數(shù)字圖像處理——第七章 小波和多分辨率處理

文章目錄

• 數(shù)字圖像處理——第七章 小波和多分辨率處理
• • 寫在前面
  • 1 多分辨率處理
  • • 1.1 圖像金字塔
    • 1.2 多尺度和多分辨率的區(qū)別
  • 2 小波
  • • 2.1 連續(xù)小波變換
    • 2.2 離散小波變換
  • 3 python×小波
  • • 3.1 python小波變換
    • 3.2 python小波去噪

寫在前面

先理解下兩個(gè)概念，小波和多分辨率。

小波是指小區(qū)域、長(zhǎng)度有限、均值為0的波形。小是指信號(hào)具有衰減性，波指信號(hào)具有波動(dòng)性。

小波變換類似于傅里葉變換，都是把函數(shù)用一組正交基函數(shù)展開，選取不同的基函數(shù)給出不同的變換。例如傅里葉變換，選擇的是sin和cos；而小波變換，選取基函數(shù)的方式更加靈活，可以根據(jù)要處理的數(shù)據(jù)的特點(diǎn)（比如某一段上信息量比較多），在不同尺度上采用不同的頻寬來(lái)對(duì)已知信號(hào)進(jìn)行分解，從而盡可能保留多一點(diǎn)信息，同時(shí)又避免了原始傅里葉變換的大計(jì)算量。

分辨率通俗理解為圖像的像素點(diǎn)個(gè)數(shù)，也就是圖片的大小，例如1920×1080。當(dāng)我們觀察圖像時(shí)，通常我們看到的是相似的紋理和灰度級(jí)連成的區(qū)域，它們相結(jié)合形成了物體。如果物體的尺寸較小或?qū)Ρ榷容^低，那么我們通常以較高的分辨率來(lái)研究它們；如果物體的尺寸較大或?qū)Ρ榷容^高，則只要求粗略的觀察就足夠了。如果較小物體和較大物體一或 對(duì)比度較低和對(duì)比度較高的物體同時(shí)存在，以不同的分辨率對(duì)它們進(jìn)研究將具有優(yōu)勢(shì)。

1 多分辨率處理

1.1 圖像金字塔

以多個(gè)分辨率來(lái)表示圖像的一種有效且概念簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)是圖像金字塔。圖像金字塔最初用于機(jī)器視覺(jué)和圖像壓縮，一個(gè)圖像金字是一系列以金字塔形狀排列的、分辨率逐步降低的圖像集合。圖像金字塔可以通過(guò)梯次向下采樣獲得，直到達(dá)到某個(gè)終止條件才停止采樣，在向下采樣中，層級(jí)越高，則圖像越小，分辨率越低。

OpenCV實(shí)現(xiàn)了用于創(chuàng)建圖像金字塔的兩個(gè)函數(shù)pyrDown()和pryUp()

• pyrDown()

  先對(duì)圖像進(jìn)行高斯平滑，然后再進(jìn)行降采樣（將圖像尺寸行和列方向縮減一半）

• pryUp()

  先對(duì)圖像進(jìn)行升采樣（將圖像尺寸行和列方向增大一倍），然后再進(jìn)行高斯平滑

代碼如下：

import cv2
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np 
img = cv2.imread("  ")
img = img[:, :, [2, 1, 0]]lower = cv2.pyrDown(img)
lower1 = cv2.pyrDown(lower)
higher = cv2.pyrUp(lower1)
higher1 = cv2.pyrUp(higher)plt.figure(dpi = 180)plt.subplot(151)
plt.imshow(img)
plt.title(str(img.shape[0:2]))plt.subplot(152)
plt.imshow(lower)
plt.title(str(lower.shape[0:2]))plt.subplot(153)
plt.imshow(lower1)
plt.title(str(lower1.shape[0:2]))plt.subplot(154)
plt.imshow(higher)
plt.title(str(higher.shape[0:2]))plt.subplot(155)
plt.imshow(higher1)
plt.title(str(higher1.shape[0:2]))plt.tight_layout()
plt.show()

