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)
??? RANSAC的優(yōu)點(diǎn)是它能魯棒的估計(jì)模型參數(shù)。例如，它能從包含大量局外點(diǎn)的數(shù)據(jù)集中估計(jì)出高精度的參數(shù)。RANSAC的缺點(diǎn)是它計(jì)算參數(shù)的迭代次數(shù)沒有上限；如果設(shè)置迭代次數(shù)的上限，得到的結(jié)果可能不是最優(yōu)的結(jié)果，甚至可能得到錯(cuò)誤的結(jié)果。RANSAC只有一定的概率得到可信的模型，概率與迭代次數(shù)成正比。RANSAC的另一個(gè)缺點(diǎn)是它要求設(shè)置跟問題相關(guān)的閥值。
??? RANSAC只能從特定的數(shù)據(jù)集中估計(jì)出一個(gè)模型，如果存在兩個(gè)（或多個(gè)）模型，RANSAC不能找到別的模型。

六、應(yīng)用
??? RANSAC算法經(jīng)常用于計(jì)算機(jī)視覺，例如同時(shí)求解相關(guān)問題與估計(jì)立體攝像機(jī)的基礎(chǔ)矩陣。

七、參考文獻(xiàn)

Martin A. Fischler and Robert C. Bolles (June 1981). "Random Sample Consensus: A Paradigm for Model Fitting with Applications to Image Analysis and Automated Cartography".?Comm. of the ACM?24: 381–395.?doi:10.1145/358669.358692.
David A. Forsyth and Jean Ponce (2003).?Computer Vision, a modern approach. Prentice Hall.?ISBN?0-13-085198-1.
Richard Hartley and?Andrew Zisserman?(2003).?Multiple View Geometry in Computer Vision?(2nd ed.). Cambridge University Press.
P.H.S. Torr and D.W. Murray (1997). "The Development and Comparison of Robust Methods for Estimating the Fundamental Matrix".?International Journal of Computer Vision?24: 271–300.?doi:10.1023/A:1007927408552.
Ondrej Chum (2005).?"Two-View Geometry Estimation by Random Sample and Consensus".?PhD Thesis.?http://cmp.felk.cvut.cz/~chum/Teze/Chum-PhD.pdf
Sunglok Choi, Taemin Kim, and Wonpil Yu (2009).?"Performance Evaluation of RANSAC Family".?In Proceedings of the British Machine Vision Conference (BMVC).?http://www.bmva.org/bmvc/2009/Papers/Paper355/Paper355.pdf.

八、外部鏈接

RANSAC Toolbox for MATLAB. A research (and didactic) oriented toolbox to explore the RANSAC algorithm in?MATLAB. It is highly configurable and contains the routines to solve a few relevant estimation problems.
Implementation in C++?as a generic template.
RANSAC for Dummies?A simple tutorial with many examples that uses the RANSAC Toolbox for MATLAB.
25 Years of RANSAC Workshop

1. 經(jīng)典RANSAC

? ? ? ?由Fischer和Bolles在1981年的文章[1]中首先提出，簡要的說經(jīng)典RANSAC的目標(biāo)是不斷嘗試不同的目標(biāo)空間參數(shù)，使得目標(biāo)函數(shù)?C?最大化的過程。這個(gè)過程是隨機(jī)（Random）、數(shù)據(jù)驅(qū)動（data-driven）的過程。通過反復(fù)的隨機(jī)選擇數(shù)據(jù)集的子空間來產(chǎn)生一個(gè)模型估計(jì)，然后利用估計(jì)出來的模型，使用數(shù)據(jù)集剩余的點(diǎn)進(jìn)行測試，獲得一個(gè)得分，最終返回一個(gè)得分最高的模型估計(jì)作為整個(gè)數(shù)據(jù)集的模型。

1.1 目標(biāo)函數(shù)

? ? ? ? 在經(jīng)典的RANSAC流程中，目標(biāo)函數(shù)C?可以被看作：在第k次迭代過程中，在當(dāng)前變換參數(shù)作用下，數(shù)據(jù)集中滿足變換參數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，也就是在當(dāng)前變換條件下類內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，而RANSAC就是最大化?C?的的過程。而判斷當(dāng)前某個(gè)點(diǎn)是否為類內(nèi)需要一個(gè)閾值t。

