N皇后問題是計算機科學中最為經典的問題之一，該問題可追溯到1848年，由國 際西洋棋棋手馬克斯·貝瑟爾于提出了8皇后問題。
將N個皇后放擺放在N*N的棋盤中，互相不可攻擊，有多少種擺放方式，每種擺 放方式具體是怎樣的?

8皇后即 8*8的棋盤中，將8個皇后放置在棋盤上，且皇后之間無法倆倆攻擊到對方。

關于國際象棋中皇后的實力：國際象棋棋局中實力最強的一種棋子，也是最容易被吃掉的棋子。后可橫直斜走，且格數不限

類似4*4的棋盤上，有如下兩種皇后的放置方法:

.Q..
...Q
Q...
..Q...Q.
Q...
...Q
.Q..

分析：
N*N的棋盤放置N個皇后，即至少每一行需要一個皇后；

1. 將一個皇后放置到棋盤上之后，棋盤如何演變（一個皇后放到棋盤，她的影響區域為上，下，左，右，左上，左下，右上，右下）
2. 針對每一個皇后，如何能夠確認下一個皇后，以及下下一個皇后。。。直到能夠放置N個皇后的棋盤分布？

針對問題一，我們可以實現如下算法：
針對棋盤打標:

void mark_queen(int x, int y, std::vector<std::vector<int> > &mark) {/*維護兩個方向數組可以取到皇后的八個方向即可這里定義了const型是為了節省內存，即整個進程代碼運行期間，此時的const兩個數組是存放在常量內存區，且定義為了static，則整個代碼僅僅會有一份拷貝*/static const int dx[] = {0,0,-1,1,-1,1,-1,1}; static const int dy[] = {-1,1,0,0,-1,-1,1,1}; if (x < 0 || x > mark.size() || y < 0 || y > mark.size()) {return ;}mark[x][y] = 1;for (int i = 0;i < mark.size(); ++i) {for (int j = 0;j < 8; ++j) {int new_x = x + i * dx[j];int new_y = y + i * dy[j];if (new_x >= 0 && new_x < mark.size() && new_y >= 0 && new_y < mark.size()) {mark[new_x][new_y] = 1;}}}
}

回到問題2上，我們想要獲取棋盤上能夠放置皇后的方法的個數以及具體的放置位置；
可以先嘗試一個一個放，當然這放置可以按照行放，也可以按照列放（八皇后問題最終的表現形式就是每行只能有一個，每一列只能有一個）。
我們這里的放置皇后的方式都按照行放，第一行第一個：

Q	1	1	1
1	1	0	0
1	0	1	0
1	0	0	1

接下來皇后的放置的規則肯定就是在不能被第一個Q影響的情況下放置了，我們這里仍然按照行進行放置，放第二個,如下紅色1則為重新放置后打入的標記

Q	1	1	1
1	1	Q	1
1	1	1	1
1	0	1	1

再次進行放置，發現第三行已經沒有位置可以放了，此時可以定論，最開始的第一次放置位置不合理，需要進行回溯，回溯到第一次放置Q之前棋盤的位置，即

0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0

綜上過程我們可以知道我們算法實現有以下幾個點

1. 按行（或者列）進行棋盤遍歷，每一次放置一個皇后，并對皇后區域進行打標
2. 以上過程需要遞歸完成，遞歸過程中發現無法達到N*N放置N個皇后時即終止遞歸，并回滾棋盤狀態為第一次放置皇后之前的棋盤狀態。

實現算法如下(文末有完整測試代碼):

