在第一部分中我們就引入了復變函數的概念，但由于復變函數是二維點集之間的映射，所以作出復變函數的圖像并不簡單。事實上，研究復變函數的圖像性質，主要是觀察它將

平面上的平面圖形映成 平面（ ）上的什么圖形——也就是研究兩個平面之間的圖像的大小、方向、形狀之間的關系。

在這一章的內容中，不必太過糾結代數上的嚴謹性和證明的完備性。即使前面的章節中有關復變函數的分析性質掌握得并不好，也不影響我們研究復變函數的圖像作用效果。對定理和映射函數的直觀作用效果的理解要比證明定理和命題更重要，在學習這一章的時候切記要轉換學習思路。

我們需要理解的是如下的導數的幾何意義：

---

考慮

，即原象區域內的一小段線段（研究線段是因為所有的曲線都可以看作是微小的線段組合成的結果），則 為這一小段線段的象。聯想微分 ，可以知道：從原象到象的映射 ，它的導數決定了從原象映射的結果。
這可以從 兩側取幅角和模得到：
(1)式表明 線段相比 線段逆時針轉過了 角度，
(2)式表明 線段相比 線段縮放了 的長度。

---

這兩點還可以歸結為一個定理：

設函數

在區域 內解析，為 內一點，且 ，則映射在 具有：

(1) 保角性——在點

處兩條曲線的夾角與映射后兩條像曲線在像點 處的夾角保持大小和方向不變。（規定 是為了保證導數的幅角有意義，不然在 中會出現無意義的結果）

(2) 伸縮率不變性——過點

的任意一條曲線在 附近都會按 的比例縮放。

如果

在區域 內的每一點都具有保角性和伸縮率不變性，則稱 是 內的保角映射。

注意上述框中的旋轉角方向，如果為逆時針，則稱

是第一類保角映射，如果為順時針，則稱 為第二類保角映射。通常來說，一個第一類保角映射函數的共軛，即為第二類保角映射。

此外，為了講述這一章內容的方便，我們還需要記住以下幾個具有指導意義的定理。這些定理不需要掌握證明，我們的應用也僅僅只停留在對這些定理的字面理解上。

（1）（逆映射的存在性）如果

能夠把區域 保角地、一一對應地映射成區域 ，則其反函數能夠把 保角地、一一對應地映射成區域 。并且， 及其反函數可由此推得是單值且解析的函數。

（2）（黎曼定理，映射的存在與唯一性）如果有兩個單連通區域

和 ， 和 是其中兩點， 是任一 之間的實數，則總存在一個函數 ，能夠把 一一對應地保角地映射成 ，使得 ，并且這樣的映射是唯一的。

（3）（邊界對應原理）設單連通區域

和 的邊界分別為簡單閉曲線 和 ，如果能找到一個在 內解析，在 上連續的函數 ，它將 一一對應地映射成 ，且當原象點和象點在邊界上繞行方向一致時， 和 在邊界的同一側，則 將 一一對應地保角映射成 。

上述的定理（1）、（2）保證了映射的存在、唯一和可逆性，為尋找映射提供了理論依據。

定理（1）啟發我們：要找

和 之間的映射，不必死盯著這兩個區域看——不妨把它們都映射成某一標準圖形，然后利用求反函數的方式來求這兩個區域之間的映射。例如，將 和 都映射成為單位圓，從而可以知道， 和 之間存在某一個映射關系是： -單位圓- 。其中，從單位圓到 的映射由 到單位圓映射的逆映射來確定。

從（2）中我們可以知道，給定原象區域、像區域、映射的對應兩點和旋轉角，就可以唯一確定兩個區域間的一一映射——但這對“如何尋找”沒有幫助。

而定理（3）則告訴我們：只需要盯著這兩個區域邊界上的一些點就可以幫助我們確定這個映射的具體形式了。

這一章的內容過于廣泛，所以我們只研究一種簡單并且重要的保角映射：分式線性映射。

分式線性映射定義為

。括號中的限制是為了保證映射的保角性，否則 ，整個 平面會被映成 平面上的一點。為了能夠讓無窮遠點也被包含在這個映射中，我們討論的保角映射是定義在擴充復平面上的。所以對于上式需要補充定義：

當

時，在 處定義 ；在 處定義 ;

當

時，在 處定義 .

另外，需要再次強調的是，無窮遠點僅為保證分式線性映射而引入，其模、幅角均無意義。

有了分式線性映射的定義，我們不加證明地敘述分式線性映射的直觀作用效果。

1. 保圓性

保圓性指分式線性映射將

擴充復平面上的圓映射成 擴充復平面上的圓。但需要注意是，“圓”指的并不止是平面上到定點為定距離的點集。由于引入了擴充復平面，圓可以通過無窮遠點——在這種情況下，圓的半徑會變為無窮大，此時它表現為一條直線。所以準確地來說，如果 擴充復平面上的圓（或直線）上的某點被映射成了無窮遠點，那么 擴充復平面上的圓將會變為直線，否則，它將映射成為半徑有限的圓周。