1.2 子集大小

在迭代的過程中，當(dāng)前變換參數(shù)?θ?的計(jì)算需要中的一個(gè)子集?I?來計(jì)算，RANSAC是一個(gè)隨機(jī)從中采樣一個(gè)子集，然后對參數(shù)“估計(jì)-確認(rèn)”的循環(huán)。每一個(gè)子集應(yīng)是一個(gè)大小為m?的最小采樣。所謂最小采樣，就是m?的大小剛好滿足計(jì)算θ?的個(gè)數(shù)即可。

1.3 循環(huán)終止條件

? ? ? ? 按照參考文獻(xiàn)[1]中的說明，在置信度為的條件下，在循環(huán)過程中，至少有一次采樣，使得采樣出的m?個(gè)點(diǎn)均為類內(nèi)點(diǎn)，這樣才能保證在循環(huán)的過程中，至少有一次采樣能取得目標(biāo)函數(shù)的最大值。因此，采樣次數(shù)k應(yīng)該滿足以下條件：

? ? ? ? 這里除了置信度外，m?為子集大小，ε?為類內(nèi)點(diǎn)在中的比例，其中置信度一般設(shè)置為[0.95, 0.99]的范圍內(nèi)。然而在一般情況下，ε?顯然是未知的，因此?ε?可以取最壞條件下類內(nèi)點(diǎn)的比例，或者在初始狀態(tài)下設(shè)置為最壞條件下的比例，然后隨著迭代次數(shù)，不斷更新為當(dāng)前最大的類內(nèi)點(diǎn)比例。

? ? ? ? 另外一種循環(huán)終止條件可以將選取的子集看做為“全部是類內(nèi)點(diǎn)”或“不全部是類內(nèi)點(diǎn)”這兩種結(jié)果的二項(xiàng)分布，而前者的概率為。對于?p?足夠小的情況下，可以將其看作為一種泊松分布，因此，在?k?次循環(huán)中，有?n個(gè)“子集全部是類內(nèi)點(diǎn)”的概率可以表達(dá)為：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

? ? ? ??λ?表示在?k?次循環(huán)中，“子集全都是類內(nèi)點(diǎn)”的選取次數(shù)的期望。例如在RANSAC中，我們希望在這k次循環(huán)中所選子集“沒有一個(gè)全是類內(nèi)點(diǎn)”的概率小于某個(gè)置信度，即：，以置信度為95%為例，λ約等于3，表示在95%置信度下，在?k?次循環(huán)中，平局可以選到3次“好”的子集。

1.4 判斷閾值的選取

閾值?t?是判斷在當(dāng)前的獲得的參數(shù)?θ?下，中某一點(diǎn)是類內(nèi)點(diǎn)還是類外點(diǎn)的判斷依據(jù)。在這里，假定類外點(diǎn)是高斯白噪聲，其均值為0，方差為?σ，誤差的殘差（residuals）符合?n?維的卡方分布（chi-square）。而誤差閾值的選取即可以按照以下的公式計(jì)算[2]。

? ? ? ? α為置信概率，若?α=0.95，那么一個(gè)真實(shí)的類內(nèi)點(diǎn)被誤分類為類外點(diǎn)的概率為5%。

? ? ? ? ?經(jīng)典RANSAC算法的流程如下圖所示：

2. Universal-RANSAC

? ? ? ? 經(jīng)典RANSAC有以下三個(gè)主要的局限性：
? ? ? ? （1）效率：經(jīng)典方法效率與子集大小、類內(nèi)點(diǎn)比例以及數(shù)據(jù)集大小有關(guān)，因此在某些場景下效率較低。

? ? ? ? （2）精度：經(jīng)典方法計(jì)算參數(shù)時(shí)選取最小子集是從效率的角度考慮，往往得到的是非最佳參數(shù)，在應(yīng)用產(chǎn)參數(shù) 之前還需要再經(jīng)過細(xì)化處理。

? ? ? ? （3）退化：經(jīng)典方法的目標(biāo)函數(shù)求取最大化的過程基于一個(gè)假設(shè)：“選取的最小子集中如果有類外點(diǎn)，那么在這種情況下估計(jì)的參數(shù)獲得的目標(biāo)函數(shù)（數(shù)據(jù)集中點(diǎn)的個(gè)數(shù)）往往較少“但這種情況在退化發(fā)生時(shí)有可能是不對的。

? ? ? ? ?針對經(jīng)典方法的這幾項(xiàng)局限性，有很多改進(jìn)，在這里提出了一種全局RANSAC(Universal-RANSAC)的結(jié)構(gòu)圖，每一種改進(jìn)方法都可以看做是這種USAC的特例，如下圖所示。

?

