數(shù)字圖像處理——第4章 頻率域?yàn)V波

文章目錄

• 數(shù)字圖像處理——第4章 頻率域?yàn)V波
• • 頻率域
  • 1.傅里葉級數(shù)原理
  • • 1.1.一維傅里葉變換
    • 1.2.二維傅里葉變換
  • 2.python×傅里葉級數(shù)
  • • 2.1.傅里葉變換后的頻譜圖
  • 3.頻率域?yàn)V波
  • • 3.1.低頻與高頻
    • 3.2.頻率域?yàn)V波步驟
    • 3.3.低通濾波器
    • 3.4.高通濾波器
    • 3.5.低通與高通濾波器實(shí)驗(yàn)總結(jié)

頻率域

上一章學(xué)的灰度變換和空間濾波，主要目的是減少噪聲和平滑圖像，同時(shí)也是在空間域進(jìn)行的圖像增強(qiáng)操作。而這章主要是頻率域?yàn)V波，濾波的概念在上一章節(jié)有涉及到，所以先了解下頻率域。頻率域是指從函數(shù)的頻率角度出發(fā)分析函數(shù)，和頻率域相對的是時(shí)間域。簡單說就是如果從時(shí)間域分析信號時(shí)，時(shí)間是橫坐標(biāo)，振幅是縱坐標(biāo)。而在頻率域分析的時(shí)候則是頻率是橫坐標(biāo)，振幅是縱坐標(biāo)。那么下一個(gè)問題就是為什么要在頻率域中進(jìn)行圖像處理？ 1). 可以利用頻率成分和圖像外表之間的對應(yīng)關(guān)系。一些在空間域表述困難的增強(qiáng)任務(wù)，在頻率域中變得非常普通；2). 濾波在頻率域更為直觀，它可以解釋空間域?yàn)V波的某些性質(zhì)； 3).可以在頻率域指定濾波器，做反變換，然后在空間域使用結(jié)果濾波器作為空間域?yàn)V波器的指導(dǎo)。

頻率域?yàn)V波是對圖像進(jìn)行傅里葉變換，將圖像由圖像空間轉(zhuǎn)換到頻域空間，然后在頻率域中對圖像的頻譜作分析處理，以改變圖像的頻率特征。

1.傅里葉級數(shù)原理

傅里葉是18世紀(jì)法國的一位偉大的數(shù)學(xué)家。他指出任何周期函數(shù)都可以表示為不同頻率的正弦和或者余弦和的形式，每個(gè)正弦或者余弦乘以不同的系數(shù)就是傅里葉級數(shù)。無論函數(shù)有多復(fù)雜，只要它是周期性的，并且滿足一定的數(shù)學(xué)條件，就一定可以用這樣的正弦和或者余弦和的形式來表示。翻開考完研沒扔的高數(shù)，回看到傅里葉級數(shù)，公式如下：
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \frac{n\pi }{l}x+b_n\sin \frac{n\pi }{l}x\right)$$
其中：

$$a_n=\frac{1}{l}{\int }_{?l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi }{l}x\mathrm{d}x,n=0,1,2,?,其中a_0為n=0時(shí)$$

$$b_n=\frac{1}{l}{\int }_{?l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi }{l}x\mathrm{d}x,n=0,1,2,?,$$

除此之外，若展開式中只有正弦函數(shù)，則稱其為正弦函數(shù)；相反，若展開式中只有余弦函數(shù)，則稱其為余弦級數(shù)。

1.1.一維傅里葉變換

傅里葉變換：

$$F(\mu )={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(t)e^{?j2\pi \mu t}dt$$
傅里葉反變換：
$$f(t)={\int }_{?\infty }^{+\infty }F(\mu )e^{j2\pi \mu t}d\mu$$
$$其中，2\pi \mu 代表頻率，t代表時(shí)間。$$傅里葉變換認(rèn)為一個(gè)周期函數(shù)(信號)包含多個(gè)頻率分量，任意函數(shù)（信號）f(t)可通過多個(gè)周期函數(shù)（基函數(shù)）相加而合成。從物理角度理解傅里葉變換是以一組特殊的函數(shù)（三角函數(shù)）為正交基，對原函數(shù)進(jìn)行線性變換，物理意義便是原函數(shù)在各組基函數(shù)的投影。

