推導過程 ： 組合數+容斥原理+gcd

正確做法是暴力的一種優化，ans=所有情況 - 平行坐標軸的三點共線 - 斜線三點共線

如果快速求斜線三點共線：

首先要知道一個結論，對于點(a,b) (x,y)連成的線段而言(其中a>x,b>y)，

在它們中間有gcd(a-x,b-x)-1個整點，因此基本的思路就是枚舉兩個點，

然后第3個點就是gcd(a-x,b-x)-1種可能了

至于為什么第3個點一定要在中間，是為了保證不重不漏，只用兩邊的點統計中間的點，

然而這樣復雜度太高，于是可以發現，可以將這兩個點組成的線段中左下那個端點平移至原點，

這樣相當于只要枚舉一個點，并且由于要考慮k<0的情況，因為矩形是有對稱性的，

所以要求原點+一個點 與 (0,m)+一個點 的和就可以直接2 *（原點+一個點）

由于長的一樣的線有很多，于是問題就轉化為如果求這些一樣的線的個數，

那么可以發現，這樣任意一條線，向上只能平移(n - i)，向下(m - j)次，

所以可能性就為(n - i + 1) * (m - j + 1),其中+1是因為可以向上移動0個單位

但由于這里n,m一開始就加了1，所以這個式子就不用+1了

因此枚舉每個點即可

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define R register int
 4 #define LL long long
 5 LL n,m,ans,go;
 6 
 7 int gcd(int x,int y)
 8 {
 9     if(!y) return x;
10     else return gcd(y,x%y);
11 }
12 
13 void work()
14 {
15     scanf("%lld%lld",&n,&m);
16     ++n,++m;//因為是一個網格，所以真正的坐標系其實有(n+1,m+1)
17     go=n*m;
18     ans=go * (go - 1) * (go - 2) / 6 - n * m * (m - 1) * (m - 2) / 6 - m * n * (n - 1) * (n - 2) / 6;//記得除掉取出數列的全排列
19     for(R i=1; i<n ;i++)//因為是取了原點，所以相當于坐標系是從0開始了
20         for(R j=1; j<m ;j++)//枚舉這個點
21             ans-=(LL)2 * (LL)(gcd(i,j) - 1) * (LL)(n - i) * (LL)(m - j); 
22     printf("%lld\n",ans);
23 }
24 
25 int main()
26 {
27     freopen("in.in","r",stdin);
28     work();
29     fclose(stdin);
30     return 0;
31 }

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轉載于:https://www.cnblogs.com/ww3113306/p/8762942.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[CQOI2014]数三角形 组合数 + 容斥 + gcd的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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