2.1 預(yù)濾波(Stage 0)

? ? ? ?輸入數(shù)據(jù)集，含有?N?個(gè)點(diǎn)，在這一步中，SCRNMSAC[3]，用一個(gè)一致性濾波器對初始的數(shù)據(jù)集進(jìn)行濾波減少數(shù)量，然后將數(shù)據(jù)根據(jù)梯度排序。

?

2.2 最小子集采樣(Stage 1)

? ? ? ?對進(jìn)行采樣時(shí)，經(jīng)典算法采用完全隨機(jī)的方式，這種方式的前提是我們對數(shù)據(jù)的情況完全不知道，在實(shí)際應(yīng)用中，很多情況對數(shù)據(jù)的先驗(yàn)知識是了解的，這對減少采樣次數(shù)，尤其是類內(nèi)點(diǎn)比例較低的數(shù)據(jù)集，有很大幫助，以下是幾種在最小集采樣當(dāng)中對經(jīng)典算法進(jìn)行改進(jìn)的方法。

?

??Stage 1.a 采樣

2.2.1 NAPSAC[4]

? ? ? ?N-Adjacent points sample consensus(NAPSAC)算法認(rèn)為：”數(shù)據(jù)集中，一個(gè)類內(nèi)點(diǎn)與數(shù)據(jù)集中其他類內(nèi)點(diǎn)的距離比類外點(diǎn)要近。”在一個(gè)n維空間中，假定：將數(shù)據(jù)集的n維空間看做一個(gè)超球面，隨著半徑的減少，類外點(diǎn)減少的速度比類內(nèi)點(diǎn)要快（類外點(diǎn)距離球心更遠(yuǎn)）。這種算法可以描述為：

? ? ? ?a.?中隨機(jī)選取一個(gè)點(diǎn)?x?，設(shè)定一個(gè)半徑?r，以?x?為中心?r?為半徑建立超球面；

? ? ? ?b. ?超球面內(nèi)包裹的點(diǎn)少于最小數(shù)據(jù)集的個(gè)數(shù)？返回 a，否則c

? ? ? ?c. ? 均勻的從球體內(nèi)取點(diǎn)，直至滿足最小集中的個(gè)數(shù)。

? ? ? ?這種方法對高維、類內(nèi)點(diǎn)比例低的數(shù)據(jù)集效果明顯，但是容易產(chǎn)生退化，且對于距離都很近的數(shù)據(jù)集效果差。

2.2.2 PROSAC[5]

The progressive sample consensus(PROSAC)將點(diǎn)初始集匹配的結(jié)果作為排序的依據(jù)，使得在采樣時(shí)根據(jù)匹配結(jié)果由高到低的得分進(jìn)行排序，這樣最有可能得到最佳參數(shù)的采樣會較早出現(xiàn)，提高了速度。

2.2.3 GroupSAC[6]

? ? ? ?與NAPSAC類似，GroupSAC認(rèn)為類內(nèi)點(diǎn)更加的“相似”，根據(jù)某種相似性將數(shù)據(jù)集中的點(diǎn)分組。以圖像匹配為例，分組可以基于光流聚類（optical flow-based clustering）、圖像分割等，然后按照PROSAC思想，采樣可以從最大的聚類開始，因?yàn)檫@里應(yīng)該有更高的類內(nèi)點(diǎn)比例。但是這種方法首先要保證有一種先驗(yàn)知識可以用于分類，還有就是要保證分類算法的有效性和實(shí)時(shí)性。

?

