一、統(tǒng)計學的基本概念

統(tǒng)計學里最基本的概念就是樣本的均值、方差、標準差。首先，我們給定一個含有n個樣本的集合，下面給出這些概念的公式描述：

均值：

標準差：

方差：

均值描述的是樣本集合的中間點，它告訴我們的信息是有限的，而標準差給我們描述的是樣本集合的各個樣本點到均值的距離之平均。

以這兩個集合為例，[0, 8, 12, 20]和[8, 9, 11, 12]，兩個集合的均值都是10，但顯然兩個集合的差別是很大的，計算兩者的標準差，前者是8.3后者是1.8，顯然后者較為集中，故其標準差小一些，標準差描述的就是這種“散布度”。之所以除以n-1而不是n，是因為這樣能使我們以較小的樣本集更好地逼近總體的標準差，即統(tǒng)計上所謂的“無偏估計”。而方差則僅僅是標準差的平方。

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二、為什么需要協(xié)方差

標準差和方差一般是用來描述一維數(shù)據(jù)的，但現(xiàn)實生活中我們常常會遇到含有多維數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)集，最簡單的是大家上學時免不了要統(tǒng)計多個學科的考試成績。面對這樣的數(shù)據(jù)集，我們當然可以按照每一維獨立的計算其方差，但是通常我們還想了解更多，比如，一個男孩子的猥瑣程度跟他受女孩子的歡迎程度是否存在一些聯(lián)系。協(xié)方差就是這樣一種用來度量兩個隨機變量關(guān)系的統(tǒng)計量，我們可以仿照方差的定義：

來度量各個維度偏離其均值的程度，協(xié)方差可以這樣來定義：

協(xié)方差的結(jié)果有什么意義呢？如果結(jié)果為正值，則說明兩者是正相關(guān)的（從協(xié)方差可以引出“相關(guān)系數(shù)”的定義），也就是說一個人越猥瑣越受女孩歡迎。如果結(jié)果為負值， 就說明兩者是負相關(guān)，越猥瑣女孩子越討厭。如果為0，則兩者之間沒有關(guān)系，猥瑣不猥瑣和女孩子喜不喜歡之間沒有關(guān)聯(lián)，就是統(tǒng)計上說的“相互獨立”。

從協(xié)方差的定義上我們也可以看出一些顯而易見的性質(zhì)，如：

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三、協(xié)方差矩陣

前面提到的猥瑣和受歡迎的問題是典型的二維問題，而協(xié)方差也只能處理二維問題，那維數(shù)多了自然就需要計算多個協(xié)方差，比如n維的數(shù)據(jù)集就需要計算個協(xié)方差，那自然而然我們會想到使用矩陣來組織這些數(shù)據(jù)。給出協(xié)方差矩陣的定義：

這個定義還是很容易理解的，我們可以舉一個三維的例子，假設(shè)數(shù)據(jù)集有三個維度，則協(xié)方差矩陣為：

可見，協(xié)方差矩陣是一個對稱的矩陣，而且對角線是各個維度的方差。

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/jackherrick/p/7127024.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的机器学习：协方差矩阵的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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