1.2.二維傅里葉變換

同樣連續(xù)的傅里葉變換為：
$$F(\mu ,v)={\int }_{?\infty }^{+\infty }{\int }_{?\infty }^{+\infty }f(t,z)e^{?j2\pi (\mu t+vz)}dtdz$$
它的反變換：
$$f(t,z)={\int }_{?\infty }^{+\infty }{\int }_{?\infty }^{+\infty }F(\mu ,v)e^{j2\pi (\mu t+vz)}d\mu dv$$
傅里葉逆變換是將圖像的頻率分布函數(shù)變換為灰度分布函數(shù)傅里葉變換以前，圖像（未壓縮的位圖）是由對在連續(xù)空間（現(xiàn)實(shí)空間）上的采樣得到一系列點(diǎn)的集合，通常用一個(gè)二維矩陣表示空間上各點(diǎn)，記為z=f(x,y)。又因空間是三維的，圖像是二維的，因此空間中物體在另一個(gè)維度上的關(guān)系就必須由梯度來表示，這樣我們才能通過觀察圖像得知物體在三維空間中的對應(yīng)關(guān)系。

傅里葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點(diǎn)，其意義是指圖像上某一點(diǎn)與鄰域點(diǎn)差異的強(qiáng)弱，即梯度的大小，也即該點(diǎn)的頻率的大小（可以這么理解，圖像中的低頻部分指低梯度的點(diǎn)，高頻部分相反）。一般來講，梯度大則該點(diǎn)的亮度強(qiáng)，否則該點(diǎn)亮度弱。這樣通過觀察傅里葉變換后的頻譜圖，也叫功率圖，我們就可以直觀地看出圖像的能量分布：如果頻譜圖中暗的點(diǎn)數(shù)更多，那么實(shí)際圖像是比較柔和的（因?yàn)楦鼽c(diǎn)與鄰域差異都不大，梯度相對較小）；反之，如果頻譜圖中亮的點(diǎn)數(shù)多，那么實(shí)際圖像一定是尖銳的、邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。

2.python×傅里葉級數(shù)

理論過于抽象，還是實(shí)實(shí)在在的用代碼折騰一下比較好理解。首先我們需要一個(gè)原函數(shù)：
$$f(x)=\{\begin{array}{lr}\exp (x),& ?\pi \le x<0\\ 1,& 0\le x<\pi \end{array}$$
函數(shù)圖像如下：

可以用numpy和plt畫出，代碼如下：

import os
import cv2
from pylab import *
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
x = np.linspace(-3,pi)# 定義x軸
cond = [True if (i>-pi and i<0) else False for i in x] #使用列表解析的方法
y=1*(x>0)+np.exp(x)*cond # y的函數(shù)
plt.plot(x,y)
plt.show()

接著算出該函數(shù)的a0，an，bn，最后自定義函數(shù)畫出傅里葉級數(shù)變換，圖像如下：

由上圖看出，這圖像就有正弦余弦內(nèi)味了，周期函數(shù)都可以表示為不同頻率的正弦和或者余弦和的形式。代碼如下，建議做這種小實(shí)驗(yàn)使用jupyter，方便快捷

import os
import cv2
from pylab import *
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
x = mgrid[-10:10:0.2]
n = arange(1, 1000)
def fourier_transform():a0 = (1-exp(-pi))/pi+1s = a0 / 2for i in range(1, 100, 1):s0 = ((1-(-1)**i*exp(-pi))/(pi*(1+i**2))*cos(i*x)+1/pi*( (-i*(1-(-1)**i*exp(-pi)))/(1+i**2) + (1-(-1)**i)/i ) * sin(i*x))s = s + s0 plot(x,s,'orange',linewidth=0.6)title('fourier_transform')show() 
fourier_transform()

2.1.傅里葉變換后的頻譜圖

使用傅里葉變換獲得的頻譜圖。圖像的主要成分是低頻信息，它形成了圖像的基本灰度等級，對圖像結(jié)構(gòu)的決定作用較小；高頻信息形成了圖像的邊緣和細(xì)節(jié)，是在中頻信息上對圖像內(nèi)容的進(jìn)一步強(qiáng)化。