? Stage 1.b 采樣驗(yàn)證

經(jīng)典算法在采樣完成后開始進(jìn)行參數(shù)計(jì)算，而有的算法在采樣完成后加了一步驗(yàn)證采樣結(jié)果適不適合進(jìn)行參數(shù)計(jì)算的步驟。比如參數(shù)是計(jì)算單映性矩陣（4個(gè)點(diǎn)），可以根據(jù)chirality constraints 來首先驗(yàn)證采樣是否合法。這種驗(yàn)證計(jì)算量小，比多余的一次參數(shù)計(jì)算劃算。

2.3 根據(jù)最小集產(chǎn)生模型（參數(shù)計(jì)算）(Stage 2)

? Stage 2.a 模型計(jì)算

? ? ? ? 在這一步驟根據(jù)上一步選取的最小集計(jì)算參數(shù)，獲得模型。

? Stage 2.b 模型驗(yàn)證

? ? ? ? 還是利用先驗(yàn)知識，比如點(diǎn)集與圓形匹配，驗(yàn)證時(shí)候沒必要將數(shù)據(jù)集中所有的點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證，而只是在得到模型（圓）的一個(gè)半徑范圍左右驗(yàn)證即可。

2.4 驗(yàn)證參數(shù)(Stage 3)

? ? ? ?傳統(tǒng)的方法在得到最小集產(chǎn)生的參數(shù)后計(jì)算全部集合中滿足參數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)（目標(biāo)函數(shù)），在此，加兩步驗(yàn)證，分為兩點(diǎn)：第一，驗(yàn)證當(dāng)前的模型是否可能獲得最大的目標(biāo)函數(shù)。第二，當(dāng)前模型是非退化的。

? Stage 3.a 可能性驗(yàn)證

2.4.1 T(d,d)測試[5]

? ? ? ? 選取遠(yuǎn)小于數(shù)據(jù)集綜述的?d?個(gè)點(diǎn)作為測試，只有當(dāng)這?d?個(gè)點(diǎn)全都為類內(nèi)點(diǎn)時(shí)，再對剩余的點(diǎn)進(jìn)行測試，否則拋棄當(dāng)前的模型。具體選取辦法見論文[5].

2.4.2 Bail-Out測試[7]

? ? ? ? 選取集合中的若干點(diǎn)進(jìn)行測試，若類內(nèi)點(diǎn)的比例顯著低于當(dāng)前最佳模型類內(nèi)點(diǎn)的比例，拋棄此模型。

2.4.3 SPRT測試[8,9]

? ? ? ?挨個(gè)點(diǎn)測試，表示隨機(jī)選取一個(gè)點(diǎn)符合當(dāng)前模型的概率(good),為“bad”的概率。根據(jù)以下公式，當(dāng)閾值λ超過某閾值的時(shí)候拋棄當(dāng)前模型。

2.4.4 Preemptive測試[10]

? ? ? ?ARRSAC算法[11]，首先產(chǎn)生多個(gè)模型，而不是產(chǎn)生一個(gè)后即對其評價(jià)，然后根據(jù)選取的一部分子集對所產(chǎn)生的模型按照目標(biāo)函數(shù)得分排序，選取前若干個(gè)，做若干輪類似排序，選取最佳模型。 ?

? Stage 3.b 退化驗(yàn)證

? ? ? ? 數(shù)據(jù)退化的意思是無法提供足夠的限制條件產(chǎn)生唯一解。傳統(tǒng)RANSAC即沒有這種安全的保障。

2.5 模型細(xì)化(Stage 4)

? ? ? ? 含有噪聲的數(shù)據(jù)集有兩個(gè)重要特點(diǎn)：1，即使子集中全都是類內(nèi)點(diǎn)，產(chǎn)生的模型也并不一定適用于數(shù)據(jù)集中所有的類內(nèi)點(diǎn)，這個(gè)現(xiàn)象增加了迭代的次數(shù)；2，最終收斂的RANSAC結(jié)果可能受到噪聲未完全清理的影響，并不是全局最優(yōu)的結(jié)果。

? ? ? ? 第一個(gè)影響往往被忽略，因?yàn)殡m然增加了迭代次數(shù)，但是仍然返回的是一個(gè)準(zhǔn)確的模型。而第二種影響就要增加一種模型細(xì)化的后處理。