/*標記棋盤放置皇后的數組*/
void mark_queen(int x, int y, std::vector<std::vector<int> > &mark) {static const int dx[] = {0,0,-1,1,-1,1,-1,1};static const int dy[] = {-1,1,0,0,-1,-1,1,1};if (x < 0 || x > mark.size() || y < 0 || y > mark.size()) {return ;}mark[x][y] = 1;for (int i = 0;i < mark.size(); ++i) {for (int j = 0;j < 8; ++j) {int new_x = x + i * dx[j];int new_y = y + i * dy[j];if (new_x >= 0 && new_x < mark.size() && new_y >= 0 && new_y < mark.size()) {mark[new_x][new_y] = 1;}}}
}/*遞歸+回溯棋盤狀態*/
void generate(int k, int n, std::vector<string> &location, //用字符表示放置策略std::vector<std::vector<string>> &result, //最終的放置策略的匯總std::vector<std::vector<int> > &mark) { //保存每一次放置皇后的棋盤狀態if (k == n) { //結束條件就是發現當前放置策略支持N個皇后result.push_back(location);return;}/*按行遍歷*/for (int i = 0;i < n; ++i) {/*備份初始棋盤狀態*/std::vector<std::vector<int>> tmp_mark = mark;/*放置位置就是沒有被打標的位置，即不會被其他皇后影響的位置*/if (mark[k][i] == 0) {/*放置一個皇后，針對其進行打標*/mark_queen(k, i, mark);location[k][i] = 'Q';generate(k+1, n, location, result, mark);/*遞歸之后回滾到最初備份的狀態*/mark = tmp_mark;location[k][i] = '.';}}
}
/*初始化棋盤*/
std::vector<std::vector<string> > solve_N_queen(int n) {std::vector<std::vector<int> > mark;std::vector<std::vector<string> > result;std::vector<string> location;for (int i = 0;i < n; ++i) {mark.push_back(std::vector<int> ());for (int j = 0;j < n; ++j) {mark[i].push_back(0);}location.push_back("");location[i].append(n,'.');}generate(0,n,location,result,mark);return result;
}

測試代碼如下:

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <algorithm>/*
N皇后問題是計算機科學中最為經典的問題之一，該問題可追溯到1848年
由國際西洋棋棋手馬克斯·貝瑟爾于提出了8皇后問題。 將N個皇后放擺放在N*N的棋盤中，互相不可攻擊，有多少種擺放方式，每種擺 放方式具體是怎樣的?類似 N = 4
那么如下輸出
solution1:
.Q..
...Q
Q...
..Q.solution2:
..Q.
Q...
...Q
.Q..
*/using namespace std;/*標記棋盤放置皇后的數組*/
void mark_queen(int x, int y, std::vector<std::vector<int> > &mark) {static const int dx[] = {0,0,-1,1,-1,1,-1,1};static const int dy[] = {-1,1,0,0,-1,-1,1,1};if (x < 0 || x > mark.size() || y < 0 || y > mark.size()) {return ;}mark[x][y] = 1;for (int i = 0;i < mark.size(); ++i) {for (int j = 0;j < 8; ++j) {int new_x = x + i * dx[j];int new_y = y + i * dy[j];if (new_x >= 0 && new_x < mark.size() && new_y >= 0 && new_y < mark.size()) {mark[new_x][new_y] = 1;}}}
}void generate(int k, int n, std::vector<string> &location, std::vector<std::vector<string>> &result, std::vector<std::vector<int> > &mark) {if (k == n) {result.push_back(location);return;}for (int i = 0;i < n; ++i) {std::vector<std::vector<int>> tmp_mark = mark;if (mark[k][i] == 0) {mark_queen(k, i, mark);location[k][i] = 'Q';generate(k+1, n, location, result, mark);mark = tmp_mark;location[k][i] = '.';}}
}std::vector<std::vector<string> > solve_N_queen(int n) {std::vector<std::vector<int> > mark;std::vector<std::vector<string> > result;std::vector<string> location;for (int i = 0;i < n; ++i) {mark.push_back(std::vector<int> ());for (int j = 0;j < n; ++j) {mark[i].push_back(0);}location.push_back("");location[i].append(n,'.');}generate(0,n,location,result,mark);return result;
}int main(int argc, char const *argv[])
{int n;cin >> n;std::vector<std::vector<string>> result; result = solve_N_queen(n);cout << "num of method is " << result.size() << endl;cout << "method is " << endl;for (int i = 0; i < result.size(); ++i) {for (int j = 0;j < result[i].size(); ++j) {cout << result[i][j];cout << endl;}cout << endl;}return 0;
}

編譯:g++ -std=c++11 test.c -o test

輸出如下:

#輸入
8
#輸出
num of method is 92
method is 
Q.......
....Q...
.......Q
.....Q..
..Q.....
......Q.
.Q......
...Q....
#以下輸出較多，可自行編譯查看
...#輸入
4
#輸出
num of method is 2
method is 
.Q..
...Q
Q...
..Q...Q.
Q...
...Q
.Q..

總結

以上是生活随笔為你收集整理的递归/回溯：八皇后问题N-Queens的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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