如上圖所示，中間的亮點(diǎn)代表著圖像的低頻，其余周圍則表示圖像的高頻信息。若不將低頻信息移至中間，則低頻信息過于分散，頻譜未中心化如下圖所示：

代碼如下所示：

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 讀取圖片
img = cv2.imread(' ', 0)# 進(jìn)行float32形式轉(zhuǎn)換
float32_img = np.float32(img)# 使用cv2.dft進(jìn)行傅里葉變化
dft_img = cv2.dft(float32_img, flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)# 使用np.fft.shiftfft()將變化后的圖像的低頻轉(zhuǎn)移到中心位置
dft_img_ce = np.fft.fftshift(dft_img)# 使用cv2.magnitude將實(shí)部和虛部轉(zhuǎn)換為實(shí)部，乘以20是為了使得結(jié)果更大
# img_dft = 20 * np.log(cv2.magnitude(dft_img_ce[:, :, 0], dft_img_ce[:, :, 1]))
# 頻譜未中心化
img_dft = 20 * np.log(cv2.magnitude(dft_img[:, :, 0], dft_img[:, :, 1]))
# 進(jìn)行畫圖操作
plt.subplot(121) # 我是第一行第二列的第一個(gè)
plt.imshow(img, cmap='gray')
plt.subplot(122)
plt.imshow(img_dft, cmap='gray')
plt.show()

3.頻率域?yàn)V波

3.1.低頻與高頻

低頻對應(yīng)圖像內(nèi)變換緩慢的灰度分兩。例如在一幅大草原的圖像中，低頻對應(yīng)著廣袤的顏色趨于一致的草原。總結(jié)就是低頻是圖像中平坦的，灰度變化不大的點(diǎn)，圖像中的大部分區(qū)域。

高頻對應(yīng)圖像內(nèi)變化越來越快的灰度分量，是由灰度的尖銳過度造成的，例如，還是大草原那幅圖像，若圖像中有一只獅子，則獅子的邊緣信息就是高頻。總結(jié)就是高頻是圖像中灰度變化劇烈的點(diǎn)，一般是圖像輪廓或者是噪聲。

根據(jù)圖像的高頻與低頻的特征，我們可以設(shè)計(jì)相應(yīng)的高通與低通濾波器。通過低頻的濾波器叫做低通濾波器，通過高頻的濾波器叫做高通濾波器。高通濾波可以檢測圖像中尖銳、變化明顯的地方；低通濾波可以讓圖像變得光滑，濾除圖像中的噪聲。

3.2.頻率域?yàn)V波步驟

為了方便下述低通高通濾波器的實(shí)驗(yàn)，必須先明確頻率域?yàn)V波的基本步驟。

1. 首先將圖片讀取成灰度圖且轉(zhuǎn)化為np.float32()
2. 使用cv2.dft函數(shù)進(jìn)行傅里葉變化
3. 使用np.fft.fftshift函數(shù)將低頻轉(zhuǎn)移到圖像中心
4. 定義掩模：生成的掩模中間為1周圍為0
5. 將掩模與傅里葉變化后圖像相乘，保留中間部分
6. 使用np.fft.ifftshift將低頻移動到原來的位置
7. 使用cv2.idft進(jìn)行傅里葉的反變化
8. 使用cv2.magnitude轉(zhuǎn)化為空間域內(nèi)
9. 使用plt進(jìn)行繪圖展示

由上述敘述可知，濾波的關(guān)鍵取決于濾波函數(shù)，也稱為濾波器，因?yàn)樗跒V波中抑制或除去了頻譜中的某些分量，而保留其他的一些頻率不受影響，從而達(dá)到濾波的目的。而下述的 低通濾波器和高通濾波器的不同點(diǎn)，便在于定義不同的濾波，即步驟中的掩模，不同的濾波將產(chǎn)生不同的效果。

3.3.低通濾波器

理想的低通濾波器模板為：
$$H(u,v)=\{\begin{array}{ll}1,& D(u,v)\le D_0\\ 0,& D(u,v)>D_0\end{array}$$
其中，D0表示通帶半徑，D(u，v)是到頻譜中心的距離（歐式距離），計(jì)算公式如下：
$$\mathrm{D}(u,v)=\sqrt{(u?M/2{)}^2+(v?N/2{)}^2}$$
M和N表示頻譜圖像的大小，（M/2，N/2）即為頻譜中心。低通濾波器代碼如下所示：