2.5.1 局部最優(yōu)化[12]

? ? ? ? Lo-RANSAC，局部最優(yōu)RANSAC。在迭代過程中，出現(xiàn)當(dāng)前最優(yōu)解，進(jìn)行Lo-RANSAC。一種方法是從返回結(jié)果的類內(nèi)點(diǎn)中再進(jìn)行采樣計(jì)算模型，設(shè)置一個(gè)固定的迭代次數(shù)（10-20次）然后選取最優(yōu)的局部結(jié)果作為改進(jìn)的結(jié)果，另一種方法是設(shè)置一個(gè)優(yōu)化參數(shù)K（2~3），選取結(jié)果中判斷閾值（t）小于等于Kt?的結(jié)果作為優(yōu)化結(jié)果，K?減小，直至減小至?t?終止。

2.5.1 錯(cuò)誤傳播法[13]

? ? ? ?思想與Lo-RANSAC一致，但是更為直接，因?yàn)槌跏嫉腞ANSAC結(jié)果產(chǎn)生自含有噪聲的數(shù)據(jù)集，因此這個(gè)錯(cuò)誤“傳播”到了最終的模型，協(xié)方差可以看做是估計(jì)兩個(gè)數(shù)據(jù)集關(guān)系是一種不確定的信息（而如上所述，判斷閾值的計(jì)算是固定的）。具體方法參見文獻(xiàn)[13]。

2.6 最終方案--USAC-1.0

? ? ? 最終選取的結(jié)果如下圖所示：

stage1：最小集采樣方法采用2.2.2節(jié)中的PROSAC。

stage3：模型（參數(shù)）驗(yàn)證采用2.4.3的SPRT測試。

stage4：產(chǎn)生最終模型，采用2.5.1介紹的Lo-RANSAC。

論文翻譯自：文獻(xiàn)[0]。

----------------------------參考文獻(xiàn)---------------------------

[0]??Raguram R, Chum O, Pollefeys M, et al. USAC: A Universal Framework for Random Sample Consensus[J]. Pattern Analysis & Machine Intelligence IEEE Transactions on, 2013, 35(8):2022-2038.

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[3]?T. Sattler, B. Leibe, and L. Kobbelt, “SCRAMSAC: Improving?RANSAC’s Efficiency with a Spatial ?Consistency Filter,” Proc. 12th?IEEE Int’l Conf. Computer Vision, 2009.

[4]?D.R. Myatt, P.H.S. Torr, S.J. Nasuto, J.M. Bishop, and R. Craddock,“NAPSAC: High Noise, High ?Dimensional Robust Estimation,”Proc. British Machine Vision Conf., pp. 458-467, 2002.

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[8] O. Chum and J. Matas, “Optimal Randomized RANSAC,” IEEE?Trans. Pattern Analysis and Machine ?Intelligence, vol. 30, no. 8,pp. 1472-1482, Aug. 2008.

[9]?J. Matas and O. Chum, “Randomized RANSAC with Sequential?Probability Ratio Test,” Proc. 10th IEEE Int’l Conf. Computer Vision,vol. 2, pp. 1727-1732, Oct. 2005.

[10]?D. Niste′r, “Preemptive RANSAC for Live Structure and Motion?Estimation,” Proc. Ninth IEEE Int’l Conf. Computer Vision, 2003.

[11]?R. Raguram, J.-M. Frahm, and M. Pollefeys, “A Comparative?Analysis of RANSAC Techniques Leading?to Adaptive Real-Time?Random Sample Consensus,” Proc. European Conf. Computer?Vision, pp. 500- 513. 2008,

[12]?O. Chum, J. Matas, and J. Kittler, “Locally Optimized RANSAC,”Proc. DAGM-Symp. Pattern Recognition, pp. 236-243, 2003.

[13]?R. Raguram, J.-M Frahm, and M. Pollefeys, “Exploiting Uncertainty?in Random Sample Consensus,” Proc. 12th IEEE Int’l?Conf. Computer Vision, Oct. 2009.

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的SLAM之特征匹配(二)————RANSAC--------翻译以及经典RANSAC以及其相关的改进的算法小结的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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