在早些年的目標(biāo)檢測(cè)中，很多網(wǎng)絡(luò)都利用單個(gè)高層特征，比如說(shuō)Faster R-CNN利用下采樣四倍的卷積層Conv4，進(jìn)行后續(xù)的物體的分類和bounding box的回歸。但是這樣做有一個(gè)明顯的缺陷，即小物體本身具有的像素信息較少，在下采樣的過(guò)程中極易被丟失，所以就有了利用圖像金字塔的方式進(jìn)行多尺度變化增強(qiáng)。然后進(jìn)一步就有了特征金字塔的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，能在增加極小的計(jì)算量的情況下，處理好物體檢測(cè)中的多尺度變化問(wèn)題。

1.2 多尺度和多分辨率的區(qū)別

這個(gè)問(wèn)題還沒(méi)研究透徹，一時(shí)沒(méi)有很好的說(shuō)法，之后會(huì)繼續(xù)添加新的理解。

多分辨率就是上述的圖像金字塔。圖像金字塔我理解成：解決多尺度問(wèn)題？

2 小波

$${\phi }_{a,b}(t)=\frac{1}{\sqrt{a}}\phi \left(\frac{t?b}{a}\right)$$

其中，a被稱為縮放參數(shù)，b被稱為移動(dòng)或位置參數(shù)。從公式可以看出，小波主要進(jìn)行縮放和平移兩個(gè)操作。縮放：壓縮或伸展基本小波，縮放系數(shù)越小，小波越窄。
平移：小波的延遲或超前。
小波的縮放因子越小，小波越窄，信號(hào)的頻率越高，度量信號(hào)的細(xì)節(jié)變化。
小波的縮放因子越大，小波越寬，信號(hào)的頻率越低，度量信號(hào)的粗糙程度。

2.1 連續(xù)小波變換

小波變換是一種新的變換分析方法，它繼承和發(fā)展了短時(shí)傅立葉變換局部化的思想，同時(shí)又克服了窗口大小不隨頻率變化等缺點(diǎn)，能夠提供一個(gè)隨頻率改變的“時(shí)間-頻率”窗口，是進(jìn)行信號(hào)時(shí)頻分析和處理的理想工具。與傅里葉變換不同，小波變換的主要要素是不同縮放和不同位置的小波。通過(guò)縮放母小波的寬度來(lái)獲得信號(hào)的頻率信息，通過(guò)平移母小波的位置來(lái)獲得信號(hào)的時(shí)間信息。

將任意L2（R）空間中的函數(shù)f(t)在小波基下展開，稱這種展開為函數(shù)f(t)的連續(xù)小波變換（CWT）。其表達(dá)式為：
$$W{T}_f(a,\tau )=<f(t),{\psi }_{a,r}(t)>=\frac{1}{\sqrt{a}}{\int }_{R}f(t){\psi }^{?}\left(\frac{t?\tau }{a}\right)dt$$

2.2 離散小波變換

對(duì)于連續(xù)小波而言，尺度a、時(shí)間t和與時(shí)間有關(guān)的偏移量τ都是連續(xù)的。如果利用計(jì)算機(jī)計(jì)算，就必須對(duì)它們進(jìn)行離散化處理，得到離散小波變換。為了減小小波變換系數(shù)的冗余度，我們將小波基函數(shù)：
$${\psi }_{a,\tau }(t)=\frac{1}{\sqrt{a}}\psi \left(\frac{t?\tau }{a}\right)$$
的a、τ限定在一些離散的點(diǎn)上取值。然后進(jìn)行尺度的離散化和位移的離散化。離散小波變換的定義為：
$$W{T}_f\left(a_0^j,k{\tau }_0\right)=\int f(t){\psi }_{a_0^j,k_0}^{?}(t)dt,j=0,1,2,\dots ,k\in Z$$

3 python×小波

3.1 python小波變換

pywt.dwt2()

• 二維小波變換（一維和n維類似）：單層變換
• return：(cA, (cH, cV, cD))要注意返回的值，分別為低頻分量，水平高頻，垂直高頻，對(duì)角線高頻。高頻的值包含在一個(gè)tuple中。