2. 保對稱點性

保對稱點性指：如果分式線性映射將圓周

映射成圓周 ，則它能夠將關于 對稱的兩點 映射成關于 對稱的兩點。

如果

是直線，則映成關于直線對稱的兩點。

此處“關于圓周對稱”的定義為：若

關于半徑為 的圓心為 的圓對稱，則 。其幾何意義如圖所示。在復變函數中，為了沿用此定義，我們還補充定義：原點 和無窮遠點關于單位圓對稱。在這門課中，有關這條定義特別我們需要記住的只有： 和 關于單位圓 對稱； 關于實軸對稱。

在解決實際問題中，我們通常只需要用到保角性+保圓性+邊界對應原理，即可解出需要的分式線性映射的形式。對于

，分子分母上下同時約去一個非零常數后，事實上只有三個相互獨立的常數。所以理論上，我們在求所需要的分式線性映射時，最多只需要找到三對點的映射關系就可以唯一確定分式線性映射——詳細地來說，我們只需要兩個點+任意一對點就可以寫出分式線性映射。這兩個點為分子的零點和分母的零點，它們被映射到了象平面的零點和無窮遠點。而另外一對點被用作調整整個映射的系數。以一個例子來說明這個問題:

[e.g.]將上半圓

映射為第一象限

解決這類保角映射問題的第一步是“找到在象平面和原象平面上相同的角”，這也是保角映射的名稱來源。可以看得出來，在

處圓弧和實軸形成了直角交角，這恰好與第一象限在原點處的角相吻合，所以 是分式線性映射分子的零點， 是分母的零點。

具體來說，它是

。最后所做的即為再找一對特殊點來確定系數 ，在圖中可以找到的特殊點有 ,其中 分別被映射到了實軸和虛軸上。我們令 ，不難求出 ——在求出 后，

綜上，

即為所求映射。

注意： 將半徑為 的上半圓映射為第一象限，需要記住。

[e.g.]將圓

映射成右半平面

由于在原圖中并沒有任何的“角”，所以我們可以直接進入分子分母零點對應的那一步。例如例如

就是可以選擇的一對關系。

映射為

。

為了尋找

，我們讓

代入后可得，

.

從這個例子我們可以觀察邊界對應原理和保圓性結合是如何發揮作用的：在沿著

平面的圓弧 的過程中，圓內部的區域始終在繞行方向的左手邊。而在 平面的對應點（圓弧和直線的對應是由保圓性決定的） 的過程中，右半平面也始終在行進方向的左手邊。這和邊界對應原理所指出的區域關系是一致的。

需要注意的是，

在邊界對應原理中并不是一個理想的起點，因為只要在距離原點足夠遠的地方，都可以認為是所在處。這也就是為何在確定一對分子分母零點后無法直接寫出分式線性映射的原因——我們還需要一對有限點之間的映射來進行邊界對應原理的驗證。

上面兩個例子都是給定象和原象來找到分式線性映射的形式的，在實際的題目中還可能遇到諸如“尋找上半圓

在 下的象”這樣的問題。其解決方法是類似的：找到原象中“角”所在的點，在圖中標出分式線性映射的零點和極點，利用保圓性描出完整的象邊界，最后用邊界對應原理驗證沿象區域邊界行進時區域內側的位置是否正確。

在大致了解了分式線性映射后，我們還要研究我們已經了解過的函數在保角映射的觀點下具有怎樣的幾何意義。

（1）（整數）冪函數

根據我們已經了解的知識，冪函數是一個在

平面上處處可導的函數（并且除了0點之外，所有的點導數均不為0）。但它在整個 平面上不是雙方單值的。

例如，對

，可以得知

只有對

內的點，冪函數 才是保角映射。

在幾何上，它指的是把

為頂點的角形區域映射成 為頂點的角形區域，且張角擴大為原來的 倍。

它的反函數

把角形域映射成角形域，但張角縮小到原來的 倍。

（2）指數函數

根據復指數函數的定義，可以知道

也就是

.

這個式子意味著：

的實部可以得到 的模， 的虛部可以得到 的幅角

它的映射作用是將高度

的水平帶形（也可以是有限/半無窮的矩形）區域變為角形域。

特別地，高度為

的矩形區域會被映射成為上半圓。

它的反函數是

，也即 的第一個主值分支。

在我們研究了（整數）冪函數和指數函數后，我們很自然地可以提出這樣一個問題：在下圖從

到 平面的映射過程中，標上（？）的映射路徑是否是可行的？

答案是否定的。事實上，在標（？）的路徑中，我們使用到了非整數冪的冪函數。對于冪函數而言，

是單值函數，而非整數指數冪 中的 會產生多值性，從而它不是一個良好的能夠將 平面的點一一映射到 平面的方式。在運用冪函數進行處理時，一定要關注兩點：冪函數是否是整數指數冪的；映射區域是否在 內。

一個常見的映射思路如下：

結語：復變函數的專欄到此就結束了。至于積分變換，我還在結合信號處理等通信類課程一起寫作。這會是一個較為復雜和漫長的過程，所以敬請期待。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的msdn画圆弧函数_复变函数与积分变换 简明笔记(八)：保形映射（共形映射）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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