# 低通濾波器
import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
# 第一步讀入圖片
img = cv2.imread(' ', 0)# filepath
# 使用cv2.dft進(jìn)行傅里葉變化
dft = cv2.dft(np.float32(img), flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
# 使用np.fft.fftshift將低頻轉(zhuǎn)移到圖像中心
dft_center = np.fft.fftshift(dft)
# 定義掩模：生成的掩模中間為1周圍為0
crow, ccol = int(img.shape[0] / 2), int(img.shape[1] / 2) # 求得圖像的中心點(diǎn)位置
mask = np.zeros((img.shape[0], img.shape[1], 2), np.uint8)
mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1# 將掩模與傅里葉變化后圖像相乘，保留中間部分
mask_img = dft_center * mask# 使用np.fft.ifftshift(將低頻移動到原來的位置
img_idf = np.fft.ifftshift(mask_img)# 使用cv2.idft進(jìn)行傅里葉的反變化
img_idf = cv2.idft(img_idf)# 使用cv2.magnitude轉(zhuǎn)化為空間域內(nèi)
img_idf = cv2.magnitude(img_idf[:, :, 0], img_idf[:, :, 1])# 進(jìn)行繪圖操作
plt.subplot(121)
plt.imshow(img, cmap='gray')
plt.subplot(122)
plt.imshow(img_idf, cmap='gray')
plt.show()

由實(shí)驗(yàn)可以看出，圖片經(jīng)過低通濾波器，使低頻通過而使高頻衰減 ，降低了圖像變換的幅度。平滑且模糊掉了尖銳和邊緣部分。保留了圖像的整體概貌（低頻部分），去掉了圖像的細(xì)節(jié)（高頻部分）。

3.4.高通濾波器

和低通濾波器相反，理想的高通濾波器為：
$$H(u,v)=\{\begin{array}{ll}0,& \mathrm{D}(\mathrm{u},\mathrm{v})\le D_0)\\ 1,& \mathrm{D}(\mathrm{u},\mathrm{v})>D_0)\end{array}$$
其中，D0表示通帶半徑，D(u，v)是到頻譜中心的距離（歐式距離），計(jì)算公式如下：
$$\mathrm{D}(u,v)=\sqrt{(u?M/2{)}^2+(v?N/2{)}^2}$$

常見的巴特沃斯高通濾波器(BHPF)公式如下：
$$H(u,v)=\frac{1}{1+{\left[D_0/D(u,v)\right]}^{2n}}$$
還有高斯高通濾波器（GHPF)：
$$H(u,v)=1?e^{?D^2(u,v)/2{\sigma }^2},\sigma =D_0$$

# 實(shí)現(xiàn)高通濾波器
import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt#讀取圖像
img = cv2.imread(' ', 0) # filepath
#傅里葉變換
dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
fshift = np.fft.fftshift(dft)
#設(shè)置高通濾波器
rows, cols = img.shape
crow,ccol = int(rows/2), int(cols/2) #中心位置
mask = np.ones((rows, cols, 2), np.uint8) # 低通濾波器這是np.zeros
mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0 # 低通濾波器這就是1
#掩膜圖像和頻譜圖像乘積
f = fshift * mask
#傅里葉逆變換
ishift = np.fft.ifftshift(f)
iimg = cv2.idft(ishift)
res = cv2.magnitude(iimg[:,:,0], iimg[:,:,1])
#顯示原始圖像和高通濾波處理圖像
plt.subplot(121), plt.imshow(img, 'gray')
plt.subplot(122), plt.imshow(res, 'gray')
plt.show()

實(shí)現(xiàn)效果如下圖所示：

由上述實(shí)驗(yàn)可以看出：高通濾波器使高頻通過而使低頻衰減，被高通濾波的圖像比原始圖像少灰度級的平滑過渡而突出邊緣等細(xì)節(jié)部分，保留了圖像的細(xì)節(jié)，模糊了概貌。也就是邊緣信息更加突出，例如輪廓。

3.5.低通與高通濾波器實(shí)驗(yàn)總結(jié)

由上述實(shí)驗(yàn)可看出，低通濾波器的濾波定義為：

crow, ccol = int(img.shape[0] / 2), int(img.shape[1] / 2) # 求得圖像的中心點(diǎn)位置
mask = np.zeros((img.shape[0], img.shape[1], 2), np.uint8)
mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1

高通濾波器的濾波為：

crow, ccol = int(img.shape[0] / 2), int(img.shape[1] / 2) # 求得圖像的中心點(diǎn)位置
mask = np.ones((img.shape[0], img.shape[1], 2), np.uint8) # 低通濾波器這是np.zeros
mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0 # 低通濾波器這就是1

相同點(diǎn)在于定義的掩模大小和圖片大小相同，不同點(diǎn)在于低通濾波器中間為1，那么經(jīng)過傅里葉變換的圖像和掩模相乘之后，便只保留中間部分；相反，高通濾波器中間為0，經(jīng)過傅里葉變換的圖像和掩模相乘之后，便只保留邊緣部分。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数字图像处理——第四章 频率域滤波的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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