鏈接：

https://www.nowcoder.com/acm/contest/139/B

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題意：

求滿足以下條件的n*n矩陣A的數量模m：
A(i,j) ∈ {0,1,2}, 1≤i,j≤n.
A(i,j) = A(j,i), 1≤i,j≤n.
A(i,1) + A(i,2) + ... + A(i,n) = 2, 1≤i≤n.
A(1,1) = A(2,2) = ... = A(n,n) = 0.
其中1≤n≤1e5, 1≤m≤1e9。

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分析：

把矩陣看成無向圖的鄰接矩陣，即要求所有點度為2，即每個點都屬于一個環。
設d(n)表示n個點滿足條件的圖的數量。
思考每加入一個新點，如何從已知狀態轉移。
1.從前面的n-1個點中選出1個點與新點構成環，有(n-1)d(n-2)種方案。
2.從前面的n-1個點中選出k個點，剩下的點與新點連成環，
有sum(C(n-1,k)*(n-1-k)!/2)(2≤k≤n-3)種方案，
因為剩下的點與新點連成環時的對稱性，所以要除以2。
將以上兩式化簡相加，得d(n) = (n-1)d(n-2) + sum((n-1)!d(k)/k!/2)(2≤k≤n-3)。
設f(n) = sum((n-1)!d(k)/k!/2)(2≤k≤n-3)。
可以發現，f(n)也是可以遞推的，即f(n) = (n-1)f(n-1) + (n-1)(n-2)d(n-3)/2。
所以，線性時間遞推f和d數組即可。

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代碼：

 1 import java.io.*;
 2 import java.util.*;
 3  
 4 public class Main {
 5     Scanner cin = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
 6     final int UP = (int)1e5 + 5;
 7     long d[] = new long[UP], f[] = new long[UP];
 8      
 9     void MAIN() {
10         while(cin.hasNext()) {
11             int n = cin.nextInt();
12             long m = cin.nextInt();
13              
14             d[2] = d[3] = f[3] = 1 % m;
15             for(int i = 4; i <= n; i++) {
16                 f[i] = ((i-1) * f[i-1] % m + (long)(i-1) * (i-2) / 2 % m * d[i-3] % m) % m;
17                 d[i] = ((i-1) * d[i-2] % m + f[i]) % m;
18             }
19             System.out.println(d[n]);
20         }
21     }
22      
23     public static void main(String args[]) { new Main().MAIN(); }
24 }

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轉載于:https://www.cnblogs.com/hkxy125/p/9356303.html

總結

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