代碼如下：

import numpy as np
import pywt
import cv2
import matplotlib.pyplot as pltimg = cv2.imread("   ")
img = cv2.resize(img, (448, 448))
# 將多通道圖像變?yōu)閱瓮ǖ缊D像
img = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY).astype(np.float32)plt.figure('二維小波一級(jí)變換')
coeffs = pywt.dwt2(img, 'haar')
cA, (cH, cV, cD) = coeffs# 將各個(gè)子圖進(jìn)行拼接，最后得到一張圖
AH = np.concatenate([cA, cH], axis=1)
VD = np.concatenate([cV, cD], axis=1)
img = np.concatenate([AH, VD], axis=0)# 顯示為灰度圖
plt.imshow(img,'gray')
plt.title('result')
plt.show()

在拼接子圖之前，應(yīng)該先對(duì)各個(gè)子圖進(jìn)行處理。未處理的情況下，因?yàn)楦哳l部分的像素值極小甚至小于0，所以高頻區(qū)域呈黑色。

3.2 python小波去噪

圖像和噪聲在經(jīng)小波變換后具有不同的統(tǒng)計(jì)特性：圖像本身的能量對(duì)應(yīng)著幅值較大的小波系數(shù)，主要集中在低頻部分；噪聲能量則對(duì)應(yīng)著幅值較小的小波系數(shù)，并分散在小波變換后的所有系數(shù)中。基于此可設(shè)置一個(gè)合適的閾值門限，認(rèn)為大于該閾值的小波系數(shù)的主要成份為有用的信號(hào)，給予收縮后保留；小于該閾值的小波系數(shù)，主要成份為噪聲，予以置零剔除；然后經(jīng)過(guò)閾值函數(shù)映射得到估計(jì)系數(shù)；最后對(duì)估計(jì)系數(shù)進(jìn)行逆變換，就可以實(shí)現(xiàn)去噪和重建。去噪時(shí)，通常認(rèn)為低通系數(shù)含有大量的圖像能量，一般不作處理，只對(duì)剩余三個(gè)高通部分進(jìn)行處理。一次閾值去噪并不能完全去除噪聲，還需要對(duì)未作處理的低頻部分再次進(jìn)行小波分解和閾值去噪，直到實(shí)際圖像與估計(jì)圖像的偏差達(dá)到最小值。但是，隨著分解和去噪次數(shù)的增加，小波系數(shù)中的噪聲能量越來(lái)越小，并且趨于分散，去噪的效果將逐漸降低。

目前，小波去噪的方法大概可以分為三大類:

第一類方法（小波變換模極大值去噪法）是利用小波變換模極大值原理去噪，即根據(jù)信號(hào)和噪聲在小波變換各尺度上的不同傳播特性，剔除由噪聲產(chǎn)生的模極大值點(diǎn)，保留信號(hào)所對(duì)應(yīng)的模極大值點(diǎn)，然后利用所余模極大值點(diǎn)重構(gòu)小波系數(shù)，進(jìn)而恢復(fù)信號(hào);

第二類方法（小波系數(shù)相關(guān)性去噪法）是對(duì)含噪信號(hào)作小波變換之后，計(jì)算相鄰尺度間小波系數(shù)的相關(guān)性，根據(jù)相關(guān)性的大小區(qū)別小波系數(shù)的類型，從而進(jìn)行取舍，然后直接重構(gòu)信號(hào);

第三類方法（小波變換閾值去造法）是小波閾值去噪方法，該方法認(rèn)為信號(hào)對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)包含有信號(hào)的重要信息，其幅值較大，但數(shù)目較少，而噪聲對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)是一致分布的，個(gè)數(shù)較多，但幅值小。

小波系數(shù)相關(guān)性去噪法）是對(duì)含噪信號(hào)作小波變換之后，計(jì)算相鄰尺度間小波系數(shù)的相關(guān)性，根據(jù)相關(guān)性的大小區(qū)別小波系數(shù)的類型，從而進(jìn)行取舍，然后直接重構(gòu)信號(hào);

第三類方法（小波變換閾值去造法）是小波閾值去噪方法，該方法認(rèn)為信號(hào)對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)包含有信號(hào)的重要信息，其幅值較大，但數(shù)目較少，而噪聲對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)是一致分布的，個(gè)數(shù)較多，但幅值小。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数字图像处理——第七章 小波和多分辨处理的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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